1 / 20

Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice

Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice. Že vemo, da lahko n označenih elementov postavimo v r označenih celic na r n načinov. [Iz vreče jemljemo celice A, B, C, ... (s ponavljanjem) in jih postavljamo v vrsto ob n označenih elementov: 1, 2, ..., n].

jessamine-tillman
Download Presentation

Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice • Že vemo, da lahko n označenih elementov postavimo v r označenih celic na rn načinov. • [Iz vreče jemljemo celice A, B, C, ... (s ponavljanjem) in jih postavljamo v vrsto ob n označenih elementov: 1, 2, ..., n]

  2. Označeni elementi v označene neprazne celice • V tem primeru najprej porazdelimo n označenih elementov na S(n,r) načinov v r neoznačenih, nepraznih celic, le-te pa potem uredimo na P(r) = r! načinov. • Odgovor: n označenih elementov lahko porazdelimo v r označenih, nepraznih celic na • r! . S(n,r) načinov.

  3. Neoznačeni elementi v neoznačene neprazne celice • Te porazdelitve so ekvivalentne razbitjem števila n na vsote pozitivnih naravnih števil: • n = n1 + n2 + ... + nr, n1≥ n2≥ ... ≥ nr≥ 1. • Oznaka: Število porazdelitev n neoznačenih elementov v r neoznačenih, nepraznih celic označimo s p(n; r). • p(n; r) – število zapisov naravnega števila n v obliki vsote r pozitivnih členov.

  4. Ferrersov diagram • Zgled: 15 = 7 + 3 + 2 + 2 + 1 • Ferrersov diagram:

  5. Število razbitij p(n) števila n • p(n) je število vseh razbitij števila n. • p(n) = p(n;r) = p(n;1) + p(n;2) + ... + p(n;n). • Nekaj zvez: • p(n;1) = 1 • p(n;n) = 1 • p(n;k) = 0, k > n. • p(n;k) = p(n-k;1) + p(n-k;2) + ... + p(n-k;k)

  6. Dokaz zadnje vrstice • n = n1 + n2 + ... + nk, n1≥ n2≥ ... ≥ nk≥ 1 • n - k = (n1 – 1) + (n2 – 1) + ... + (nk - 1), • (n1 – 1)≥ (n2 – 1)≥ ... ≥ (nk – 1) ≥ 0. • Pravilo vsote! • Posledica: • p(n;k) = p(n-k;k) + p(n-1;k-1)

  7. Oceni • Za p(n;k) velja ocena: • Za p(n) pa Hardy-Ramanujanova ocena:

  8. Naloga • Predstavi p(n;k) v obliki trikotne tabele za n = 1, 2, ... , 20, k = 1, 2, ... , n. • Dodaj še vrstico za p(n), n = 1, 2, ... 20. • Uporabi oceni iz prejšnje prosojnice za izdelavo podobne trikotne tabele. Tabeli primerjaj. • Oceno za p(n) lahko dobimo na dva načina: Hardy-Ramanujanova ocena in s seštevanjem ocen za p(n;k). Dobljeni oceni primerjaj z eksaktnimi vrednostmi.

  9. Tabela p(n;k)

  10. Izrek • Izrek: Število razbitij števila n v katerih je največji člen enak k je enako p(n;k). • Dokaz: S Ferrersovim diagramom in pravilom enakosti.

  11. Neoznačeni elementi v neprazne označene celice • Naj bo n elementov in r celic. Celice so neprazne: • Med n enakih krožcev v vrsti potegnemo r-1 črt, ki določajo porazdelitev. Dve zaporedni črti ne smeta biti sosedni. • o o | o | o o o | o o (n = 8, r = 4). • To lahko storimo na C(n-1,r-1) načinov. [namesto o | pišemo npr. + in zbrišemo zadnji krožec] • o + + o o + o [n-r krožcev in r-1 znakov +]

  12. Neoznačeni elementi v označene celice • Naj bo n elementov in r celic. Celice so lahko tudi prazne: • Med n enakih krožcev v vrsti potegnemo r-1 črt, ki določajo porazdelitev. Dve zaporedni črti sta lahko sosedni. • o o | | o o o o | o o (n = 8, r = 4). • To lahko storimo na C(n + r - 1,r - 1) načinov.

  13. Porazdelitev elementov sestave (p1, p2, ... , pk ) • Naj bo n = p1 + p2 + ... + pk število elementov. Elementov tipa pi ne ločimo med seboj. Porazdeliti jih moramo v r (lahko praznih) celic. • Razmišljamo za vsak tip posebej: C(pi + r –1, pi). Ker so izbire med seboj neodvisne, je končni rezultat: • C(p1 + r –1, p1) C(p2 + r –1, p2) ... C(pk + r –1, pk)

  14. Permutacije • Kot vemo, je permutacija p bijektivna preslikava množice A nase: p: A  A. Kot vemo, lahko premutacije komponiramo in sestavljajo grupo SA, ki ima n! elementov, pri čemer je n = |A|. • Permutacijo lahko na en sam način zapišemo kot produkt disjunktnih ciklov.

  15. Zapis permutacije s cikli 1 • Zgled: • p(1) = 2, p(2) = 6, • p(3) = 5, p(4) = 4, • p(5) = 3, p(6) = 1. • Permutacijo zapišemo v obliki disjunktnih ciklov: • p = (1,2,6)(3,5)(4) 6 2 3 5 4

  16. Permutacije tipa (d1, d2, ... , dn ) Naj di pove, koliko ciklov dolžine i ima permutacija p. Tedaj pravimo, da je p permutacija tipa (d1, d2, ... , dn ). • Tedaj velja: 1d1 + 2d2 + ... + ndn = n • Množico vseh permutacij tipa (d1, d2, ... , dn ) označimo s P(A;d1, d2, ... , dn ). Ker je v tem zapisu veliko ničel, ga skrajšamo v obliko formalnega produkta takole: • (d1, d2, ... , dn ) = 1d12d2, ... , ndn . • Pri tem faktorje z ničlami v eksponentu spustimo.

  17. Število permutacij danega tipa • P(n; d1, d2, ... , dn ) = n!/(d1! d2! ... , dn ! 1d1 2d2 ... ndn ) • Zgled: Naša permutacija ima tip 112131 tip • Vseh permutacij tega tipa je: P(6;1,1,1,0,0,0) = 6!/(1!1!1! 112131) = 6.5.4.3.2.1/(2.3) = 6.5.4= 120.

  18. Izbori - rekapitulacija • Pri izborih n elementov reda r imamo naslednje možnosti:

  19. Porazdelitve - rekapitulacija

  20. Porazdelitve - rekapitulacija

More Related