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九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要,只剩下數學領域的綱要尚未公佈。

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九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要,只剩下數學領域的綱要尚未公佈。 - PowerPoint PPT Presentation


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九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要,只剩下數學領域的綱要尚未公佈。. 90年1月:暫行綱要版 九年一貫國中、小編寫數學課本的依據。 除了國小六年級、國中三年級之外,都已經使用依據暫行綱要版編寫的課本。. 91年10月31日: 改編之未公告版 為了配合九年一貫課程綱要正式公布,針對90年1月暫行綱要版做修改。. 92年4月30日: 修訂草案初版

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九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變
  • 九年一貫七大領域的課程綱要,只剩下數學領域的綱要尚未公佈。
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90年1月:暫行綱要版
  • 九年一貫國中、小編寫數學課本的依據。
  • 除了國小六年級、國中三年級之外,都已經使用依據暫行綱要版編寫的課本。
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91年10月31日: 改編之未公告版
  • 為了配合九年一貫課程綱要正式公布,針對90年1月暫行綱要版做修改。
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92年4月30日: 修訂草案初版
  • 部份學者專家認為九年一貫數學課程造成學生數學能力低落,其中以演算能力降低的問題最為顯注,有鑑於此,92年2月15日, 教育部組成「數學領域綱要修訂小組」,期能於九十四年度自國小一年級及國中一年級開始同時逐年級實施。
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數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的?
  • 為什麼要背九九乘法表?
  • 為什麼不要背99 ×99乘法表?
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為什麼「5+3=8」?
  • 5+3不等於8,難道答案是9嗎?
  • 你看!這裡有5個蘋果,那裡有3個蘋果,合起來數數看,是不是有8個蘋果,5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個蘋果,所以5+3=8 。
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應該先引入 5+3=8, 然後再向學童說明其義意。
  • 先有解決問題的活動, 再使用 5+3=8 紀錄解題活動。
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一定要記成5+3=8嗎 ?
  • 5
  • ]→ 8 5,3☉→8
  • 3
  • 學童先發展出自己能掌握的記法,再連結文化傳統的記法。
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幫助成人理解學童為什麼不會算數學,為什麼常使用笨的方法算數學,最好的方法是改變符號表徵,將問題改寫為成人不熟悉的符號情境,面對不熟悉的解題工具或情境,成人才能反省,學童在解題時可能發生那些困難,要如何幫助學童解決這些困難。
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沒有位值概念的數詞序列 a,b,c,d,e,f,g,…. (數到z之後怎麼辦)
  • 如果你想將問題簡單化,不理會位值概念,將注意力放在如何引入加減乘除這些算式,請使用上面這套數詞序列解題。當然,你也可以使用有位值概念的數詞序列解題。
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有位值概念的數詞序列(七進位)
  • a, b, c, d, e, f
  • ax, aa, ab, ac, ad, ae, af
  • bx, ba, bb, bc, bd, be, bf
  • …..
  • axx,axa,axb,axc,axd,axe,
  • axf, aax, aaa,aab, ….,fff,….
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請區分下面幾個概念
  • 解題活動 vs 記錄活動
  • 解題過程記錄 vs 摘要記錄
  • 解題記錄 vs 解題工具
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請使用英文字母{ㄟ,ㄅㄧ,ㄒㄧ,ㄉㄧ,....}的讀法來替代印度-阿拉伯數字國語「ㄧ,ㄦˋ,ㄙㄢ,ㄙˋ,....」的讀法
  • 請使用「a、b、c、d..」的符號替代印度-阿拉伯數字 「1、2、3、4..」的記法。
  • 選擇有或沒有位值概念的數詞序列
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甲有f個蘋果,乙有d個蘋果, 兩個人合起來共有多少個蘋果?
  • 不會加法,能夠解決加法問題嗎?

算算看,答案是多少?

j個蘋果

ac個蘋果

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不會加法,也能夠解決加法問題,透過2次做數活動,1次點數活動,就能夠算出答案。
  • a b c d e f a b c d ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ a b c d e f gh i j
  • a b c d e f ax aa ab ac
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解題活動:解決問題,算出答案。
  • 不會加法,也能夠解決加法問題,透過2次做數活動,1次點數活動,就能夠算出答案。
  • 用加法「f+d」能算出答案嗎?有那些能力才能用加法算出答案?
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記錄活動:描述解題者怎樣算出答案,以便與他人溝通。
  • 算出答案(共有j個)以後,學童有記錄解題活動的需求嗎?
  • 為什麼成人要求學童使用算式 「f+d=j」記錄解題活動?
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摘要記錄:看不到解題者的細步解題過程,但是強調記錄了題目是什麼,答案是什麼,如何使用一個特殊符號,將解題活動摘要地記錄下來。
  • 「f+d=j」是摘要記錄,強調將題目中的兩個數字直接運算,可以最快速的算出答案。
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解題過程記錄和摘要記錄, 那種記錄較容易溝通解題活動? 那種記錄學童可能自行發展?
  • 為什麼成人喜歡摘要記錄? 為什麼要發明摘要記錄?
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請區分解題活動與記錄活動!
  • 請區分解題過程記錄與摘要記錄!
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除了透過兩次做數及一次點數活動外,能夠更快速的算出加法問題的答案嗎?
  • 提升原來解題策略的效率。
  • 發展出另一套解題工具。
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a b c d
  • ○ ○ ○ ○
  • f g h I j
  • ax aa ab ac
  • 將兩次做數及一次點數活動省略成一次做數活動及一次點數活動。
  • 透過手指頭掌控加數,可以再省略成一次點數活動。
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甲每天吃c個蘋果,e天共吃幾個蘋果?
  • 請算出答案。
  • 共o個蘋果
  • 共ba個蘋果
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用乘法 c x e 能算出答案嗎?            用加法「c+c+c+c+c」能算出答案嗎?            用做數及點數,能算出答案嗎?
  • 何時才能使用加法或乘法當做工具來解決問題?
  • 人們為什麼要發明加法及乘法?
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記錄活動:描述解題者怎樣算出答案,以便與他人溝通。
  • ○○○ ○○○ ○○○ ○○○  ○○○,共有o個蘋果。 
  • 如果使用點數當做工具解題,圖像是過程記錄。 
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學童使用多個加法算式來紀錄
  • 加法算式可能是單純的過程紀錄
  • 加法算式可能又是解題的工具, 又是解題的記錄。
  • c + c =f f + c =i
  • i + c =l l + c =o
  • 可以更快速的算出答案嗎?
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可以提升加法的解題策略,例如發展出加法算則,讓加的速度變快。
  • 可以製作 c 的加法表,透過查表解決問題。
  • 可以發展出新的解題工具,例如透過乘法解決問題。
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需要使用一個算式,摘要地將加法算式「c+c=f,f+c=i,i+c=l,l+c=o」記錄下來嗎?
  • 為什麼要用乘法算式 e ×c=o 摘要的把加法算式記錄下來?
  • 如何幫學童用乘法算式 e ×c=o 摘要的把加法算式記錄下來?
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日常生活中經常遇到相同數字相加的情形,例如1枝鉛筆賣5元,7枝鉛筆賣多少錢? 因此將單價及數量直接運算得到答案,能提升解決問題的效率。
  • 1+2+3+4+….+100也很有趣,但是日常生活中並不常用到,因此放在國中引入。
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這裡所指的摘要記錄,是由過程記錄中抽象出來的新記錄,而不是兩組記錄透過繁簡比較,其中比較摘要的那一組記錄。
  • 剛開始,加法、乘法等算式是解題的摘要記錄,背起來,算式可以轉變成解題的工具,當數量變大,算式變多且不好背,人們發展出加法或乘法運算(算則)。
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需要背「英文字母乘法表」嗎? 何時開始記,何時必須熟記?  成人可以提供那些幫助?
  • 引入乘法算式(摘要記錄)以後,就應該幫助學童背乘法表。
  • 有必要三天就熟記乘法表嗎?
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分佈練習: 將要記憶或熟練的東西,分散在較長的時間來練習。
  • 我們以前是怎樣背乘法表? 需要強迫學童這樣背乘法表嗎?
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如果你是課本的編寫者,你會假設學童已經會背乘法表嗎?
  • 你會安排一些幫助熟記乘法表的活動嗎?
  • 如果班上學生的先備經驗,和編者的假設不一致時,你如何處理?
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3+3=6 3x2=6
  • 6+3=9 3x3=9
  • 9+3=12 3x4=12
  • 12+3=15 3x5=15
  • 15+3=18 3x6=18
  • 18+3=21 3x7=21
  • 21+3=24 3x8=24
  • 24+3=27 3x9=27
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3x7=21,3x8=24, 3x9=27
  • 3x7=21 是解題的工具,也是解題的紀錄。
  • 3x8=24, 3x9=27 只是解題的紀錄。
  • 3x9=27
  • 是解題的工具,也是解題的紀錄。
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3x2=6
  • 3x3=9 3+3+3+3+3+3+3
  • 3x4=12 =3×7=21
  • 3x5=15
  • 3x6=18
  • 33x7=21
  • 你喜歡那一種記法?為什麼?
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3x8=( ) 3x12=( )
  • 9x4=( ) 13x4=( )
  • 47x60=2820
  • 47x59=( )
  • 47x62=( )
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如何引入數學符號或算式?  
  • 數學課程都分三階段引入數學符號或算式,但是,不同課程對三階段所投入的教學時間不儘相同。 
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解題活動類型(簡易數學模型)
  • 在國小階段,我們算了很多的加法問題,為什麼這些情境不同的問題,都可以使用加法運算來解決問題?
  • 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵?
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成人常提示,當題目中有關鍵字「共」的時候,就可以使用加法來解決問題。
  • 成人為什麼要提示關鍵字?   提示關鍵字的目的是什麼?   
  • 統計學的觀點
  • 解題活動類型的觀點
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加法問題有那些共同的特徵?
  • 有兩個已知個數的集合,這兩個集合沒有共同的元素,當要確定這兩個集合的個 數合起來是多少個時,就可以使用加法來替代點數解決問題。
  • 數學上給加法的定義:
  • A∩B=Φ,n(A)=a,     n(B)=b,a+b=n(A∪B)。
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第一階段: 引入數學符號或算式之前。
  • 教學的重點是:
  • 理解題意。
  • 有成功解題的經驗。
  • 逐漸形成解題活動類型。
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第二階段: 引入數學符號或算式。
  • 教學的重點是:
  • 形成解題活動類型。
  • 掌握算式(摘要記錄)或算式填充題(問題記錄)的意義。
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第三階段: 引入數學符號或算式以後。
  • 教學的重點是:
  • 將算式轉變成解題的工具。
  • 提升解題效率。
  • 引入算則。
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64年課程,第一階段輕輕帶過,將多數教學時間放在第三階段。
  • 82年課程,第一階段投入較多的時間,相對之下,第三階段投入時間比較少。
  • 九年一貫課程,與82年課程比較,減少第一階段的時間,增加第三階段的時間。
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一枝鉛筆賣3元,4枝鉛筆共賣多少元?
  • 解題過程記錄(第一階段) 3+3=6,6+3=9,9+9=12
  • 摘要記錄(第二階段) 3 ×4=12 (不是解題工具)
  • 3 ×4=12(第三階段) 乘法算式是解題工具,也是解題記錄。
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一瓶水24公升,3/4 瓶水有多少公升?
  • 題意是整數乘以分數的問題,不會整數乘以分數也能夠解決問題。 只要瞭解3/4瓶的意義,就可以使用整數的乘除法當做工具解決問題,並用算式「24÷4=6, 6×3=18」記錄解題活動 (第一階段)。
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需要引入整數乘以分數的摘要記錄 「24×3/4=18」嗎?
  • 這類問題不是經常出現,只要能夠成功解題即可,不需要將「整數乘以分數」發展成解題的工具。
  • 如果這類問題經常出現,才需要引入摘要記錄「24×3/4=18 」(第二階段)
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1百萬元存在銀行,年利率5%,10年後本利和(複利)多少元?
  • 會乘法就能夠解決問題。
  • 可以透過「100萬 x 1.1 x 1.1…. 算出答案(第一階段)。
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需要發展出更有效率的解題工具  或較簡單的記法嗎?
  • 需要引入指數的記法嗎?
  • 1.1×1.1×1.1 x….1.1 =1.1(十次方)
  • 需要提升解題策略或發展出新的解題工具嗎?
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對客戶而言,很久才算一次本利和,沒有發展指數記法的需求,也沒有將指數發展成解題工具的需求。
  • 對銀行行員而言,面對不同的利率、存款年數,以及大量的客戶,自然會發展出指數的記法,以及編寫出指數表協助解決問題。
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引入加、減、乘、除等運算時, 應該「只學習唯一算則」?  或「先接受學童法,等待認知發展成熟後才引入算則」?
  • 學童法:學童自己發展出來的解題策略。
  • 算則:某年代、某地區,大多數人所使用最有效率的解題策略。
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當計算器具使用不方便且不普遍時
  • 將學童訓練成會走路的計算機, 算的又快,又準,又狠。
  • 當計算器具使用方便且普遍時
  • 遇到大數字時使用計算器具,但是當沒有計算器具時,也能夠慢慢的算出答案。
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算則引入的方式
  • 學童能掌握計算流程的意義,並能類推到大數字的計算,但是無法說清楚為什麼可以這樣算出答案。
  • 學童能理解計算的意義,清楚的說出為什麼可以這樣算出答案,並能類推到大數字的計算。
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引入記錄格式時,應該「直接要求成人使用最精簡的紀錄格式」?  或「先要求較詳細的紀錄,等待學童掌握細部解題活動後,才接受較摘要的紀錄」 ?
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1
  • 38 38 467 467
  • +25+25x 3x 3
  • 63 13 1401 21
  • + 5 18
  • 63 + 12
  • 1401
  • 47x69=( )
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引入數學概念或工具時,應該 「直接定義數學符號或直接引入公式,再說明其意義」? 或「先有相關的解題活動後,再引入數學符號,或幫助學童自己發現公式」?
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剛開始要解決一個新數學問題時,我常不知道怎麼辦 因為
  • 甲生:還沒教過(是)
  • 乙生:我美題都會(不是)
  • 先選(是)(不是)(不確定)
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我喜歡數學              因為
  • 甲生:數學在日常生活中可以用到(是)
  • 乙生:數學很簡單(是)
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我喜歡困難的數學問題     因為
  • 甲生:可以挑戰比較困難的題目(是)
  • 乙生:困難的數學提我不會算 (不是)
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問題真的很困難,我就放棄    因為
  • 甲生:越逃避就越困難(不是)
  • 乙生:困難的題目我會的就不會放    棄(不確定)            
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數學在生活中是有用的     因為
  • 甲生:例如買東西時是用的到的(是)
  • 乙生:要算+-×÷比較方便(是)
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我比較喜歡自己做數學    (比較不喜歡和同學一起做)  因為
  • 甲生:比較安靜(是)
  • 乙生:我喜歡自己一個人做  (不是)
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我以前比較喜歡數學     (現在比較不喜歡)      因為
  • 甲生:以前的題目比較簡單(是)
  • 乙生:我喜歡數學(不是)
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我的數學表現良好       因為
  • 甲生:有些題目比較難(不確定)
  • 乙生:老師出的數學題我每題都寫(不確定)
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國小階段有需要引入計算機嗎?何時引入較恰當?
  • 學童不理解算則的意義,但是能模仿成人依序算出答案,和按計算器解題有何不同?
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你瞭解學童數與計算概念、幾何概念、代數概念、統計概念等的認知發展嗎?
  • 就數與計算教材為例,你只熟悉部份的教材(例如三、四年級),還是熟悉一系列的教材(例如一至九年級)?
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會算國小數學問題,就一定能勝任國小數學的教學嗎?
  • 為什麼經過教師與家長六年(或九年)努力教學後,一半以上的學童放棄數學?
  • 你幫助學童學習數學的方式,是害了他,或是對他有幫助?
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數學一定要教過才會嗎?
  • 如果數學一定要家長或老師教過才會,有多少比例的學生會青出於藍?如果多數學生無法青出於藍而勝於藍,臺灣學生的數學能力,會一代比一代強嗎?
  • 如果學生只是用力地模仿成人的解題活動,而無法掌握數學的意義,數學成績好的學生是數學能力強?還是體察上意(老師、家長)的能力強?
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以前學過的數學,你還記得多少?給你足夠的時間思考,你能回想起多少?
  • 九年一貫課程強調終身學習,就數學而言,你會終身學習嗎?
  • 求學階段,多數人花在數學學習上的時間最多,為什麼討厭數學的人也最多?
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