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第二章 特殊三角形 复习课. 等腰三角形的性质与判定 1. 性质 (1) :等腰三角形的两个底角相等。 (2) :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 判定 定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形 : 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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第二章 特殊三角形 复习课
等腰三角形的性质与判定 1.性质(1):等腰三角形的两个底角相等。(2):等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3 , 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形性质与判定的应用(1)计算角的度数 利用等腰三角形的性质,结合三角形内角和定理及推论计算角的度数,是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数,求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形(此时往往设法用未知数表示图中的角,从中得到含这些未知数的方程或方程组)(2)证明线段或角相等等腰三角形性质与判定的应用(1)计算角的度数 利用等腰三角形的性质,结合三角形内角和定理及推论计算角的度数,是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数,求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形(此时往往设法用未知数表示图中的角,从中得到含这些未知数的方程或方程组)(2)证明线段或角相等
以等腰三角形为条件时的常用辅助线: • 如图:若AB=AC • ①作AD⊥BC于D,必有结论:∠1=∠2,BD=DC • ②若BD=DC,连结AD,必有结论:∠1=∠2,AD⊥BC • ③作AD平分∠BAC必有结论:AD⊥BC,BD=DC • 作辅助线时,一定要作满足其中一个性质的辅助线,然后证出其它两个性质,不能这样作:作AD⊥BC,使∠1=∠2.
例题分析 分析:我们首先在草稿上画好一个示意图,然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程…… • 例1 已知一腰和底边上的高,求作等腰三角形。 已知:线段a、h 求作:△ABC,使AB=AC=a,高AD=h 作法: 1、作PQ⊥MN,垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心,以a为半径作弧,交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。
例题分析 例2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。求证:BM=CM。 • 证明:∵AB=AC • ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角) • ∴BD⊥AC于D,CE⊥AB于E • ∴∠BEC=∠CDB=90° • ∴∠1+∠ACB=90°,∠2+∠ABC=90°(直角三角形两个锐角互余) • ∴∠1=∠2(等角的余角相等) • ∴BM=CM(等角对等边) 说明:本题易习惯性地用全等来证明,虽然也可以证明,但过程较复杂,应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。
例题分析 例3.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC.请说明AC=BD的理由. • 解∵BD=DC,∠B=15° • ∴∠DCB=∠B=15°(等角对等边) • ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° • (三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和) • ∵∠A=90° • ∴AC= DC • ∴AC= BD
例题分析 例4.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点.求证:△MDE是等腰三角形. • 分析:要证△MDE是等腰三角形,只需证MD=ME。连结CM,可利用△BMD≌△CME得到结果。 证明:连结CM ∵∠C=90°,BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA (等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合) ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB(等角对等边) 在△BDE和△CEM中 ∴△BDM≌△CEM(SAS) ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形
例题分析 例5.如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE,请说明△DEF也是等边三角形的理由. • 解:∵△ABC是等边三角形 • ∴AC=BC,∠A=∠C • ∵CE=BD • ∴BC-BC=AC-CE • ∴CD=AE • 在△AEF和△CDE中 • ∴△AEF≌△CDE(SAS) • ∴EF=DE • 同理可证EF=DF • ∴EF=DE=DF • ∴△DEF是等边三角形 说明:证明等边三角形有三种思路: ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。
例题分析 例6 .如图2-8-1,中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于G请说明DG=EG的理由. • 思路 因为△GDB和△GEC不全等,所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。 说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等,故要构造三角形的全等,本题的另一种证法是过E作EF∥BD,交BC的延长线于F,证明△DBG≌△EFG,同学们不妨试一试。
例题分析 例7. 如图2-8-6,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD, AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由. • 思路在Rt△BPQ中,本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明 ∵AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°,AE=CD, ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数,这种转换问题的方法值得同学们细心体会。
例题分析 例8:如图、在△ABC中,D,E在 直线BC上,且AB=BC=AC=CE=BD, 求∠EAC的度数。 探索:如图、在△ABC中,D,E 在直线BC上,且AB=AC=CE=BD, ∠DAE=100°,求∠EAC的度数。
练习 • 1.下列结论叙述正确的个数为( ) • ( 1)等腰三角形高、中 线、角平分线重合; • ( 2)等腰三角形两底角 的外角相等; • ( 3)等腰三角形有且只有一条对称轴; • ( 4)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 • (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2.等腰三角形顶角为36°,底角为_________。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°,则顶角度数为_____________。 4.等腰三角形两个角之比为4:1,则顶角为__________,底角为___________。 5.等腰三角形两边长为4、6,这个三角形周长为_____________。 6.已知△ABC中AB=AC,AB垂直平分线交AC于E,交AB于D,连结BE,若∠A=50°,∠EBC=__________。 7.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC的周长为50,△ABD的周长为40,则AD=____________。 8.若等腰三角形顶角为n度,则腰上的高与底边的夹角为_____________。
9. 如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?9. 如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个? D 150° ⌒ H a O C E F
A D C B 9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:1两部分,已知三角形底边长为5,求腰长? 解:如图,令CD=x,则AD=x,AB=2x x 2x ∵底边BC=5 x ∴BC+CD=5+x AB+AD=3x 5 ∴(5+x):3x=2:1 或3x:(5+x)=2:1
A 解:∵ △ABC是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600 ( ) ∵D是AC边上的中点 ∴∠1= ∠ABC=300( ) D B C E 10、如图,D是正△ABC边AC上的中点,E是BC延长线上一点,且CE=CD,试说明BD=DE的理由. 2 1 ∵CE=CD ∴∠2= ∠E( ) ∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600( ) ∴ ∠E=300, ∴ ∠1= ∠E ∴BD=DE( )
B E D A C 3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠CAB的平分线AD交BC于D,AB边上的高线CE交AB于E,交AD于F,求证:CD=CF 分析: CD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD ∠1=90°-∠BAD F 1 ∠2=90°-∠CAD ∠2=∠3+∠DAC 2 3 ∠3=∠B ∠ACB =90°,CE是AC边上高
还记得吗? 互余 两直角边 斜边 a2 c2 b2 较大 较小 斜边 30 斜边 斜边的一半 1 在直角三角形中,两个锐角_______。 2、直角三角形_____________的平方和等于_______的 平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条 直角边和斜边,那么_____+ _____=_____。 3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边 的平方,那么这个三角形是直角三角形,________所对 的角是直角。 4、在直角三角形中,如果一个锐角等于 _____度, 那么它所对的直角边等于_________的一半。 5、在直角三角形中,如果一条直角边等于___________, 那么这条直角边所对的角等于300。
直角三角形全等的判定方法: A A′ 3) SSS 4) HL ASA, AAS SAS B′ C B C′
温故知新: (一)填空 1、在ΔABC中,如果∠A+ ∠B= ∠C,且AC=1/2AB, 则∠B=_______。 2、如图ΔABC中, ∠ACB=90o,CD ⊥AB,垂足是D, BC=5cm,BD=1/2BC,则AD=cm。 B D A C 30o 7.5 3、如果等腰三角形底边上的 高线等于腰长的一半,那么 这个等腰三角形的三内角 分别是_______________。 4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东南方向航行,那么它们离开港口1.5小时后,相距__________千米。 30o 30o 120o 30
(二)、选择。 • 1、满足下列条件的ΔABC,不是直角三角形的是:( ) • A、b2=a2-c2 B、 ∠C=∠A-∠B • C、∠A:∠B:∠C=3:4:5 • D、a:b:c=12:13:15 • 2、下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( ) • A、一条直角边和一个锐角分别相等 • B、两条直角边对应相等 • C、斜边和一条直角边对应相等 • D、两个锐角对应相等
E C A D E F 第四题 第三题 A D B C B 3、如图,EA⊥AB,BC⊥AB,AB=AE=2BC, D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC, (3) ∠CAB=30o (4) ∠EAF=∠ADE,期中正确结论的个数是:( )A、一个 B、两个 C、三个 D、四个 4、如图,在ΔABC中,∠ACB=90o,CD是高线, E是AB上一点,且AE=AC,∠ACE:∠ACD=3:1, 则与∠DCE相等的角是( ) A 、∠A B、 ∠B C 、 ∠BCE D、以上都错
C D A 5、如图,一个长为25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。那么梯足将滑( ) (A)15分米(B)9分米(C)8分米(D)5分米 6、如图,某校A与公路距离为3000米,又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米,现要在公路边建一个商店C,使之与该校A及车站D的距离相等,则商店与车站的距离约为( ) (A)875米(B)3125米(C)3500米(D)3275米
应用与延伸: 例9、如图,设A城市气象台测得台风中心,在A城正西方向300千米的B处,正向北偏东600的BF方向移动,距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域,那么A城是否受到这次台风的影响?为什么?如果你是气象员,请你算一算。 北 F 600 东 A B 解:作AD ⊥ BF ∵由已知可得:∠ FBA=300 ∴ AD=1/2AB=150KM 而 150<200 ∴A城会受到台风的影响 D 思考:若A城与B地的方向保持不变,为了确保A城不受 台风影响至少离B地多远?
例10、如图,已知AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于 点O,若AB=5,AC=7,BD=6,求∠BCD的度数 A D B O C 分析:∵AB=AD ∴点A在线段BD的中垂线上 同理点也在BD的中垂线上 ∴AC⊥BD且平分BD ∵BD=6 ∴BO=3 ∵AB=5 由勾股定理得 AO=4 ∵AC=7 ∴OC=3 ∴△BOC等腰直角三角形 ∴∠BCO=45° 同理∠DCO=45° ∴∠BCD=90°
D A B C A D B C E 例11、如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°AB=4,BC=3,AD=12,DC=13 ,求四边形ABCD的面积 如图已知四边形ABCD中,∠A=60°∠B=∠D=90°, BC=3,CD=2,求AB2的值
B B E C F E A G F C A G D 图(2) D 例12、如图,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF, 过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,请说明: 1、BD平分EF 2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图(2)时其余条件不变,上述结论是否成立,请说明理由。 图(1)