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§ 5 、三重积分

第二十一章 重积分. § 5 、三重积分. z. . d z. d x. d y. y. x. 0. 当   R 3 ， 有 X =( x , y , z )  , d  = d v. 三重积分. 则. 1. 直角坐标系下三重积分的计算. 直角坐标系下，记体积元素. d v =d x d y d z. 则. z. z = z 2 ( x , y ). y. z = z 1 ( x , y ). D. x. 0. Case1. 化成一个定积分和一个二重积分. y = y 2 ( x ). a. b.

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§ 5 、三重积分

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  1. 第二十一章 重积分 §5、三重积分

  2. z  dz dx dy y x 0 当   R3，有 X=(x, y, z) , d = dv 三重积分 则 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz 则

  3. z z=z2(x, y) y z=z1(x,y) D x 0 Case1. 化成一个定积分和一个二重积分 y=y2(x) a b y=y1(x) 设 D 为  在 xy 平面上投影区域.

  4. z x+y+z=1 y 0 1 y x+y=1 D x x 1 例1.计算 其中是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解：D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1

  5. z 解：D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤  x 0 y y D x 0 例2.计算 其中  是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0,

  6. z y=y2(x, z) y=y1(x, z) Dxz y 0  x

  7. z  Dyz y 0 x x=x1(y, z) x=x2(y, z)

  8. z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x 化为三次定积分，其中 例3. 将  是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影. x2+y2=1 z= x2+y2  z=1 z=1 D: x2+y2≤1

  9. z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x

  10. z Dxz y 1 0 1 x 解2：先对 y 积分，将  向 xz 平面投影： z= x2+y2 z=1 Dxy: x2 ≤z ≤1,  1 ≤x≤1 z= x2+y2

  11. z z2  z D(z) z2 y 0 x Case2. 化为一个二重积分和一个定积分  :(x, y)D(z), z1≤z≤z2

  12. z 1 D(z) y 0 1 x 例4.计算 其中  是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. 解：D(z): x2+y2≤z z[0, 1]

  13. z 1 1 0 y y 1x z=1xy x 1 D(x) x 0 1x 例5.计算 其中  是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解：D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤1xy x : 0 ≤ x ≤ 1

  14. x=x(u, v, w) y=y(u, v, w) z=z(u, v, w) 2. 三重积分的换元公式 设变换T： 将 uvw 空间中的有界闭域  * 变成 xyz 空间中的有界闭域  ，且满足 (1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)

  15. (2) (u, v, w)* 有 0

  16. (3) T :  * 是一一对应 若 f (x, y, z)C( )，则

  17. z 0 y x 3、利用柱坐标变换计算三重积分 M (r, , z) z M x=rcos • y=rsin y r z=z  x (0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)

  18. z o y x 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 =常数 z=常数

  19. = r 故 dxdydz=rdrddz

  20. z  z =0 z =1 y 0 D x 其中 由 例6.计算 与 z=1 所围闭区域. 解： z=1 z=r  D: x2+y2≤1  z =r

  21. z z=1 z=r y 0 1 x D

  22. z y 0 1 x 例7.计算  ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解： D: x2+y2≤1 

  23. z y  x 其中是由 例8. 与 z=1 所围闭区域. 解：用 =  截  得 D() 而 0≤  ≤2 故 原积分=

  24. z 1 D( ) z= r r 0 1 z y  x

  25. z y 0 x 例9 计算三重积分 其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：用 =  截  得 D() 而 0≤  ≤2 故 原积分 = 

  26. z 1 r 0 1 z y 0  x

  27. z z M • r  y y 0  x x P 4、利用球坐标变换计算三重积分 M (r, ,) x=OPcos  = r sin cos y= OPsin  = rsin sin z= r cos (0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)

  28. z y x 球面坐标的三组坐标面： r =常数  =常数  =常数 dxdydz= r2sindrdd

  29. z y 0 x 例10.计算 其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：x2+y2+z2=1  r=1 用 =  截  得 D() 而 0≤  ≤2 故 原积分 

  30. 1  r=1  0 1 z y 0  x z

  31. z y a  x 例11. 和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域. 解：x2+y2+z2=a2r=a  原积分

  32. z y z a  r=a x

  33. 小 结 三重积分的定义和计算 （计算时将三重积分化为三次积分）

  34. 柱面坐标 柱面坐标的体积元素 球面坐标 球面坐标的体积元素 作业：P251: 1-（1）,（2） 3－（1）

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