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6.1 黃金分割

數學的進一步應用 (1). 6. 目錄. 6.1 黃金分割. 6.2 續指數與對數函數. 6.3 九點圓. 6.1 黃金分割. A. 黃金比率. 所謂 黃金分割 ，對某一段長度來說，就是把這段長度分割為一長一短的兩段，而較長一段的長度與全長之比，恰好等於較短一段的長度與較長一段的長度之比。. 圖 6.2. 這種特定的比率稱為 黃金比率 。. 6.1 黃金分割. 定義 6.1：. 例子：.

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6.1 黃金分割

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Presentation Transcript

  1. 數學的進一步應用 (1) 6 目錄 6.1 黃金分割 6.2 續指數與對數函數 6.3 九點圓

  2. 6.1 黃金分割 A. 黃金比率 所謂黃金分割，對某一段長度來說，就是把這段長度分割為一長一短的兩段，而較長一段的長度與全長之比，恰好等於較短一段的長度與較長一段的長度之比。 圖 6.2 這種特定的比率稱為黃金比率。

  3. 6.1 黃金分割 定義 6.1： 例子： (a) 世上最大的金字塔是柯孚王之墓，它是一個正角錐體，其底部是一個每邊長為 230 m的正方形，且高度為 146 m。金字塔的高度與底邊之比為 146 : 230  1 : 1.58。 (b) 另一座聞名的金字塔是高卡拉王之墓，它也是一個正角錐體，只是體積較小。金字塔的底部是一個每邊長為 108 m 的正方形，且高度為 67 m。金字塔的高度與底邊之比為 67 : 108  1 : 1.61。

  4. 6.1 黃金分割 設一段直線PQ的長為(1 + x)cm。 圖 6.5(a) 我們把這線段劃分為兩段，分別為PR=1 cm 及 RQ=x cm。 圖 6.5(b) 根據黃金比率的定義，可得 因此，

  5. 6.1 黃金分割 B. 黃金比率的應用 • (i)巴特農神殿 • 巴特農神殿( Parthenon )是建於雅典的一座最著名的古希臘神殿，這座神殿處處都呈現了黃金比率的特徵。 圖 6.8 其長度和闊度之比（即 L1 : W1）近似於黃金比率。

  6. 6.1 黃金分割 (ii) 艾菲爾鐵塔 法國巴黎的地標艾菲爾鐵塔 ( Eiffel Tower ) 高 320m，而第二層的頂邊至塔頂與第二層的底邊至地面的長度之比，也等於黃金比率 （如圖 6.9 所示的 l1 : l2）。 圖 6.9

  7. 6.1 黃金分割 C. 斐波那契數列 斐波那契數列是一個特殊的數列，這是由偉大的意大利數學家斐波那契( Leonardo Fibonacci )所發現。這數列最早是從研究兔子的生長趨勢而導出的。 假設有一對新生兔子，一雄性 (A1) 及一雌性 (A2)，並把牠們放生於野外。 第一個月：A1 及A2 成長 第二個月：A1 及A2 在一個月大時交配，在第二個月的月尾時，雌兔就誕下另一對兔子B1（雄性）及B2（雌性）。 第三個月：A1 及A2 交配，在第三個月的月尾時，雌兔就誕下另一對兔子C1（雄性）及C2（雌性）。B1 及B2 成長。 假設兔子不會死去，並且凡年齡滿兩個月的雌兔，每個月都可誕下一對一雄一雌的小兔。 則以後兔子的數目會怎樣變化？

  8. 6.1 黃金分割 圖 6.12

  9. 6.1 黃金分割 定義 6.2： 斐波那契數列就是一個滿足於下列的遞推公式的數列： 根據定義可得，斐波那契數列的首十項為 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55。

  10. 6.1 黃金分割 假設我們有七個正方形，這些正方形每邊的長度分別為1 cm，1 cm，2 cm，3 cm，5 cm，8 cm及13cm。現在，我們把這些正方形依下述步驟砌圖。 圖 6.13 若我們量度這些矩形的長度和闊度，可發現每個砌成的矩形的闊度與長度都是斐波那契數列的連續項。 若我們不斷地以邊長為斐波那契數列的正方形砌出矩形，則矩形的長度和闊度之比將趨於黃金比率，也就是接近於一黃金矩形。

  11. 6.1 黃金分割 D. 斐波那契數列的應用 (a) 在音樂方面 留意圖 6.14 中所示的鋼琴鍵盤上的 13 個鍵，這13個鍵當中有8 個是白色，其餘5 個是黑色的。此5個黑色鍵再可細分為兩組，其中一組有3 個鍵，而另一個則有 2 個鍵。 注意上述所提及的數字 1、2、3、5、8 及 13，都是斐波那契數列的連續項。 圖 6.14 波那契數列與黃金比率的關係，也時常出現於樂曲的節拍中。例如：一首樂曲的高潮大約位於樂章的 61.8% 之處，而非位於樂章的中部或章末。此外，一首有 32 個小節的樂章，則高潮常編在第 20 個小節之處。

  12. 6.1 黃金分割 (b) 在自然界方面 若我們小心觀察一朵花的花瓣數目與排列，就不難發現花瓣的數目通常屬於斐波那契數列其中的一項，即 1、3、5、8、13 及 21。

  13. 6.2 續指數與對數函數 指數與對數函數的應用 (a) 在經濟學方面 假設我們在儲蓄戶口存入 $P，年利率為r%，而每年結算利息k次，則存了t年之後的本利和 $A可以下式計算： 在上述情況下，每次所獲得的利息將重新存入戶口，以賺取下次結算的利息。這種存款方式所得的利息稱為複利息。

  14. 6.2 續指數與對數函數 (b) 在化學方面 一種溶液的酸度依溶液中氫離子的濃度而定，若氫離子的濃度愈高，則溶液的酸度也愈高。氫離子的濃度直接以pH 標度表示，也稱為氫離子指數。 溶液的pH 值

  15. 6.2 續指數與對數函數 (c) 在社會科學方面 一些社會科學家指出，人口的增長依循指數模式而變化。他們還提出了幾種人口增長的模式，根據這些模式，便可從現有的人口推斷出一個城市將來的人口。 假設一個城市的人口增長依循指數函數而變化： 其中 20 000 為這城市現有的人口，n為經歷的年數。 由函數所得，這城市在五年之後的人口將增至約 29 000 人。

  16. 6.2 續指數與對數函數 (d) 在考古學方面 一放射性物質衰變了一半時，所需的時間稱為半衰期。 已知碳 14 的半衰期為 5730 年。考古學家利用量度一件古物的碳 14 強度，就可以估計這件古物的年代。 放射衰變公式 當一生物死後，其體內的放射性物質歷時t 年之後的強度A可依下式計算： 其中A0為原有的放射性強度及h為物質的半衰期。

  17. 6.3 九點圓 6 定理 6.1： 一個三角形的三個垂足、三邊的中點以及三個由頂點至垂心的連線的中點，這九點共圓。 圖 6.17 在圖 6.17 中，三個垂足（點 P、Q及 R）、三邊的中點（點 D、E及 F）以及三個由頂點至垂心的連線的中點（ 點 A、B及 C），九點共圓。

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