F II– 14 Magnetické dipóly

1. FII–14Magnetické dipóly

2. Hlavní body • Magnetickédipóly • Pole která produkují • Chování ve vnějších magnetických polích • Výpočet některých magnetických polí • Solenoid • Toroid • Vodič konečného průřezu

3. Magnetický dipól I • V elektrostatice jsme definovali elektrickýdipól: Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnouabsolutníhodnotu ale opačnoupolaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů. • Vnější elekrické pole se obecně snaží dipól natáčet a posunovat.

4. Magnetický dipól II • Magnetickým dipólem jsou buď tenké ploché permanentnímagnety nebo proudovésmyčky. • Jsou opět zdroji polí speciálnísymetrie, která také klesají rychleji než pole přímých vodičů a • ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo posunoványpodobně jako elektrické dipóly. • Pomocí magnetickýchdipólů vysvětlujeme magnetickévlastnostilátek.

5. Magnetický dipól III • Mějme kruhovou vodivou smyčku o poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b. • Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad asečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.

6. Magnetický dipól IV • Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný jako směr osy smyčky, kterou nazveme osouz.V tomto případě znamená integrace pouze součetprojekcí magnetické indukce do osy z dBz = dB sin . A z geometrie: sin = a/r  1/r2 = sin2 /a2 r2 = a2 + b2 • Proveďme integraci.

7. Magnetický dipól V • Protože magnetické dipóly jsou zdroji magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány. • V homogenním magnetickém poli bude na magnetický dipól působit momentsíly, který bude jejich osunatáčet do směru magnetických siločar. • Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.

8. Otázka : • Jaká je celková síla a moment síly na obdélníkovou smyčku, protékanou proudem, leží-li v rovině kolmé k siločárám homogenního magnetického pole? • Jaký by byl rozdíl, kdyby byla smyčka kruhová?

9. Odpověď • Síla, působící na každou stranu, leží v roviněobdélníku a je k ní kolmá. Její orientace závisí na smyslu toku proudu. Každopádně, síly, působící na protilehlé strany se vyruší, protože proud v nich teče v opačném směru. • U kruhové smyčky se síla, působící na její každý kousek dl, vyruší se silou působící na protilehlý kousek dl’.

10. Magnetický dipól VI • Z obrázku vidíme, že síly působící na strany ase snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší. • Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se opět snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojici sil mající otáčivý účinek.

11. Magnetický dipól VII • Momentsíly můžeme najít například nalezením projekce sílykolmo na smyčku: T/2 = Fbsin a/2 • Protože obě síly působí ve stejném smyslu: T = BIabsin • Užitím definice magnetickéhodipólovéhomomentu: lze vztah pro momentsíly zobecnit :

12. Princip galvanometru • Použítí proudové smyčky v homogenním magentikém poli, u níž by byl moment síly kompenzován momentem síly pružiny, je možným principem měření proudu. Stupnice takového přístroje by ale byla nelineární! • U skutečných přístrojů se používá speciální radiální ale v místě smyčky konstantní magnetické pole (radiální homogenní), kde síla, působící momentem síly, je vždy kolmá ke smyčce.

13. Magnetické pole solenoidu I • Solenoidje dlouhá cívka s mnoha závity. • V případě konečného solenoidu je nutné magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity. • V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbatokrajovéefekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.

14. Magnetické pole solenoidu II • Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu. • Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu. • Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečnězředěny.

15. Magnetické pole solenoidu III • Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu. • Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom: Bl = 0NI • A zavedeme-li hustotu závitů, potom: n = N/l  B = 0nI

16. Magnetické pole solenoidu IV • Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole. • Pole co nejblížšíhomogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR. • Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkémprůměru, rozdělený na půlky.

17. Magnetické pole toroidu I • Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti. • Má-li toroid poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.

18. Magnetické pole toroidu II • Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r : B2r = 0NI  B(r) = 0NI/2r • Toto platí pro každé r uvnitř toroidu. • Je patrné, že pole je: • nehomogenní, protože závisí na r. • nulovévně toroidu.

19. Magnetické pole vodiče konečného průřezu I • Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantníproudovouhustotu. • Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče. • Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký. • Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineárnízávislostiindukce na r.

20. Magnetické pole vodiče konečného pruřezu II • Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče: B2r = 0Ienc • Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka Ienc = I r2/R2  B = 0Ir/2R2

21. Problémy na rozmyšlení • V oblasti, kde nejsou proudy musí být magnetické pole, jehož siločáry jsou rovnoběžné, zároveň homogenní. • Pole, které vytváří pravoúhlý vodič, protékaný proudem. • Vodivátyč, ležící na dvou kolejnicích kolmo k homogennímu magnetickému poli, připojí-li se kolejnice ke zdroji.

22. Giancoli • Kapitola 27 – 5 a 28 – 4, 5

23. Kruhová proudová smyčka I

24. Kruhová proudová smyčka II S = a2je plocha smyčky a její normála má směr osy z. Můžeme definovat magnetický dipólový moment a předpokládat, že pole pozorujeme z velké dálkym takžeb>>a. Potom: Magnetický dipól je zdrojem magnetického pole speciální symetrie, které klesá se třetí mocninou vzdálenosti. ^

25. The vector or cross product I Let c=a.b Definition (components) • The magnitude |c| Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

26. The vector or cross product II The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system. ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)} ^