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专题四 立体几何与空间量

专题四 立体几何与空间量. 第 12 课时 空间几何体. 1. 三视图. 【例1】 (2011 · 浙江卷 ) 若某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( ). 破解时要结合三视图的性质一一进行分析处理．. 从俯视图看，符合答案的为 B 或 D ，从正视图看符合答案的为 D ，且从侧视图看 D 也是符合的． 答案为 D. 此题可考虑运用排除法进行巧解，结合图形一一分析，逐步筛选．　.

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Presentation Transcript

  1. 专题四 立体几何与空间量 第12课时 空间几何体

  2. 1.三视图 【例1】(2011·浙江卷)若某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的直观图可以是()

  3. 破解时要结合三视图的性质一一进行分析处理． 从俯视图看，符合答案的为B或D，从正视图看符合答案的为D，且从侧视图看D也是符合的．答案为D 此题可考虑运用排除法进行巧解，结合图形一一分析，逐步筛选．　

  4. 【变式训练】 (2010·浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_________cm3.

  5. 2.线面位置关系 【例2】(2009·淮南一模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．

  6. 本题主要考查平行投影和空间想象能力．要画出四边形AGFE在该正方体各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、E、F在每个面上的投影，再顺次连结即得到四边形AGFE在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．本题主要考查平行投影和空间想象能力．要画出四边形AGFE在该正方体各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、E、F在每个面上的投影，再顺次连结即得到四边形AGFE在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的． 在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是(1)；在面ADD1A1和面BB1C1C上的投影是(2)；在面DCC1D1和面ABB1A1上的投影是(3)，所以答案为(1)(2)(3)．

  7. 要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等．画出这些关键点的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．此类题目要依据平行投影的含义，借助空间想象来完成．要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等．画出这些关键点的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．此类题目要依据平行投影的含义，借助空间想象来完成．

  8. 【变式训练】(2011·3月台州中学模拟)BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则图中直角三角形的个数是( ) A．8 B．7 C．6 D．5

  9. 因为AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则有Rt△PAC，Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PDB，Rt△PDC，Rt△ABC，又BC⊥PD，BC⊥PA，因此BC⊥平面PAD，即有BC⊥AD，因此又有Rt△ACD，Rt△ABD，因此图中共有8个直角三角形．答案为A

  10. 【例3】(2010·浙江嘉兴一中一模)在棱柱ABC-A1B1C1中AB1∩A1B=E，F为B1C1的中点，其直观图和三视图如下：【例3】(2010·浙江嘉兴一中一模)在棱柱ABC-A1B1C1中AB1∩A1B=E，F为B1C1的中点，其直观图和三视图如下： (1)求证：EF⊥平面A1BC； (2)求A1C与平面A1B1BA所成角的余弦值．

  11. 本题主要是通过三视图得到直观图中有关线段的长度和位置关系，从而求出线面角．本题主要是通过三视图得到直观图中有关线段的长度和位置关系，从而求出线面角． (1)由三视图知，侧棱CC1⊥平面ABC，AC=CC1=BC=a，AC⊥BC，所以CC1⊥BC， 所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1. 又EF//AC1，所以EF⊥BC. 因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1. 又EF//AC1，所以EF⊥A1C. 而BC∩A1C=C，所以EF⊥平面A1BC.

  12. 求线面角的常用方法：1.垂线法：过线上一点直接作面的垂线，则射影与斜线所成的角就是线面角(关键是找到垂足)；2.等体积法：当垂足不好确定时，可以不确定，用等体积法求距离，从而求得线面角．求线面角的常用方法：1.垂线法：过线上一点直接作面的垂线，则射影与斜线所成的角就是线面角(关键是找到垂足)；2.等体积法：当垂足不好确定时，可以不确定，用等体积法求距离，从而求得线面角．

  13. 【变式训练】(2011·4月杭十四中模拟)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的中点，G是BC的中点，DG与EF相交于H.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.【变式训练】(2011·4月杭十四中模拟)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的中点，G是BC的中点，DG与EF相交于H.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.

  14. (1)求证：EG⊥平面BDH； (2)求二面角B-DC-F的余弦值． 方法1：(1)如图所示，因为EH=BG=2=EB，所以四边形BEHG为正方形，所以BH⊥EG.又DH⊥EF，且平面AEFD⊥平面EBCF，则有DH⊥平面EBCF，所以DH⊥EG，又DH∩BH=H，因此EG⊥平面BDH.

  15. (2)取DC的中点为K，AB的中点为M，连接KM，FK，EM，则四边形FKME为矩形． 因为EM⊥AB，所以EM⊥平面ABCD， 而FK∥EM，所以FK⊥平面ABCD， 因此可得平面FDC⊥平面ABCD， 则二面角B-DC-F的余弦值为0. 方法2：(1)连接HG，由已知条件知四边形HGBE为正方形，则可得EG⊥HB，① 又由平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥FE，且DH∥AE， 则DH⊥平面EBCF，所以DH⊥EG，② 由①②知EG⊥平面BDH.

  16. 1．解与三视图有关的问题的关键是明确各自的投影方向，抓住“长对正，宽相等，高平齐”，将三视图还原为几何体的直观图，再利用相关数量关系解决问题．1．解与三视图有关的问题的关键是明确各自的投影方向，抓住“长对正，宽相等，高平齐”，将三视图还原为几何体的直观图，再利用相关数量关系解决问题． 2．解投影问题的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．此类题目要依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．

  17. 3．解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的特点：①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中仍然平行于x′轴或y′轴；②已知图形中平行与x轴的线段长度保持不变，平行与y轴的线段长度变为原来的一半．先根据这些关系还原出原图，再进行相关计算．3．解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的特点：①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中仍然平行于x′轴或y′轴；②已知图形中平行与x轴的线段长度保持不变，平行与y轴的线段长度变为原来的一半．先根据这些关系还原出原图，再进行相关计算．

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