第四部分图论

第四部分图论 4.1 图的基本概念 4.2 欧拉图与哈密顿图 4.3 树 4.4 平面图及图的着色

4.1 图的基本概念 4.1.1 图无序积A&B＝{（a，b）|a∈A∧b∈B} 定义14.1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记做G，其中（1）V≠φ称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E称为边集，它是无序集V&V的多重子集，其元素称为无向边。简称边。

定义14.2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记做D，其中（1）V同无向图。（2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向边。简称边。如书例14.1 其它规定与概念见书P268

定义14.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终点相同（也就是它们的方向相同），则称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图。既不含平行边也不含环的图称为简单图。

定义14.4 设G＝<V，E>为一无向图，∀v∈V，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简记为度，记做dG（v），在不发生混淆时，简记为d（v）。设D＝<V，E>为有向图，∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记做，简记。称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记做，简记作，称为v的度数，记做d（v）。悬挂顶点，悬挂边偶度（奇度）顶点

定理14.1（握手定理）设图G＝<V，E>为任意无向图，其中结点集合为V={v1，v2，…，vn}，|E|＝m，则定理14.1（握手定理）设图G＝<V，E>为任意无向图，其中结点集合为V={v1，v2，…，vn}，|E|＝m，则定理14.2 设有向图D＝<V，E>为任意无向图，其中结点集合为V={v1，v2，…，vn}，|E|＝m，则且推论任何图（无向的或有向的）中，奇度顶点的个数是偶数个。

定理14.3 设非负整数列d＝（d1，d2，…，dn），则d是可图化的当且仅当定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则例：判断下列各数列哪些可图化？哪些可简单图化？（1）（5，5，4，4，2，1）（2）（5，4，3，2，2）（3）（3，3，3，1）（4）（d1，d2，…，dn），d1>d2>…>dn≥1且∑di为偶数（5）（4，4，3，3，2，2）

4 c d 2 3 1 b a 定义14.5 设图G的点集为V，边集为E，图G′的点集为V′，边集为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，使对任意的u，v∈V，(u，v)∈E（或<u，v>∈E），当且仅当（f（u），f（v））∈E′（或<f（u），f（v）>∈E′），并且重数相同，则称图G和G′ 同构，记作G≌G′。例如：

定义14.6 设G为n阶无向简单图，如果任意两个不同的结点之间都有一条边关联，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn（n≥1）。设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余n－1个顶点，又邻接于其余的n－1个顶点，则称D是n阶有向完全图。设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶竞赛图。如书图14.4 易知：n阶无向完全图，n阶有向完全图，n阶竞赛图的边数分别为

定义14.7 设G为n阶无向简单图，若∀v∈V（G），均有d（v）＝k，则称G为k－正则图。定义14.8 设G＝<V，E>，G’＝<V’，E’>为两个图（同为无向图或同为有向图），若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图，G为G’母图，记做G’⊆G，又若V’⊂V或E’⊂E，则称G’为G的真子图。若V’＝V，则称G’为G的生成子图。导出子图如图14.5

定义14.9 设G＝<V，E>为n阶无向简单图。以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记做。若图，则称G是自补图。如图14.6 定义14.10 设G＝<V，E>为无向图。（1）设e∈E，用G－e表示从G中去掉边e，称为删除边e。又设E’⊂E，用G－E’表示从G中删除E’中所有边，称为删除E’。

（2）设v∈V，用G－v表示从G中去掉v及所关联的一切边，称为删除顶点v，又设V’⊂V，用G－V’表示从G中删除V’中所有顶点，称为删除V’。（2）设v∈V，用G－v表示从G中去掉v及所关联的一切边，称为删除顶点v，又设V’⊂V，用G－V’表示从G中删除V’中所有顶点，称为删除V’。（3）设边e＝（u，v）∈E，用G\e表示从G中删除e后，将e的两个端点u，v用一个新的顶点w（或用u或v充当w）代替，使w关联e以外u，v关联的所有边，称为边e的收缩。（4）设u，v∈V（u，v可以相邻，也可能不相邻），用G⋃（u，v）（或G＋（u，v））表示在u，v之间加一条边（u，v）称为加新边。如图14.7

4.1.2 通路与回路 定义在无向图（或有向图）G=<V，E>中，设v0，v1，…，vn∈V，e0，e1，…，en∈E，其中ei是关联于结点vi-1，vi的边，交替序列v0e0v1e1…en-1 vn称为联结v0到vn的通路。v0和vn分别称为通路的起点和终点，通路中所含边的条数称为该通路的长度。如果通路中的始点与终点相同，则称这条路为回路。如果经过的边各异，则称此路径为简单通路（回路）如果经过的结点各异边也各异，则称初级通路或路径（初级回路或圈），奇圈，偶圈。

复杂通路（复杂回路） 更简单的表示法：（1）只用边的序列表示通路（回路）。（2）在简单图中可以只用顶点表示通路（回路）。定理14.5 在n阶无向图G中，如果存在一条从vi到vj的通路，则从vi到vj必有一条长度小于或等于n-1的通路。推论在n阶无向图G中，如果从vi到vj存在一条通路，则从vi到vj必有一条长度小于或等于n-1的初级通路（或路径）。

定理14.6 在n阶无向图G中，如果存在一条vi到自身的回路，则必有一条vi到自身长度小于或等于n的回路。推论在n阶无向图G中，如果存在一条vi到自身的简单回路，则必有一条vi到自身长度小于或等于n的初级回路。

4.1.3 图的连通性 定义14.12 设无向图G＝<V，E>，∀u，v∈V，若u，v之间存在通路，则称u，v是连通的，记做u～v，∀v∈V，规定v～v。定义14.13 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连通图或分离图。易证：连通关系是V上的等价关系。

定义14.15 设u，v为无向图G中任意两个顶点，若u～v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记做d（u，v）。当u～v时，规定d（u，v）＝。定义14.14 设无向图G＝<V，E>，V关于顶点之间的连通关系～的商集V/～＝{V1，V2，…，Vk}，Vi为等价类，称导出子图G[Vi]（i＝1，2，…，k）为G的连通分支，连通分支数k常记为p（G）。

距离有以下性质： （1）d（u，v）≥0，u＝v时，等号成立。（2）具有对称性：d（u，v）＝d（v，u）（3）满足三角不等式：∀u，v，w∈V（G），则d（u，v）＋d（v，w）≥d（u，w）定义14.16 设无向图G＝<V，E>，若存在V’⊂V，且V’≠Ф，使得p（G－V’）>p（G），而对于任意的V’’⊂V’，均有p（G－V’’）＝p（G），则称V’是G的点割集，若V’是单元集，即V’＝{v}，则称v为割点。如图14.8

定义14.17 设无向图G＝<V，E>，若存在E’⊂E，且E’≠Ф，使得p（G－E’）>p（G），而对于任意的E’’⊂E’，均有p（G－E’’）＝p（G），则称E’是G的边割集，若E’是单元集，即E’＝{e}，则称e为割边或桥。如上例定义14.18 设G为无向连通图且不含完全图作为子图，则称κ（G）＝min{|V’||V’为G的点割集}为G的点连通度，简称连通度。规定完全图Kn的点连通度为n－1，又规定非连通图的点连通度为0。又若κ（G）≥k，则称G是k－连通图。

定义14.19 设G为无向连通图，则称λ（G）＝min{|E’||E’为G的边割集}为G的边连通度。规定完全图Kn的边连通度为n－1，非连通图的边连通度为0。又若λ（G）≥r，则称G是r边－连通图。见书例14.6 定理14.7 对于任何无向图G，有 κ（G）≤λ（G）≤δ（G）

定义14.20 在有向图D=<V，E>中，若从结点u到v有通路，则称u可达v，记做u→v。规定u总是可达自身的，即u→u。若u→v且v→u，则称uv相互可达，记做u↔v。则u↔u 。定义14.21 在有向图D=<V，E>中，任意结点u，v，若u→v，称u到v长度最短的通路为u到v的短程线，短程线的长度为u到v的距离，记做d<u，v>。

定义14.22 设D=<V，E>为一个有向图，若D的基图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图。若任意的u，v∈V，u→v或v→u，则称D是单向连通图。若均有u↔v，则称D是强连通图。如书图14.11 定理14.8 设有向图D=<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}。D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路。

定理11.9 设D是n阶有向图，D是单向连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。定义14.23 若无向图G的点集V可以划分成两个子集V1和V2（V1∪V2=V，V1∩V2=Ø）并使图中每一条边的端点一个在V1中，另一个在V2中，则称图G为二部图（或偶图），V1,V2称为互补顶点子集，G记作(V1,V2，E)。又若G是二部图，且V1中的每一个结点都与V2中的每一个结点邻接，则称G为完全二部图，记作Kr，s，其中r=|V1|，s=|V2|。如书图14.13

定理14.10 一个无向图G＝<V，E>是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。

4.1.4 图的矩阵表示 定义14.24 设无向图G=<V，E>，V={v1，v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则矩阵M（G）=（mij）n×m为G的关联矩阵。如书图14.14

定义14.25 设有向图D=<V，E>中无环，V={v1，v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，则矩阵M（D）=（mij）n×m，其中称M（D）为有向图D的关联矩阵。如书图14.15

定义14.26 设有向图D=<V，E>中，V={v1，v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，令为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称为D的邻接矩阵，记做A（D），或简记A。如书图14.16

定义14.27 设有向图D=<V，E>，V={v1，v2，…，vn}令则称矩阵(pij)n×n为图D的可达矩阵。记作P（D），简记为P。

2 l1 1 l4 l5 l2 4 3 l3 例：如下图

4.1.5 图的运算 定义14.28 定义14.29 如书P290页

4.2 欧拉图与哈密顿图 定义15.1 给定无孤立结点图G，如果图中存在一条通过图中各边一次且仅一次的回路，则称此回路为欧拉回路，具有欧拉回路的图，称为欧拉图。如果图中存在一条通过图中各边一次且仅一次的通路，则称此通路为欧拉通路，具有欧拉通路而无欧拉回路的图，称为半欧拉图。如图15.1

定理15.1无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图。且图中没有奇度顶点，即各点的度数为偶数。定理15.1无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图。且图中没有奇度顶点，即各点的度数为偶数。定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当图G是连通的，且G中恰有两个奇度顶点。如下图：

定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的，且图中每个顶点的入度和出度相等。定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个顶点的入度比它的出度多1，另一个顶点的出度比它的入度多1，而其他结点的入度和出度相等。定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈的并。 Fleury算法

4.2.2 哈密顿图 定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图，平凡图是哈密顿图。如图15.6 P300

定理15.6设无向图G=<V，E>是哈密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集V1，都有p（G-V1）≤|V1|成立，其中p（G-V1）是G-V1中的连通分支数。定理15.6设无向图G=<V，E>是哈密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集V1，都有p（G-V1）≤|V1|成立，其中p（G-V1）是G-V1中的连通分支数。推论设无向图G=<V，E>是半哈密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集V1，都有p（G-V1）≤|V1|＋1成立。如例15.4

定理15.7 设图G是具有n个结点（v1，v2，…，vn）的无向简单图，如果图G中任意两个不相邻结点均有 d (vi)+d (vj)≥n-1 则图G具有哈密尔顿通路，即G是半哈密尔顿图。推论设G为n（n≥3）阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点均有 d (vi)+d (vj)≥n 则图G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。

定理15.8 设u，v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点，且d（u）＋d（v）≥n，则G为哈密顿图当且仅当G∪（u，v）为哈密顿图（（u，v）是加的新边）。定理15.9 若D为n（n≥2）阶竞赛图，则D中具有哈密顿通路。

4.2.3 带权图与货郎担问题 定义15.3 给定图G＝<V，E>（G为有向图或无向图），设W：E→R（R为实数集），对G中任意的边e＝（vi，vj）（或<vi，vj>），设W（e）＝wij，称实数wij为边e上的权，并将wij标注在边e上，称G为带权图，此时常将带权图G记做<V，E，W>。设G‘是G子集，称∑W（e）为G’的权，并记做W（G‘），即W（G‘）＝∑W（e）。

4.3 树 4.3.1 无向树及其性质定义16.1 设T是无回路的无向简单连通图，则称T为无向树，或简称为树。平凡图称为平凡树；若无向图G至少有两个连通分支，则称其为森林。悬挂顶点称为树叶。度数大于或等于2的顶点称为分支点。

图1 图2 如下图：

定理16.1 设G是含n个结点和m条边的简单无向图，则下列各结论都是等价的，都可作为无向树的定义。（1）G是树。（2）G中任意两个不同的结点间，有且仅有一条通路相连。（3）G无回路且m=n－1。（4）G连通且m=n－1。（5）G连通，但删去树中任意一条边，则变成不连通图。（6）G连通且无回路，若在G中任意两个不邻接的结点中添加一条边，则构成的图包含唯一的回路。

定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。

定义16.2 设T是 无向图G的子图并且为树，若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。设T是G的生成树，∀e∈E（G），若e∈E（T），则称e为T的树枝，否则称e为T的弦。并称导出子图G[E（G）－E（T）]为T的余树，记做。 4.3.2 生成树定理16.3 无向图G具有生成树当且仅当G是连通图。

推论3 设T是连通图G的一棵生成树， 为T的余树，C为G中任意一个圈，则推论1 设G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n－1。推论2 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G的生成树，则T的余树中含有m－n＋1条边（即T有m－n＋1条弦）。

定理16.4 设T为无向连通图G中一棵生成树，e为T的任意一条弦，则T∪e中含G中只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈也不同。定义16.3 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e‘1，e’2，…，e‘m－n＋1为T的弦，设Cr为T添加弦e’r产生的G中只含弦e‘r，其余边均为树枝的圈，称Cr为G的对应T的弦e’r的基本回路或基本圈，r＝1，2，…，m－n＋1。并称{C1，C2，…，Cm－n+1}为G对应T的基本回路系统，称m－n＋1为G的圈轶，记做。

定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树， e1，e2，…，en-1为T的树枝，Si是G的只含树枝e‘i的割集，则称Si为G的对应生成树T由树枝e’i生成的基本割集，i＝1，2，…，n－1。并称{S1，S2，…，Sm－n+1}为G对应T的基本割集系统，称n－1为G的割集轶，记做。定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同。

定义16.5 设无向带权图G＝<V，E，W>，T是G的一棵生成树。T的各边权之和称为T的权，记做W（T）。G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法（避圈法）： 设G＝<V，E，W>是n阶无向连通带权图。 1、将m条边按权值从小到大顺序排列，设为e1，e2，e3，…，em； 2、取e1在T中； 3、依次检查e2，e3，…，em，若ei与已在T中的边不能构成回路，则取ei在T中，否则弃去，考虑ei＋1； 4、若T中边的条数小于n－1条，重复执行步骤3，否则，算法结束，输出最小生成树T。

2 12 4 11 1 9 3 8 5 2 10 6 7 1 3 9 5 8 6 如例：按权值对边进行排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

图中的红线表示最小生成树的边 • Prim算法的基本思想是： • 1). 选择图G的一条权值最小的边e1； • 2). 假设G的一棵子树T已经确定； • 3). 选择G的不在T中的具有最小权值的边e，使得T{e}仍是G的一棵子树。 1 10 2 50 45 30 40 3 4 25 5 35 55 20 15 6

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