九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要，只剩下數學領域的綱要尚未公佈。

1. 九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 • 九年一貫七大領域的課程綱要，只剩下數學領域的綱要尚未公佈。

2. ９０年１月：暫行綱要版 • 九年一貫國中、小編寫數學課本的依據。 • 除了國小六年級、國中三年級之外，都已經使用依據暫行綱要版編寫的課本。

3. ９１年１０月３１日： 改編之未公告版 • 為了配合九年一貫課程綱要正式公布，針對９０年１月暫行綱要版做修改。

4. ９２年４月３０日： 修訂草案初版 • 部份學者專家認為九年一貫數學課程造成學生數學能力低落，其中以演算能力降低的問題最為顯注，有鑑於此，９２年２月１５日， 教育部組成「數學領域綱要修訂小組」，期能於九十四年度自國小一年級及國中一年級開始同時逐年級實施。

5. 國小一年級及國中一年級開始同時逐年實施，因此會導至連續六年的國中、小課程銜接問題，現在大家就應該開始思考如何面對這個問題。國小一年級及國中一年級開始同時逐年實施，因此會導至連續六年的國中、小課程銜接問題，現在大家就應該開始思考如何面對這個問題。

6. 數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的？數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的？ • 為什麼要背九九乘法表？ • 為什麼不要背99 ×99乘法表？

7. 為什麼「５＋３＝８」? • 5+3不等於8,難道答案是9嗎? • 你看！這裡有5個蘋果,那裡有3個蘋果,合起來數數看,是不是有8個蘋果,5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個蘋果,所以5+3=8 。

8. 應該先引入 5+3=8， 然後再向學童說明其義意。 • 先有解決問題的活動， 再使用 5+3=8 紀錄解題活動。

9. 一定要記成5+3=8嗎 ？ • 5 • ］→ 8 5，3☉→8 • 3 • 學童先發展出自己能掌握的記法，再連結文化傳統的記法。

10. 與成人溝通國小數學的教與學是很辛苦的，因為成人對國小數學問題過份的熟悉，因而喪失了反省能力，無法思考為什麼可以這樣快速的算出答案。

11. 幫助成人理解學童為什麼不會算數學，為什麼常使用笨的方法算數學，最好的方法是改變符號表徵，將問題改寫為成人不熟悉的符號情境，面對不熟悉的解題工具或情境，成人才能反省，學童在解題時可能發生那些困難，要如何幫助學童解決這些困難。幫助成人理解學童為什麼不會算數學，為什麼常使用笨的方法算數學，最好的方法是改變符號表徵，將問題改寫為成人不熟悉的符號情境，面對不熟悉的解題工具或情境，成人才能反省，學童在解題時可能發生那些困難，要如何幫助學童解決這些困難。

12. 沒有位值概念的數詞序列 a,b,c,d,e,f,g,…. (數到z之後怎麼辦） • 如果你想將問題簡單化，不理會位值概念，將注意力放在如何引入加減乘除這些算式，請使用上面這套數詞序列解題。當然,你也可以使用有位值概念的數詞序列解題。

13. 有位值概念的數詞序列(七進位) • a, b, c, d, e, f • ax, aa, ab, ac, ad, ae, af • bx, ba, bb, bc, bd, be, bf • ….. • axx,axa,axb,axc,axd,axe, • axf, aax, aaa,aab, ….,fff,….

14. 請區分下面幾個概念 • 解題活動 vs 記錄活動 • 解題過程記錄 vs 摘要記錄 • 解題記錄 vs 解題工具

15. 請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代印度－阿拉伯數字國語「ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代印度－阿拉伯數字國語「ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法 • 請使用「ａ、ｂ、ｃ、ｄ..」的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４..」的記法。 • 選擇有或沒有位值概念的數詞序列

16. 甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？ • 不會加法,能夠解決加法問題嗎? 算算看,答案是多少? j個蘋果 ac個蘋果

17. 不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。 • ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇｈ ｉ ｊ • ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ax aa ab ac

18. 解題活動：解決問題，算出答案。 • 不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。 • 用加法「ｆ＋ｄ」能算出答案嗎？有那些能力才能用加法算出答案？

19. 記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。 • 算出答案（共有ｊ個）以後，學童有記錄解題活動的需求嗎？ • 為什麼成人要求學童使用算式 「ｆ＋ｄ＝ｊ」記錄解題活動？

20. 解題過程記錄：強調能將解題的細部過程記錄下來，讓別人知道解題者是怎樣一步一步算出答案。解題過程記錄：強調能將解題的細部過程記錄下來，讓別人知道解題者是怎樣一步一步算出答案。 • 「○○○○○○ ○○○○ 共ｊ個」是解題過程記錄。

21. 摘要記錄：看不到解題者的細步解題過程，但是強調記錄了題目是什麼，答案是什麼，如何使用一個特殊符號，將解題活動摘要地記錄下來。摘要記錄：看不到解題者的細步解題過程，但是強調記錄了題目是什麼，答案是什麼，如何使用一個特殊符號，將解題活動摘要地記錄下來。 • 「ｆ＋ｄ＝ｊ」是摘要記錄,強調將題目中的兩個數字直接運算,可以最快速的算出答案。

22. 解題過程記錄和摘要記錄， 那種記錄較容易溝通解題活動？ 那種記錄學童可能自行發展？ • 為什麼成人喜歡摘要記錄？ 為什麼要發明摘要記錄？

23. 請區分解題活動與記錄活動！ • 請區分解題過程記錄與摘要記錄！

24. 除了透過兩次做數及一次點數活動外,能夠更快速的算出加法問題的答案嗎？除了透過兩次做數及一次點數活動外,能夠更快速的算出加法問題的答案嗎？ • 提升原來解題策略的效率。 • 發展出另一套解題工具。

25. a b c d • ○ ○ ○ ○ • f g h I j • ax aa ab ac • 將兩次做數及一次點數活動省略成一次做數活動及一次點數活動。 • 透過手指頭掌控加數,可以再省略成一次點數活動。

26. 當學童尚未熟記英文字母加法時，只能利用點數當做工具解決問題，並在解題成功後，使用加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」摘要記錄解題活動，此時加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。當學童尚未熟記英文字母加法時，只能利用點數當做工具解決問題，並在解題成功後，使用加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」摘要記錄解題活動，此時加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。

27. 當學童透過經常記錄，記憶了某些加法算式，當再遇到數量相同的加法問題時，就可以利用記憶中的加法算式替代點數來解決問題，此時，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」的角色，開始由單純的記錄轉換為解題的工具。當學童透過經常記錄，記憶了某些加法算式，當再遇到數量相同的加法問題時，就可以利用記憶中的加法算式替代點數來解決問題，此時，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」的角色，開始由單純的記錄轉換為解題的工具。

28. 如果學童利用加法算出答案，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」具有雙重角色，是解題的工具，也是解題的記錄。如果學童利用加法算出答案，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」具有雙重角色，是解題的工具，也是解題的記錄。 • 成人眼中的加法算式,是解題的工具,也是解題的紀錄。

29. 甲每天吃ｃ個蘋果,ｅ天共吃幾個蘋果？ • 請算出答案。 • 共o個蘋果 • 共ba個蘋果

30. 用乘法 c x e 能算出答案嗎？ 　　　　　　　　　　　用加法「c＋c＋c＋c＋c」能算出答案嗎？　　　　　　　　　　　　用做數及點數，能算出答案嗎？ • 何時才能使用加法或乘法當做工具來解決問題？ • 人們為什麼要發明加法及乘法？

31. 記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。 • ○○○　○○○　○○○ ○○○ 　○○○，共有ｏ個蘋果。　 • 如果使用點數當做工具解題,圖像是過程記錄。　

32. 學童使用多個加法算式來紀錄 • 加法算式可能是單純的過程紀錄 • 加法算式可能又是解題的工具， 又是解題的記錄。 • c + c =f f + c =i • i + c =l l + c =o • 可以更快速的算出答案嗎？

33. 可以提升加法的解題策略,例如發展出加法算則，讓加的速度變快。可以提升加法的解題策略,例如發展出加法算則，讓加的速度變快。 • 可以製作 c 的加法表,透過查表解決問題。 • 可以發展出新的解題工具,例如透過乘法解決問題。

34. 需要使用一個算式,摘要地將加法算式「c＋c＝f，f＋c＝ｉ，ｉ＋c＝l，ｌ＋c＝ｏ」記錄下來嗎？需要使用一個算式,摘要地將加法算式「c＋c＝f，f＋c＝ｉ，ｉ＋c＝l，ｌ＋c＝ｏ」記錄下來嗎？ • 為什麼要用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？ • 如何幫學童用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？

35. 日常生活中經常遇到相同數字相加的情形，例如1枝鉛筆賣5元，7枝鉛筆賣多少錢？ 因此將單價及數量直接運算得到答案，能提升解決問題的效率。 • 1+2+3+4+….+100也很有趣，但是日常生活中並不常用到，因此放在國中引入。

36. 這裡所指的摘要記錄，是由過程記錄中抽象出來的新記錄，而不是兩組記錄透過繁簡比較，其中比較摘要的那一組記錄。這裡所指的摘要記錄，是由過程記錄中抽象出來的新記錄，而不是兩組記錄透過繁簡比較，其中比較摘要的那一組記錄。 • 剛開始，加法、乘法等算式是解題的摘要記錄，背起來，算式可以轉變成解題的工具，當數量變大，算式變多且不好背，人們發展出加法或乘法運算（算則）。

37. 需要背「英文字母乘法表」嗎？　何時開始記，何時必須熟記？　　成人可以提供那些幫助？需要背「英文字母乘法表」嗎？　何時開始記，何時必須熟記？　　成人可以提供那些幫助？ • 引入乘法算式(摘要記錄)以後，就應該幫助學童背乘法表。 • 有必要三天就熟記乘法表嗎？

38. 分佈練習: 將要記憶或熟練的東西,分散在較長的時間來練習。 • 我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

39. 如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？ • 你會安排一些幫助熟記乘法表的活動嗎？ • 如果班上學生的先備經驗，和編者的假設不一致時，你如何處理？

40. 3+3=6 3x2=6 • 6+3=9 3x3=9 • 9+3=12 3x4=12 • 12+3=15 3x5=15 • 15+3=18 3x6=18 • 18+3=21 3x7=21 • 21+3=24 3x8=24 • 24+3=27 3x9=27

41. 3x7=21,3x8=24, 3x9=27 • 3x7=21 是解題的工具,也是解題的紀錄。 • 3x8=24, 3x9=27 只是解題的紀錄。 • 3x9=27 • 是解題的工具,也是解題的紀錄。

42. 3x2=6 • 3x3=9 3+3+3+3+3+3+3 • 3x4=12 =3×7=21 • 3x5=15 • 3x6=18 • 33x7=21 • 你喜歡那一種記法？為什麼？

43. 3x8=( ) 3x12=( ) • 9x4=( ) 13x4=( ) • 47x60=2820 • 47x59=( ) • 47x62=( )

44. 如何引入數學符號或算式？　　 • 數學課程都分三階段引入數學符號或算式，但是，不同課程對三階段所投入的教學時間不儘相同。　

45. 解題活動類型（簡易數學模型） • 在國小階段，我們算了很多的加法問題，為什麼這些情境不同的問題，都可以使用加法運算來解決問題？ • 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵？

46. 成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。 • 成人為什麼要提示關鍵字？　　　提示關鍵字的目的是什麼？　　　 • 統計學的觀點 • 解題活動類型的觀點

47. 加法問題有那些共同的特徵？ • 有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個　數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。 • 數學上給加法的定義： • Ａ∩Ｂ＝Φ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

48. 第一階段： 引入數學符號或算式之前。 • 教學的重點是： • 理解題意。 • 有成功解題的經驗。 • 逐漸形成解題活動類型。

49. 第二階段： 引入數學符號或算式。 • 教學的重點是： • 形成解題活動類型。 • 掌握算式（摘要記錄）或算式填充題（問題記錄）的意義。

50. 第三階段： 引入數學符號或算式以後。 • 教學的重點是： • 將算式轉變成解題的工具。 • 提升解題效率。 • 引入算則。