第三章 理想 流体 动力 学 基本方程

1. 第三章 理想流体动力学基本方程 • §3-2流线和流管 • 流线 迹线 • 流管 流束 总流 流量 • §3-3连续性方程 控制体的概念

2. 例题: 试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解: ax= 0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0) = 2x3y2-3x2y = 2 ay= 0+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0) = 9y = 18 az= 0+x2y(0) –3y(0) +2z2(4z) = 8z3 = 216

3. 质点导数概念可扩展到质点所携带的其它物理量, 如密度如压强等 用一个通式表示为 质点导数亦称随体导数亦称物质导数等

4. 流动的分类 恒定流 非恒定流 (定常流 非定常流) /t是否等于零 一维流动 二维流动 三维流动

5. dx = udt dy = vdt dz = wdt 流线与流管 流线 迹线 流体质点运动的轨迹-----------迹线 某时刻曲线某点切线方向与该点流体的运动方向一致------------流线 迹线方程: 即

6. 流线方程: 流线特点: 不相交; 不发生转折; 边界流线与该点切线方向重合;瞬时性 定常流动: 迹线与流线重合

7. 例 已知流场速度为 其中q为常数, 求流线方程 解: dx/x=dy/y 积分 lnx=lny+c’ 即 y=cx 为平面点源流动

8. 例题: 已知平面流场速度分布为 u = 2yt+t3 v = 2xt 求时刻 t = 2 过点 (0,1) 的流线 解: 2x dx = 2ydy +t2dy t作为参量(常数)处理 积分 有 x2 – y2 = t2y +C 将 t=2, x=0 , y=1 代入 得 C = -5 所以有 x2 – y2 –4y +5 =0

9. 流管和流束总流 过流断面 流量 断面平均流速 体积流量 Q(m3/s) 质量流量 kg/s 均匀流 非均匀流 渐变流 急变流 根据流线形状 将流动分为均匀流与非均匀流 将非均匀流又分为渐变流与急变流

10. §3-3连续性方程 控制体的概念 系统: 包含确定不变的物质的集合称为系统 控制体: 在欧拉法中, 一个空间固定体称为控制体 基本方程利用系统导出, 可通过输运公式,以控制体的形式表达出来

11. t+t III t I II t时刻位于(x, y, z)的流体质点，在t+t时刻移动至(x+x, y+y, z+z)处，其中满足 流体系统（质量体）在t时刻占据空间（I+II）（总体以表示，取为控制体），t+t时刻系统内流体质点移动至（I+III）体积中，见图。设系统t时刻携带的物理量为Q(x, y, z, t)，则系统物理量Q总和随时间的变化率即称为随体导数，可表示为

12. t+t III t I II 由式取极限，得到输运公式为

13. 若流动定常,则 不可压, 则 以上积分形式可以化为微分形式, 亦可由微元六面体进行推导而得到

14. Z dz u c a b dy Y dx X O 三维流动连续性方程的推导

15. dz u c a b dy dx X方向:净流量= 流出-流进= 同理y方向: Z方向:

16. dz u c a b dy dx 质量守恒: 净流量=流出-流进=微元体内质量的减少

17. 某些条件下, 连续性微分方程的具体形式 (1) 恒定(定常) (2) 不可压缩流体 即 =const (3)不可压缩平面(二维) 连续性方程有

18. u2 2 A2 2 1 u1 A1 1 定常管流 uA=const 定常不可压管流 uA=const=Q u1A1=u2A2=Q 对于不可压管流 , 截面小流速大, 截面大流速小 而对于可压缩管流, 情况要复杂得多

19. 1 d2 2 d1 2 1 解: 例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速

20. y u ur r  0 x 极坐标的连续性方程为 定常 不可压

21. 作业 3---1 3---4 3---7 预习 第三章理想流体动力学基本方程 §3-4动量方程和运动方程 §3-5伯努利方程