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欧拉公式与闭曲面的分类

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欧拉公式与闭曲面的分类

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Presentation Transcript

  1. 欧拉公式与闭曲面的分类 主讲教师:刘 玉 教授

  2. 一 凸多面形的欧拉公式 多面形,其中(一)(二)(三)(四)为凸多面形. 欧拉示性数:X(P)=V-E+F

  3. 正多面形 欧拉示性数:X(P)=V-E+F

  4. 凸多面形的欧拉定理 定理1(凸多面形的欧拉定理) 任意一个凸多面形P的欧拉示数都是2: X(P)=V-E+F=2

  5. 二 球面的欧拉示性数 设在球面(或同胚于它的曲面)上画有连同的网络G,它有V个顶点和E条棱,并把球面分割F个区域(面),那么V-E+F=2也成立。

  6. 两个同胚曲面 映射f: A B说是同胚映射(或同胚),是指它既是一一对应的,又是双方连续的,即不仅映射f连续,而且逆映射f-1也连续.

  7. 三 曲面 在“三页册”中点x,y,z邻近有不同结构,点y邻域是半圆形,且y在它的边界上,称点y在图形的边缘,点z的邻域由沿公共直径相连接的三个半圆组成,这时称图形在这地方分叉,点x有圆盘形域,且点x在圆盘内部,图形在这里没有边缘也没有分叉。每个点x都有同胚于圆盘的邻域(点x在其内部)的图形叫做曲面,曲面没有边缘和分叉,球面和环面都是曲面,也可以讨论有边缘的曲面,他们有边缘但没有分叉。

  8. 边缘曲面 环 柄 圆盘是个有边缘的曲面,开了若干个圆空的曲面也是边缘曲面,如果在环面上开一个空,则就得到一个有边缘的曲面,叫做环柄。

  9. 麦比乌斯带 麦比乌斯带 (是一个有边缘的曲面)

  10. 麦比乌斯带 麦比乌斯带 麦比乌斯带上存在着这样的闭道路(闭路),曲面的法向量沿这道路变动能达到与原来位置方向相反的位置。

  11. 麦比乌斯带 • 在麦比乌斯带上有这样的道路(闭路),当圆周沿这道路变动时,圆周上的方向会改变到相反的位置,这样的闭路叫做反转定向的。 麦比乌斯带

  12. 如果在曲面上没有反转定向的闭路,则这曲面叫做可定向的(或双侧的),而如果有这种闭路,则叫做不可定向的(或单侧的)。如果在曲面上没有反转定向的闭路,则这曲面叫做可定向的(或双侧的),而如果有这种闭路,则叫做不可定向的(或单侧的)。 现在设Q1和Q2是两个曲面,每一个都有同胚于圆周的边缘。把这两个曲面的边缘接起来(“粘和”),得到一个新曲面。这时就说,在曲面Q1上的孔,用曲面Q2封合起来(或反之)

  13. 带环柄的球面 考虑开有p个圆孔的球面,并且每个孔都用唤环柄封合起来。得到的曲面叫做带p个环柄的球面。带一个环柄的球面同胚于环面;带两个环柄的球面同胚于“8字形面包”表面(粘合两个环柄而得到)。

  14. 带k个环柄的曲面系列 • 我们只讨论闭曲面(它没有边缘而且可以剖分成有限个多边形)。例如平面不是闭曲面:在平面上的有限网络不能把平面剖分成全部同胚于圆盘的区域。曲面的拓扑分类问题是这样:指出这样一些两两的互不同胚的闭曲面,使任意闭曲面总同胚于其中某一个。换句话说,需要列举拓扑的不同的所有闭曲面。 • 我们先对可定向的曲面来讨论这个问题的解。用p0表示球面,并用pk表示带k个环柄的球面。可以证明,曲面 p0 , p1 , p2 ,……,pk……给出可定向的闭曲面的全部拓扑分类,即这里列举了这种曲面的全部拓扑不同的类型。 • 可以证明曲面pk的欧拉示性数等于2-2k

  15. 四 曲面的欧拉示性数 • 设Q是可以剖分成多边形的曲面(有边缘或无边缘,双侧或单侧);这就是说,在曲面上可以“画出”一个网络,它把曲面剖分成有限个同胚于圆盘的片。在网络的顶点和棱的个数记作V和E,并把由这个网络把Q剖分成的多边形的个数记作F。数 x(Q)=V-E+F 叫做曲面Q的欧拉示性数。

  16. 五 可定向的闭曲面的分类 • 曲面系列p0 , p1, p2……pk ……两两不同胚,因为他们有不同的欧拉示性数,我们可以证明任何可定向的闭曲面总同胚于曲面系列p0 , p1, p2……pk ……中的一个。

  17. 六 不可定向的闭曲面的分类 • 不可定向的闭曲面在空间中的位置只能是有自交线的。 如上图(a)上曲面画着边缘l的曲面,图(b)上画着它穿过“瓶颈”的剖面。用圆盘把孔l缝合给出闭曲面图(c),但它是自交的。实际上不应该有自交线,我们可以认为,发生这种情况只是由于曲面在空间的”不利的“位置。得到的曲面叫做克莱因瓶。它是单侧的:从瓶表面外侧的点开始移动可以进入瓶的内侧,图(b)

  18. 麦比乌斯带的边缘同胚于圆周,所以可以把麦比乌斯带沿其边缘粘到从某个曲面开出的孔的边缘上。在图( a)上画着麦比乌斯带(扭转了的平环),而在图(b )上画的是开过孔的曲面Q的一部分。如果把曲面Q的内部的“螺旋桨页片”“摊开”,则容易看出图(c)在它上面开了个同胚于圆盘的孔。因为画在图(a)和(b)上的曲面有同样的边缘,所以可以把它们的边缘粘起来,即把麦比乌斯带粘到在曲面Q上开出的圆孔上。当然,这时麦比乌斯带显然要与曲面相交,但是我们认为,相交只是由于曲面在空间的“不利的”位置。

  19. 用麦比乌斯带封合一个孔还可以换个说法。沿中位线把麦比乌斯带割开。为此我们需要先把矩形的侧边粘起来(为了得到麦比乌斯带要扭转一下),然后沿mnp线割开图(a)。但可以按相反的顺序来完成:先沿mnp线把矩形割开图(b),然后再把两侧线段粘合(按箭头所指的方向)。为了粘合,我们把矩形的下半部翻转图(c),并把两半放在图(d)那样的位置。用麦比乌斯带封合一个孔还可以换个说法。沿中位线把麦比乌斯带割开。为此我们需要先把矩形的侧边粘起来(为了得到麦比乌斯带要扭转一下),然后沿mnp线割开图(a)。但可以按相反的顺序来完成:先沿mnp线把矩形割开图(b),然后再把两侧线段粘合(按箭头所指的方向)。为了粘合,我们把矩形的下半部翻转图(c),并把两半放在图(d)那样的位置。 现在不难进行所需要的粘合图(e)。我们看到,沿线割开麦比乌斯带给出同胚于平环的图形。在图(e)上用相同字母表示的点处在对径点的位置。相反的粘合重新把平环变成麦比乌斯带。因此,如果把平环的一个圆周上的每两个对径点都粘合起来,则就得到麦比乌斯带。

  20. 现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周线。环绕空l从曲面割下狭长条(平环),且用l’表示这平环的外部周线(如左图)于是得到一个同胚于Q平面(只不过有稍大的孔l’)和单独的平环。现在在割下的平环的周线l上把每两个对径点都粘起来:那么平环就变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q(确切地说是也它同胚的曲面)上粘了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割开曲面并反过来把割开的地方粘起来等于什么也没有做,因而简单地说是在周线l上把每两个对径点都粘起来。总之,在圆孔的周线l上把每两个对径点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦比乌斯带。现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周线。环绕空l从曲面割下狭长条(平环),且用l’表示这平环的外部周线(如左图)于是得到一个同胚于Q平面(只不过有稍大的孔l’)和单独的平环。现在在割下的平环的周线l上把每两个对径点都粘起来:那么平环就变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q(确切地说是也它同胚的曲面)上粘了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割开曲面并反过来把割开的地方粘起来等于什么也没有做,因而简单地说是在周线l上把每两个对径点都粘起来。总之,在圆孔的周线l上把每两个对径点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦比乌斯带。

  21. 带k个麦比乌斯带的曲面系列 • 现在我们可以写出关于曲面分类的麦比乌斯—约当定理的后一半,那就是列举不可定向的闭曲面的所有拓扑不同的类型。我们用Np表示从球面开q个孔且全部用麦比乌斯带封起来而得到的曲面。可以证明,曲面 N1, N2 , ……Nq , …… 给出不可定向的闭曲面的完全的拓扑分类。

  22. 谢谢大家!