相似三角形的性质

相似三角形的性质

相似三角形的性质 性质证明相似三角形的对应角相等、对应边成比例．相似三角形对应高的比、对应中线的比和角平分线比都等于相似比. 定理1 已知：如图，△ABC∽△A’B’C’，且相似比是K， AD、A’D’为对应高．求证： . 又∵∠ ADB=∠A’D’B’= ∴ A 证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ , B C D A’ ∴∠B=∠B’. ∴△ABD∽△A’B’D’. D’ C’ B

相似三角形的性质 性质证明相似三角形周长的比等于相似比. 定理2 由上证明，显然可得从而由等比性质有又AB+BC+CA和A’B’+B’C’+C’A’分别为 △ABC与△A’B’C的周长据此可得定理2.

相似三角形的性质 性质证明定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 已知：如图， △ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K， AD、A’D’分别是高. 求证： A B C D 证明： ∵△ABC∽△A’B’C’ A’ B’ C’ D’ ∴

相似三角形的性质 例1 性质应用如图，已知△ABC∽△A’B’C’，它们的周长分别是60cm和72cm且AB=15cm，B’C’=24cm．求BC、AC、A’B’ 、A’C’的长. B 解:∵ △ABC∽△A’B’C’ ∴ A C (定理2) B’ 把AB=15cm，B’C’=24cm代入上式. 解得A’B’=18cm，BC=20cm. ∴AC=60-15-20=25(cm) C’ A’C’=72-18-24=30(cm) A’

相似三角形的性质 随堂训练分析: 2.点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,则S△ABC=____ S△DEF 1.两个相似三角形对应边的比为7:5,第一个三角形的周长为14, 则另一个三角形的周长为_____. 10 4 C 分析: E D A F B

相似三角形的性质 例2 已知：如图，在△ABC中，∠C=　　．求证：AC2+BC2=AB2 性质应用利用相似三角形的性质，证明勾股定理． A D 证明：作CD⊥AB,垂足为D． ∵△CBD∽ △ABC B C ∴ (1) (定理3)

相似三角形的性质 A D 附: B C ∴ 在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理性质应用同理可得 (2) 由(1)+(2)得 =1

相似三角形的性质 例3 分析：性质应用如图， △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它们加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AC,AB上，这个正方形零件的边长是多少？假如PQMN为加工成的正方形零件，那么AE⊥PN．这样△APN的高可写成AD－ED=AD－PN．再由△APN∽△ABC即可找到PN与已知条件的关系。

相似三角形的性质 ∴ ∴ 性质应用解：设正方形PQMN为加工所成的正方形的零件边QM 在 BC上，顶点P 、N分别在AB、 AC上． △ABC的高AD与边PN相交于点E．设正方形的边长为 x (mm) A ∵ PN ∥BC E ∴ △APN∽ △ABC P N (定理1) B Q D M C 解得x=48(mm) 答：加工成的正方形零件的边长为48mm．

相似三角形的性质 课后思考: 如何运用相似三角形的性质证明勾股定理的逆定理? 作业：P55-56 7、8、15

你能小结相似三角形的性质吗？ 对应角相等相似三角形的性质对应边成比例相似比等于对应边的比对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方

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