数 学 建 模

1. 数 学 建 模 ——从自然走向理性之路 概论

2. 数学具有超越民族和时空的尺度。数学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。数学具有超越民族和时空的尺度。数学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。 — H.W.邓博 想象力比知识更重要。因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。 — A. 爱因斯坦 概论

3. 知识＋能力＝力量 缺乏知识的能力是低层次的能力, 缺乏能力的知识是僵死的知识。 大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中去的能力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培养“应用能力”是本课程的主要特点。 概论

4. 本课程着重于如下能力的培养。 1. 培养实际问题与数学问题之间的“双向翻译”能力。 2. 培养灵活而恰当地应用数学知识，创造性地解决问题的能力。 3. 培养敏锐的对问题本质的洞察能力。 4. 培养熟练使用计算机手段解决数学问题的能力。 概论

5. 课程考核方式 三人合作完成两篇数学建模论文。 题目将于四月份公布在网上。 网址：民网：http://nudt.shumo.com 军网：http://shumo.gfkd.mtn 邮箱：amao@shumo.com 概论

6. 第一讲 数学建模概论 本讲主要内容： ★ 什么是数学模型？ ★ 数学建模的一般步骤 概论

7. 一、 什么是数学模型 我们从几个简单例子说起。 例 1.1航行问题 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 概论

8. 求解 用x表示船速，用y表示水速，列出方程 x =20 y =5 答：船速每小时20千米. 概论

9. 例1.2商人安全过河问题 有三个商人与三个随从一块过河，只有一只小船，每次最多载两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。 但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？ 概论

10. y 10个 点 3 d1 2 d11 1 0 1 2 3 x 图解法： 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态~ 允许决策 ~ 移动1或2格； k奇，左下移；k偶，右上移。 安全渡河方案见图中箭头 所指路线。 概论

11. 例 1.3 一只装满水的圆柱型桶，底半径为 1 米，高为 2 米， 底部有一直径为 0.1 米的洞。问桶流空要多少时间？ 概论

12. 图 概论

13. 忽略摩擦引起的能量损失，则在一个△t时间区间内，水面降低减少的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即在任意时刻有忽略摩擦引起的能量损失，则在一个△t时间区间内，水面降低减少的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即在任意时刻有 于是 这就是流体力学中的托里拆利定律。 概论

14. 设A为桶的水平截面积，B为洞的水平截面积，h为桶内水的高度，s为由洞口流出的水柱的长度，则有设A为桶的水平截面积，B为洞的水平截面积，h为桶内水的高度，s为由洞口流出的水柱的长度，则有 －Adh＝Bds 即 dh＝－B/Ads 而 ds/dt＝v 概论

15. 故有 dh＝－B/Avdt 已知 概论

16. h-1/2dh=-4.43×(0.05)2dt——模型 对上式积分得 解得t=255.39 （秒） 以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模型的表现形式是多种多样的。 概论

17. 数学模型是对于一个特定的对象，为了一个特定的目标，根据事物的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型是对于一个特定的对象，为了一个特定的目标，根据事物的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 概论

18. “特定的对象”表明了数学模型的应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的（桶中的水）。“特定的对象”表明了数学模型的应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的（桶中的水）。 “特定的目的”表明了它的功能性，即当研究一个特定对象时，不是笼统地研究该对象的方方面面，而是为实现特别的功能而研究的（水流完的时间）。 概论

19. “根据事物的内在规律作出必要的简化假设”表明了数学模型的抽象性。从繁杂的现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽略次要因素，如例1.1中忽略了摩擦、温度、气压等。一个因素是否可忽略，须依建模目的而定，例如考虑炮弹射程时可忽略地球自转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。“根据事物的内在规律作出必要的简化假设”表明了数学模型的抽象性。从繁杂的现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽略次要因素，如例1.1中忽略了摩擦、温度、气压等。一个因素是否可忽略，须依建模目的而定，例如考虑炮弹射程时可忽略地球自转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。 概论

20. “运用适当的数学工具，得到数学结构”表明了数学模型的数量性。“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。它体现了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型。“运用适当的数学工具，得到数学结构”表明了数学模型的数量性。“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。它体现了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型。 概论

21. 图1. 数学模型的桥梁作用 每个工程技术人员应成为架设这座桥梁的工程师 概论

22. 二、数学建模的一般步骤 建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术。成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。 概论

23. 建立模型的大致步骤。 1. 模型准备 在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据。归纳为一句话： 深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。 概论

24. 2. 模型假设 在充分消化信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳为一句话： 充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。 概论

25. 3. 模型建立 ① 用数学语言描述问题。 ② 根据变量类型及问题目标 选择适当数学工 具。 ③ 注意模型的完整性与正确性。 ④ 模型要充分简化，以便于求解；同时要保 证模型与实际问题有足够的贴近度。 正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。 概论

26. 4. 模型求解 就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。 掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。 概论

27. 5. 模型检验与分析 模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。 ① 结果检验：将求解结果“翻译”回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。 ② 敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。 ③ 稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍”程度。 ④ 误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。 概论

28. 概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示： 图 2. 数学建模的过程 概论

29. 下面我们通过例子来解释各个环节。 1、用数学语言表述实际问题 例 1.2某旅游者早上8：00从山下旅店出发，沿一条小路上山，下午5：00到达山顶并留宿。次日早8：00沿同一小路下山，下午5：00回到旅店。能否断言：该旅游者在这两天的某同一时刻经过小路上的同一地点？ 概论

30. 将上、下山高度分别表示成时间t的函数f(t),g(t) ,显然它们都是关于t的连续函数，将它们在同一坐标系中绘出，可知它们必有交点。 高度 山顶 山脚 时间 8：00 17：00 图3. 上下山示意图 善于“翻译”实际问题是数学建模能力的重要因素。 概论

31. 2、必要而合理的假设简化 例1.3 DVD在线租赁问题 某网站开展DVD在线租赁业务，现有10万个会员。该网站准备购买一种新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得知愿意观看该种DVD的有200人。此外，已知60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。问：应该至少准备多少张该种DVD ，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？ 概论

32. 仔细考虑该问题，不难发现若试图完全按照实际情形考虑，存在太多的不确定性，因此不具可操作性，故问题中至少有两点假定必须明确，第一是对该DVD有需求的人数的分布；第二是借、还碟时间的分布。仔细考虑该问题，不难发现若试图完全按照实际情形考虑，存在太多的不确定性，因此不具可操作性，故问题中至少有两点假定必须明确，第一是对该DVD有需求的人数的分布；第二是借、还碟时间的分布。 每个会员愿意观看该DVD的概率记为p（ p＝0.2），会员总数记为n，在n比较大的条件下，可作如下假设1。 概论

33. 假设1：该DVD的总需求近似服从正态分布N(np, npq) （q＝1－p）。 说明：假设1中的正态分布N(np, npq)是二项分布B(n, p）的近似。 一种更为简单的近似是 假设1′：该DVD的总需求近似为np 假设2：每个会员在借碟时还碟。 概论

34. 已知60％会员（记为A类会员）每月借还碟两次，40％会员（记为B类会员）每月借还碟一次。即A、B两类会员的平均借（还）碟间隔分别为15天、30天。对于此类随机决策问题，一种常用的方法是按均值考虑，故有以下假设3。已知60％会员（记为A类会员）每月借还碟两次，40％会员（记为B类会员）每月借还碟一次。即A、B两类会员的平均借（还）碟间隔分别为15天、30天。对于此类随机决策问题，一种常用的方法是按均值考虑，故有以下假设3。 假设3： A、B两类会员的借（还）碟间隔分别固定为15天、30天。 概论

35. 在置信概率为95％的条件下，按照假设1、2、3得到该问题的解为：应该至少准备6315张该种DVD （求解过程略，读者可试解之）。 若用假设1′代替假设1，则解为：应该至少准备6250张该种DVD 。 合理假设需要对问题的透彻理解及思维上的成熟度 概论

36. 3、努力发挥创造性 例1.4欲在大学生中调查一个敏感问题，例如“你谈过恋爱吗？”。采取问卷调查的方式，要求被调查者回答“是”或“不是”。要得到对该问题回答“是”的比例，应如何设计问卷？ 概论

37. 显然，如果被调查者都能如实回答，就能很快统计出比例，但因为涉及个人隐私，事实上往往做不到,为此建立如下模型。显然，如果被调查者都能如实回答，就能很快统计出比例，但因为涉及个人隐私，事实上往往做不到,为此建立如下模型。 为叙述方便起见，我们将谈过恋爱的学生记为A类学生，其余学生记为B类。设 z—— A类学生比例 s —— A类学生如实回答的比例 t —— B类学生如实回答的比例 则一个学生回答“是”的概率为 p = zs+(1-z)(1-t ) 概论

38. 设学生的回答是各自独立的，记X为n个学生中回答“是”的个数，则 X～ B（ n，p）。 我们来求对z的估计。设s，t已知，对于p，用它的无偏估计X/n来替代，于是 X/n＝ zs+(1-z)(1-t ) ＝（t－1＋ X/n）/（s＋ t－1） 显然，上式依赖于s，t，而s，t一般并不是已知的，因此如此调查可能得不到满意的结果，需要改进问卷方法。 概论

39. 随机问卷调查法：调查者设计两种问卷： A卷问题：你谈过恋爱吗？ B卷问题：你没有谈过恋爱吗？ 问题分别写在不同卡片上，其中A卷有a张卡片， B卷有b张卡片。由学生随机抽取，题目不给调查者看，抽取者阅后放回，然后根据所抽取的问题回答“是”或“不是”。由于调查者并不知道学生回答的是哪一个问题，因此有理由认为得到的回答是真实的。 概论

40. 记 u=a/(a+b)，则学生抽到A、B卷的概率分别为u与1－u，于是学生回答“是”的概率为 p = z u+(1-z)(1-u) 记X为n个学生中回答“是”的个数，则 X～ B（ n，p），用p的无偏估计X/n来替代 p，于是 X/n＝ z u+(1-z)(1-u) ＝ （ u－1＋ X/n）/（2u－1） 概论

41. 若令u＝1或0，则很容易估计出z，但这样做会使被调查者有一种被愚弄的感觉，从而不会合作。若令u＝1或0，则很容易估计出z，但这样做会使被调查者有一种被愚弄的感觉，从而不会合作。 若令u＝1/2，则分母为0，同样什么信息也得不到，故可取u＝1/3或u＝1/4。 此例对调查方法的巧妙设计，是很好发挥创造性的一例。 不拘一格是数学建模的魅力所在。 概论