第四章线性映射 Linear Mapping

第四章线性映射Linear Mapping 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

主题 • 用线性映射的观点研究线性空间 • 线性映射与线性相关性的关系 • 线性映射与子空间的关系 • 两重要子空间ImA和KerA • 确定线性映射的方法——由空间基的象决定厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

要点 • 在取定基情况下线性映射矩阵几何观点代数方法 • 线性映射在不同基下的矩阵 • 矩阵的相似 • 用同构观点讨论线性映射与矩阵本质联系厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

§4.1 目的要求 • 熟练理解和掌握映射、单射、满射、双射、可逆映射的定义 • 熟练掌握线性映射的定义与基本性质 • 正确理解和掌握线性空间同构的性质与判别方法 • 了解嵌入映射与投影映射厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射_1 • 定义设V, V’是K上的线性空间, 是V到V’的映射, 且满足下列条件则称是V到V’的线性映射. 注V到V上的线性映射称为V上的线性变换. V到K上的线性映射称为V上的线性函数. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例1线性空间V到W上的0映射. • 例2线性空间V上的恒等映射idV. • 例3 V1, V2是V的子空间, . 对i =1, 2, 定义则是线性映射, 且满足称为投影映射, 为嵌入映射. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射_2 • 单线性映射 • 满线性映射厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射_3 • 命题设是的线性映射, 则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射_4 • 命题设是的线性映射, 则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性同构_1 • 线性同构或同构 • 自同构 • 命题设V, W是K上有限维线性空间, 则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性同构_2 • 命题厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

§4.2 目的与要求 • 熟练理解与掌握L(V, U)空间结构和L(V)的代数结构 • 了解Kn×n是K-代数厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的运算 • 线性映射的和 • 线性映射的数乘厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

命题V→U上所有线性映射全体 按照上述加法和数乘定义, 构成K上的一个线性空间. • V→K上所有线性函数全体也构成K上的一个线性空间, 称为V的共轭空间, 记作V*. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性变换线性映射 • 线性空间V上所有线性变换 • 线性变换的乘积 • 线性变换的幂 • 特别提示厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

代数 • 设A是集合, K是数域, 在A定义加法、数乘和乘法，使得A关于加法和数乘构成K上的线性空间, 且满足（1）乘法结合律（2）存在单位元1，使得（3）分配律（4）数乘与乘法的协调则称A为K-上的代数. • 例1设V是数域K上的线性空间，则是K-代数. • 例2是K-代数.（作业）厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_1 • 映射基和像的关系设V, U是数域K上的线性空间, 是V的一组基. 1) 设 , 且 , 则 2) 对任意给定的 , 则存在唯一线性映射使得厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

§4.3 目的与要求 • 掌握线性映射由V的基的像唯一确定的思想, 并用于解题 • 理解作为空间同构和作为代数同构及其在应用上的意义 • 同构的方法及其应用是高代中的重要思想方法之一, 也是难点之一厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_1 • 映射基和像的关系设V, U是数域K上的线性空间, 是V的一组基. 1) 设 , 且 , 则 2) 对任意给定的 , 则存在唯一线性映射使得厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_2 • 线性映射的表示矩阵设V,U是K上线性空间 , 分别取V, U的基如下假定则称矩阵为在与下的表示矩阵. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_3 • 线性映射与表示矩阵的关系 • 定理厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_3 • 推论设V, U分别是K上是n, m维线性空间, 则 • 注设分别是V,U的两组基, 对则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵 _3 定理设是V的一组基, 是U的一组基. 定义则有交换图厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射与矩阵_3 • 命题设是V的基, 且又设是U的基, 且设 , 则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性变换与矩阵_1 • 定义设A, B是两个K-代数, 若存在K-空间同构映射且满足则称是K-代数同构. • 定理设V是数域K上的n维线性空间, 是V的一组基, 令其中则是代数同构. • 推论设V是n维线性空间, 则 . 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性变换与矩阵_2 • 命题设是V的基, 且设 , 且则 • 命题设则A, B是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性变换与矩阵_3 • 定义设若存在可逆矩阵P, 使得则称A与B相似. • 注n维线性空间上同一个线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的. • 命题相似关系是等价关系. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例1 设V是n维线性空间, U是m维线性空间, . 则存在V的基 , U的基 , 使得 • 例2 设V是n维线性空间, . 则存在使得 , 其中是可逆矩阵. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

§4.4 目的与要求 • 熟练掌握线性映射的核　　与像的概念及用于刻画的单射、满射; • 熟练掌握和应用维数公式; • 学会对具体例子的和的计算; • 掌握维数公式证明过程中应用到的扩基方法和同构方法; • 理解用线性映射证明秩的命题的方法. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_1 • 引理设 1) 若是V的子空间, 则是U的子空间; 2) 若是U的子空间, 则是V的子空间. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_2 • 定义线性映射像空间 φ的秩核空间 φ的零度厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_3 • 定理设是上的线性映射. 则是U的子空间; 是V的子空间. • 推论 • 推论是单射; 是满射. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例 • 例1 求 , 其中 • 例2 设 . 定义线性映射求Im A, KerA. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_4 定理设是V的一组基, 是U的一组基. 定义则有交换图厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_5 • 定理线性映射的秩与表示矩阵的秩之间的关系 • 定理像空间、核空间及表示矩阵的秩之间的关系 • 推论设线性映射则 1) 是单射r(A)=n=dimV; 2) 是满射r(A)=m=dimU. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

线性映射的像与核_6 • 推论设是n维线性空间V的线性变换, 则下列命题等价: 1) 是可逆映射; 2) 是同构映射; 3) 是单射; 4) 是满射; 5) 在一组基下的表示矩阵是可逆阵. • 定理(线性映射的维数公式) 设 , 则厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例3 是V的一组基, 是U的一组基, 求厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例4 是V的子空间, 则 • 例5 是V’的子空间, 则 • 例6 设 , 求证厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

§4.5 目的与要求 • 熟练掌握不变子空间的定义与导出线性变换; • 正确理解线性变换与它在不变子空间上导出变换的异同点; • 了解用矩阵刻画不变子空间的方法. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

不变子空间_1 • 定义设U是V的子空间, , 且满足则称U是不变子空间或子空间. 将限制在U上, 导出U上的线性变换, 称为由导出的线性变换(或称为在U上的限制), 记为 . • 注1与的相同点是在U上对应法则一样; 不同点是是V到V的线性变换; 而是U到U上的线性变换. • 注2定义中U是的不变子空间这个条件不可少, 否则无法导出U上的线性变换 . 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

不变子空间_2 • 例1 1) 线性空间V本身和零子空间是任一线性变换的不变子空间, 称平凡的不变子空间; 2) 的数乘变换, 则V的任一子空间都是子空间; 3) 设是线性空间V上的线性变换, V1, V2是子空间, 则是子空间 . • 例2设是V上线性变换, 则是子空间. • 例3设在基下的表示矩阵是 . 则没有非平凡的不变子空间. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

不变子空间_3 • 不变子空间与块上三角矩阵的关系设U是n维线性空间V上线性变换的不变子空间, 设　　　　是U的一组基, 将其扩为V的一组基 , 则在此基下的表示矩阵是反之, 若在基下的矩阵为(*), 则是一个子空间. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

不变子空间_4 • 不变子空间与块对角矩阵的关系设是n维线性空间V的线性变换, , V1与V2是子空间, 是V1的基, 是V2的基, 则在基下的表示矩阵是其中A1是r阶方阵, A2是n－r阶方阵. 反之, 若在下的矩阵是(**), 令 , 则V1, V2都是子空间, 且 • 注结论可推广到m个不变子空间的情形. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例4设V是3维线性空间, 在基下的矩阵是求证: 是子空间. 厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

例子 • 例5设是n维线性空间V的线性变换, . 求证存在子空间W, 使得对任意的若的秩<n, 则存在非平凡子空间U, 使得 • 注用矩阵语言叙述, 设 , 则A相似于矩阵即存在可逆矩阵P, 使 • 注一般地, 虽然 , 但未必有厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

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