第五节全微分方程

第五节全微分方程

一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分: 那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ ) 如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的隐函数.

另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x), 则上式两端对x求导,我们得到这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解. 因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.

由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程 (1) 的通解为其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.

例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有于是,方程的通解为

除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0

我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚.我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚.

当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程 μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.

要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 必须满足方程这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.

下面我们给出一些积分因子的方法: 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因式x2+y2,则方程可能有积分因子: 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式 xy则方程可能有积分因子: 当方程(1)的左端含有ydx-xdy的项,这时需要分三种情况寻找积分因子: A.若方程中其他的项都只含有x或y的微分表达式,则方程有积分因子 ,

B.若方程中其他的项含有因式xy,则方程可能有积分因子 1/xy; C.若方程中其他的项含有因式x2+ y2或x2-y2,则方程可能有积分因子:

例3 求微分方程 xdx+y(1+4y4+4x2y2)dy=0的通解 解:这不是全微分方程,把它改写为这属于第一种情况,其积分因子为

例4 求微分方程 xdy+ydx+x2ydx+xy2dy=0的通解 解: 这不是全微分方程,容易看出它属于第二种情况, xdy+ydx→d(xy),取积分因子1/xy

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