梁弯曲的位移

1. A x B y 梁的位移——挠度和转角 梁弯曲的位移 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。 梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度。 横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角。

2. A x B y 梁弯曲的位移 弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为 w=f(x)，此式称为挠曲线方程。 梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：

3. (a) (b) 梁弯曲的位移 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。 图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。

4. 梁弯曲的位移 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角 为正，逆时针转向的转角 为负。

5. 梁弯曲的位移 Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为 这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。

6. 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的挠度也会产生影响。在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的挠度也会产生影响。 梁弯曲的位移 工程上常用的梁其跨长 l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS 对梁的变形的影响可略去不计，而有 注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。

7. 平均曲率 某点曲率 梁弯曲的位移 从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作

8. 平面曲线的曲率可写作 梁弯曲的位移 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方向的变化率，是有正负的。

9. 梁弯曲的位移 再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"， 正弯矩对应于负值的w"，故从上列两式应有 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程

10. Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件 梁弯曲的位移 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为 进行积分，再利用边界条件确定积分常数。 E=常数：均匀梁 。 I=常数：等截面梁 。

11. 转角： 挠度： 梁弯曲的位移 已知： 挠度满足的微分方程。分别有二、四个积分常数。由边界条件来确定

12. 边界条件： 梁弯曲的位移 夹紧端： 简支端： 自由端： 无集中荷载

13. 当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有 梁弯曲的位移 以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。

14. 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。 梁弯曲的位移

15. The End

16. 梁弯曲的位移 挠曲线方程 例题:试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。

17. 解：该梁的弯矩方程为 梁弯曲的位移 挠曲线近似微分方程为 以 x为自变量进行积分得 该梁的边界条件为：在x=0处 于是得

18. 从而有 转角方程 挠曲线方程 梁弯曲的位移 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。

19. 梁弯曲的位移 可见该梁的qmax和wmax均在 x=l 的自由端处。于是有

20. 由此题可见，当以 x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的： 梁弯曲的位移 此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0 ，C2=0。

21. 事实上，当以x为自变量时 梁弯曲的位移 两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有

22. 梁弯曲的位移 例题: 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。

23. 解：该梁的弯矩方程为 梁弯曲的位移 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得：

24. 于是有 转角方程 从而有 挠曲线方程 该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在x=l 处 w=0, 梁弯曲的位移 即

25. 根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故 梁弯曲的位移 最大挠度在跨中，其值为 转角方程 挠曲线方程

26. 例题: 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。 梁弯曲的位移

27. 解：约束力为 梁弯曲的位移 两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。

28. 左段梁 右段梁 两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分： 梁弯曲的位移 挠曲线近似微分方程 积分得

29. 梁弯曲的位移 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。 在对左段梁进行积分运算时仍以x 为自变量进行，故仍有 C1=EIq0，D1=EIw0。

30. 从而也有 梁弯曲的位移 该梁的两类边界条件为 连续条件： 在x=a处: 支座约束条件：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0 由两个连续条件得： 由支座约束条件w1|x=0=0 得

31. 即 从而也有 梁弯曲的位移 由另一支座约束条件w2|x=l=0 有

32. 从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 梁弯曲的位移 左段梁 右段梁

33. 当时有 左、右两支座处截面的转角分别为 梁弯曲的位移

34. 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程等于零，得根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程等于零，得 梁弯曲的位移 显然，由于现在a>b，故上式表明x1<a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得

35. 它发生在处。而此时处(跨中点C)的挠度wC为 梁弯曲的位移 由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计时有

36. 梁弯曲的位移 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。 当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为

37. The End

38. 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。 梁的刚度校核，提高梁的刚度的措施 梁弯曲的位移 Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件：

39. 梁弯曲的位移 土建工程中通常只限制梁的挠跨比。 机械工程中，对于主要的轴， 传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角

40. 例题:图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。例题:图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。 已知[]=170 MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa。 梁弯曲的位移

41. 梁弯曲的位移 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。

42. 1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 梁弯曲的位移 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kN·m，最大剪力 。 梁所需的弯曲截面系数为

43. 每根槽钢所需的弯曲截面系数 梁弯曲的位移 由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.5×10-6 m3 而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力[s]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重(2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。

44. 2. 按切应力强度条件校核 梁弯曲的位移 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为 每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：

45. 当然，的值也可按下式得出： 梁弯曲的位移 每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为Iz=1780cm4 于是 其值小于许用切应力[t]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。

46. 3. 按刚度条件校核 梁弯曲的位移 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。 教材附录Ⅳ中给出了简支梁受单个集中荷载F时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计算公式为 可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为

47. 于是由叠加原理可得 梁弯曲的位移 而许可挠度为 由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。

48. 梁弯曲的位移 Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1)增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。 为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。

49. (2)调整跨长和改变结构的体系 梁弯曲的位移 跨长为l的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为

50. (a) 梁弯曲的位移 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为