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Metrische Markow-Ketten. Klaus Frieler Universität Hamburg Musikwissenschaftliches Institut. Einleitung. Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte musikalischer Zeit: Lineare Zeit Zyklische Zeit

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metrische markow ketten

Metrische Markow-Ketten

Klaus Frieler

Universität Hamburg

Musikwissenschaftliches Institut

einleitung
Einleitung
  • Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte musikalischer Zeit:

Lineare Zeit

Zyklische Zeit

  • Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden
  • Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten beschränkt auf eintaktige Patterns oder Strukturen von Metren.

Metrische Markow-Ketten

einleitung1
Einleitung
  • Verallgemeinerung: Metrische Kreisabbildung (MKA)
  • Einführung von Metrischen Markow-Ketten (MMK)
  • Kompakte Visualisierung von einzelnen oder mehreren Rhythmen auf dem metrischen Kreis.
  • Definition der Metrischen Entropie (ME) als Kennzahl für metrische Variabialiät und Strukturiertheit.

Metrische Markow-Ketten

metrische kreisabbildung
Metrische Kreisabbildung
  • Rhythmen darsgestellt als streng monoton-wachsende Folge von Zeitpunkten ti
  • Annahme hier: Metrische Rhythmen mit Taktlänge T.
  • Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den Einheitskreis in der komplexen Ebene
  • Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie Parameterferlaubt,die Taktanfänge auf einen Punkt abzubilden, hier: (1,0) oder 3 Uhr.

Metrische Markow-Ketten

metrische markow ketten1
Metrische Markow-Ketten
  • Definiere N nicht-überlappende Kreissegmente mit Mittelpunkten auf den N-ten Einheitswurzeln (bei Winkeln 360°/N)
  • Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau einem Intervall.
  • Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für einen Rhythmus.

Metrische Markow-Ketten

metrische markow ketten2
Metrische Markow-Ketten
  • Markow-Ketten ergeben sich dann als Besetzungs- und Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1. Ordnung) zwischen Kreisindizes.
  • Bem.: Markow-Ketten lassen sich auch für andere musikalische Parameter definieren und wurden oft für algorithmische Kompositon eingesetzt.

Metrische Markow-Ketten

visualisierung
Visualisierung
  • Beispiel: Mandy von Barry Manilow

Metrische Markow-Ketten

visualisierung1
Visualisierung
  • Beispiel: Drumgroove „Cross-Fade“ von Steve Coleman (9/4). (OL: Hihat, OR: Cowbell, UL: Kick, UR: Snare)

Metrische Markow-Ketten

metrische entropie
Metrische Entropie
  • Informationsentropie wurde 1948 von Claude Shannon für die Signaltechik eingeführt.
  • Sie ist ein Maß für die „Information“ die in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten ist, in diesem Sinne:

Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment herauszufinden.

  • Einheit: Bits.

Metrische Markow-Ketten

metrische entropie1
Metrische Entropie
  • Sei eine Zufallsvariable (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit N Wahrscheinlichkeiten pigegeben. Dann ist die Entropie

H = -S pi log2 pi

  • Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse transportieren wenig Information.
  • Maximale Entropie bei Gleichverteilung:

pi= 1/N

Metrische Markow-Ketten

metrische entropie2
Metrische Entropie
  • Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1, normalisiert auf Werte zwischen 0 und 1.
  • h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten:

Desto mehr verschiedene metrische Positionen und desto gleichmäßiger sie eingenommen werden, desto höher ist die Entropie.

  • Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen zufälligen.
  • Entropie sinkt falls bestimmte Positionen bevorzugt werden („Besetzungakzente“)

Metrische Markow-Ketten

metrische entropie3
Metrische Entropie
  • h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten.

Desto mehr verschiedene Übergänge und desto gleichmäßiger diese vorkommen, desto höher die Entropie

  • Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte. Unterscheidungskriterium.
  • Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für metrische Variabilität.
  • Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von Rhythmen.
  • Frage: Metrisches Komplexitätsmaß? (keine Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen Hierarchie)

Metrische Markow-Ketten

metrische analyse von melodiesammlungen
Metrische Analyse von Melodiesammlungen
  • Zur Demontstration der Methoden wurden 5 Liedsammlungen untersucht:
    • 61 IrischeVolkslieder
    • 586 LuxemburgischeWeisen,
    • 149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia
    • 207 deutsche Kinderlieder
    • 53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs aus den Charts, Daten von Frank Riedemann)
  • Transformation mit der MKA, Berechnung von MMK, Berechnung der ME

Metrische Markow-Ketten

verteilung der signaturen
Verteilung der Signaturen

Metrische Markow-Ketten

visualisierung der liedsammlungen
Visualisierung der Liedsammlungen
  • Links Kinderlieder, rechts Warmia

Metrische Markow-Ketten

visualisierung der liedsammlungen1
Visualisierung der Liedsammlungen
  • Links:Luxemburg, Mitte: Irische, Rechts: Pop

Metrische Markow-Ketten

verteilung der metrischen position
Verteilung der Metrischen Position
  • Pop songs

Metrische Markow-Ketten

verteilung der metrischen position1
Verteilung der Metrischen Position
  • Oben: Kinderlieder, unten: Pop songs

Metrische Markow-Ketten

bergangswahrscheinlichktien
Übergangswahrscheinlichktien

Metrische Markow-Ketten

metrische entropien
Metrische Entropien
  • Links: 0. Ordnung, rechts: 1. Ordnung

Metrische Markow-Ketten

metrische entropien vergleich
Metrische Entropien: Vergleich
  • Hochsignifikante Unterschiede in den Entropieverteilungen (p<.00). Ausnahme: Luxemburg und Warmia.
  • Kinderlieder sind am „einfachsten“: Weniger metrische Variabilität (2/4 Takte!), Besetzungswahrscheinlichkeiten am stärksten akzentuiert.
  • Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede Achtelposition im 4/4 ist nahezu gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren in höherer Zahl von Übergängen
  • Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen homogenste Verteilung, die Irischen Lieder haben die breiteste Streuung

Metrische Markow-Ketten

zusammenfassung und ausblick
Zusammenfassung und Ausblick
  • Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen geeignet.
  • Kompakte Visualisierung
  • Metrische Entropien sind zur Differenzierung von Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen)
  • Mögl. Erweiterungen:
    • Tonhöhe als Radius
    • Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf Zylindern)
    • Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf Torusdarstellung…
    • Metrische Ähnlichkeitsmaße

Metrische Markow-Ketten