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第一部分 直线 相交线和平行线. 知识点 : 18 个 , 其中 C 级 12 个 ,B 级 6 个. 课时 : 一课时. 一 、 主要内容 : 直线 ﹑ 相交线与平行线 及 命题等有关概念 ﹑ 平行线的性质与判定. 二 、 重点 : 角的度量 ﹑ 余角 ﹑ 补角 ﹑ 对顶角的性质 ﹑ 平行线的性质与判定 ﹑ 角平分线和线段的垂直平分线定理及逆定理. 三 、 知识归纳. 1. 直线、射线和线段 (1) 直线、射线和线段的定义 (2) 直线和线段的性质. 2. 角 (1) 角的定义与度量 (2) 角的分类 : 锐角、直角、钝角.
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第一部分 直线 相交线和平行线 知识点: 18个,其中C级12个,B级6个 课时: 一课时 一、主要内容:直线 ﹑相交线与平行线 及 命题等有关概念﹑平行线的性质与判定 二、重点:角的度量﹑余角﹑补角﹑ 对顶角的性质﹑平行线的性质与判定﹑角平分线和线段的垂直平分线定理及逆定理
三、知识归纳 1.直线、射线和线段 (1)直线、射线和线段的定义 (2)直线和线段的性质 2.角 (1)角的定义与度量 (2)角的分类: 锐角、直角、钝角 (3).相关的角: 对顶角、余角、补角、邻补角 (4).角的性质: ①对顶角相等 ②同角或等角的余角相等 ③同角或等角的补角相等 (5)角平分线的定义、性质和判定
3.两条直线垂直 (1)垂线的定义、性质 (2)线段的垂直平分线的定义、性质和判定 4.平行线 (1)平行线的定义 (2)平行线的性质 ①平行公里 ②两直线平行,同位角相等 ③两直线平行,内错角相等 ④两直线平行,同旁内角互补. ⑤夹在两平行线间的平行线段相等 ⑥平行线等分线段定理 ⑦平行线分线段成比例定理
(3).平行线的判定 ①依据定义判定 ②同位角相等,两直线平行 ③内错角相等,两直线平行 ④同旁内角互补,两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⑥平行线分线段成比例定理的逆定理 5.同一平面内,两条直线的位置关系: 平行或相交 6.距离: (1)两点间的距离 (2)点到直线的距离 (3) 两条平行线的距离 7.命题、公里、定理 8. 五种基本作图
四.教学建议: 1.如果安排一课时,知识点较多,不要面面俱到,要有针对性. 2.抽象的提问不要太多,要以题带点. 3.不要单打一,前后知识要串起来,分类推进. 如:证垂直问题时, 不仅要总结这部分的证题方法,还要顺便总结在三角形、 四边形、圆中是如何证明垂直问题的. 再如:证平行问题. 4.要精选例、习题,基本题中也要渗透数学思想,注意规律 的总结
例1. 1.下列命题中,假命题是 (A)平行四边形的对角线互相平分 (B)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (C)菱形的对角线互相垂直 (D)对角线互相垂直的四边形是菱形 在这个问题中,要使学生明确原命题、逆命题、真命题 假命题的基本概念及相互关系,特别是若原命题正确 那么它的逆命题不一定正确 再追问:平分弦的直径垂直于弦. 两边和一角对应相等的两个三角形全等.
2.(05年东城模拟)下列命题中,正确的是 (A)一个角的补角是一个钝角 (B)有两个角相等的梯形是等腰梯形 (C)圆心角是圆周角的2倍 (D)顶角相等的两个等腰三角形相似 在这个问题中,不仅要使学生明确钝角、补角、邻补角 的基本概念及补角与邻补角的区别,还要追问锐角 直角、余角等有关概念,顺便也复习了后续知识中易错 的知识点
例2.选择题 1.如图,Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC于D, 则图中互余的角有____ （A）2对 (B) ３对 (C) ４对 (D) ５对 可追问：图中有几对相似三角形，等积式有＿＿＿ 图中除了直角外还有几对相等的角 2.如图,圆内接四边形ABCD和ABCE,互补的角有____对
例3.填空 1.若∠α=25°18′ , 则∠α的余角为_______. 2.若一角的余角为54°, 则这个角的补角为________. 3.一个角是它的余角的三倍,则这个角的度数是_____. 4.若∠A 、∠B是一个直角三角形的两锐角,cosA=0.3012, 则sinB=________. 5.一个角的补角是这个角的余角的5倍,则这个角的度数 是_________. 说明:以上各题,有的可直接计算,有的可用方程或方程组求解, 第5题还可变形为:“一个角的补角与这个角的余角的比为5:1, 求这个角的度数.”
例4.如图, ∠1与∠2互余, ∠2与∠3的余角互补, ∠4=115°25′, 求∠3的度数. 说明:本题所用知识点有: 互余、互补的定义和性质, 平行线的性质和判定, 对顶角
常见错误: ∵ OM平分∠CMN, OC⊥MC, ON⊥MN ∴ MN=MC 特别在与其它知识综合应用,且图形稍加复杂时, 错题机会就更多了.如:
又如:已知如图,EB是⊙O的直径,且EB=6,在BE的延长又如:已知如图,EB是⊙O的直径,且EB=6,在BE的延长 线上取点P,使EP=EB. A是EP上一点, 过A作⊙O的切线 AD,切点为D, DF⊥AB于F, BH ⊥AD于H, 连结ED和FH. 求证:(1)ED∥FH ( 2) 略 问题1,学生不能在题目中提炼出对第一问 有用的条件 问题2, 当证出∠HDB=∠FDB后, 错误得出DH=DF 然后,同理得BH=BF, ∴BD⊥FH 问题3, 当正确得出DH=DF后, 就错误得结论BD⊥FH
从近5年的中考试题看, 没有独立命题, 但与其 它知识点的综合题中常要用到互余、互补、三 种距离的概念及平行线的性质和判定,还有角 平分线和线段的垂直平分线定理及逆定理等
第二部分 三角形 知识点: 23个, 其中D级3个, C级12个, B级7个 课时: 约7课时, 其中一般三角形与等腰三角形各1节 直角三角形(包括锐角三角函数)3节 全等三角形2节 一.主要内容: 三角形的分类及有关概念,全等三角形、 锐角三角函数、解直角三角形 二. 重 点: 等腰三角形、直角三角形、 全等三角形、解直角三角形
三.知识归纳: 1.三角形的分类:(1)按边分类 (2) 按角分类 2.三角形的主要线段和特殊点 (1)三角形的主要线段 ①三角形的角平分线 ②三角形的中线 ③三角形的高 ④三角形的中位线 (2)三角形的特殊点 ①三角形的外心②三角形的内心 ③三角形的重心④三角形的垂心
3.关于三角形的边、角的关系 关于边的关系 (1)三角形两边之和大于第三边 (2)三角形两边之差小于第三边 关于角的关系 (1)三角形三内角的和等于180° (2)三角形的每一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和. (3)三角形的每一个外角大于和它不相邻 的任何 一个内角 (4)三角形的外角和等于360° 关于边角的关系: 在同一个三角形中,等边对等角; 等角对等边.
4.等腰三角形和等边三角形 等腰三角形 的性质(1)等腰三角形的两个底角相等. (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、高线互相重合. (3)等腰三角形是轴对称图形,它的对称 轴是底边垂直平分线. 等腰三角形的判定: (1) 根据等腰三角形的定义判定 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 等边三角形的性质(1)具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形的每一角都是60°,各边都相等; (3)等边三角形的外心、内心、垂心、 重心互相重合 等边三角形的判定:
5.全等三角形 (1)全等三角形的定义 (2)全等三角形的判定 (SAS) (ASA) (AAS) (HL) (3)全等三角形的性质
6.直角三角形:△ABC中, ∠C=90° (1)直角三角形的性质 ①两锐角关系:∠A+∠B=90° ② 三边关系: a2 +b2 =c2 ③边角关系: 如: sinA= , cosA= tanA= cotA = ④直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 (2)直角三角形的判定 ① 根据直角三角形的定义 ②勾股定理的逆定理 ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么 这个三角形是直角三角形
(3)关于锐角三角函数 ①锐角三角函数的概念： ②互余两角三角函数的关系： ③同角三角函数的关系：倒数关系；商的关系；平方关系 ④特殊角的三角函数值： ⑤锐角三角函数的增减性：a.锐角三角函数值的取值范围 b.锐角三角函数的增减性 (4)关于解直角三角形 ①依据：三边的关系；角之间的关系；边角关系 ②直角三角形可解的条件：在直角三角形中，除直 角外，共5个元素，即两个锐角和三条边，利用上 述关系，已知两个元素且已知两个元素中至少有 一个元素是边，就可求出其余三个未知元素。
7.轴对称和轴对称图形 (1)轴对称和轴对称图形的定义 (2)轴对称的性质
2003年:独立命题13分(填空和选择及基本题的解答题各1个)2003年:独立命题13分(填空和选择及基本题的解答题各1个) 在后3个题中,有一般三角形的角的关系 解直角三角形(勾股定理) 等腰三角形的判定和性质 利用轴对称找最佳点问题等 2004年:独立命题11分,(基本题的解答题2个) 在后三个题中,有解直角三角形 运用翻折证全等三角形 等腰直角三角形判定和性质 等边三角形的判定和性质 等 2005年:独立命题11分(基本题的解答题2个) 在后3个题中,有线段的垂直平分线的判定与性质 有直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半 有等腰直角三角形的判定, 解直角三角形(勾股定理) 等
四.教学建议: 1.复习时间紧,例题选择要力求可以有多种解法或可拓展的题目. 如:已知 ABCD 求证: △ ABC ≌ △CDA 说明:可通过本题的练习就复习了 三角形全等的所有的 判定方法 2004年基本题:已知如图DC∥AB,且DC= AB E为AB的中点 求证: △AED ≌ △EBC
评析: 此题是全等三角形“平移”类问题，求解时应将 知识融会贯通，准确找到对应边、角的等量关系。 此外，还应注意翻折、旋转类基本图形，建议学生 归纳，使之注意数学知识之间的联系，提高解决问 题的能力。 可进一步追问,请观察图形, 写出与△EBC面积相等的三角形
旋转 翻折 平移 2.要注意看图、识图、标图能力的训练, 要熟记常见基本图.
了解“翻折”、“旋转”、“平移”等几何变换，以“动” 的视角去分析“静”的问题，是解决全等问题的有效途径 05年朝阳模拟: 已知:如图,将ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点B1 处, C B1交AD与M. 求证: M B1= MD
D C · F E B A 2003年基本题: 如图:在 ABCD中,点E、F在对角线AC上且AE=CF.请你以 F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜 想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须一组线段相等 即可) 解析：连结BF 易证： △ADE≌△CBF 得 BF=DE
例1. 计算： 3.要对解直角三角形及应用给予足够的重视 例2. 计算：(1) 在△ABC中，∠C= 900, 若 COSB= 0. 3124， 则 sinA的值为_______. 2) 在△ABC中，∠A= 900, 设∠B=θ，AC=b， 则 AB=_______(用b和θ的三角比表示) ，
(3) 已知：在△ABC中，∠ACB= 90o, CD⊥AB， 垂足为D，若∠B=30o, CD=6. 求：AB的长。 C B F (4)如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20， ∠A=∠C=30o, 求：AD、CD的长。 C A D E A D B
例3.(设计方案问题)在一次实践活动中,某课题小组用例3.(设计方案问题)在一次实践活动中,某课题小组用 测角器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案 如图1所示: (1)在测点A处安置测角器,测得旗杆顶部M的仰角 ∠MCE=α; (2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m; (3)量出测角器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求 出旗杆的高度MN. 图(1)
如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量 某小山高度 (如图2)的方案 解:(1) 测量小山高度MN的示意图 (2)设计方案如下: ①在测点A处安置测角器,测得小山顶部 M的仰角∠MCE=ɑ; ②再在点B处安置测角器,并使ABN三点 在同一条直线上,测得小山顶部M的仰角 ∠EDM=ß③ ③量出测点A到测点B的距离AB=m C D E ④量出测角器的高度AC=h 根据上述测量数据,即可求出小山的高度. B A
评析:本题改变以往解直角三角形的应用问题的传统模式,要求评析:本题改变以往解直角三角形的应用问题的传统模式,要求 在阅读理解的基础上,进行有关测量方案的设计,然而,所需解决 的问题又非阅读方案所能直接解决的,需要通过观察、分析找出 两者之间的区别和联系,图(1)测量旗杆高度可以量出测点A到旗 杆底部N的水平距离,而图2选定测点A后,却不能到达小山的底部 的点N,需进行适当的转化和迁移,从而确定测量山高的方案. 当然,具体求山高时,需设未知数, 如设 ME=x,然后通过Rt△MCE、 Rt△MDE,再根据列方程求解, E C D A B
例4.光照问题 D 居民楼 太阳光 A 32o 新楼 在Rt△AEF中，tan32o= 32o 得 AF= EF· tan32o= F E 故 ＞6 15米 C B 某居民楼，该楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上就是居民 住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼，当冬季正午 的阳光与水平线的夹角为320时，问 (1) 超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ (2) 要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ (参考数据sin320、cos320、tan320) 解析： 延长AE交CD于E，作EF⊥AB 所以 有影响！
D 若采光不受影响，需如图所示 居民楼 太阳光 其中 AB=20 A 32o 新楼 在Rt△ABC中，tan32o= 得 32o C B 故 两楼应相距32米。 评析： 光照问题主要是构造光线与水平线(或其平行线)所成 的直角三角形，并通过解直角三角形，判断实际问题的 可行性，在复习中应重点强调。
B x 5米 E 4米 5米 A y 故 F C 例5.如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB=900，AB=5米 BC=4米，当梯子一端点B下滑到点E时，点A向左 平移到点F .设BE = x 米 (0＜x＜4)，AF = y 米. (1) 用含x的代数式表示y ； 在Rt△ABC中，易知 AC=3 解析： 又 CE = 4－x 、 CF = y + 3 、 EF = 5 得 (y+3 )2 + (4－x )2= 52 (2) 当x为何值时，点B下滑的距离与点A向左平移的距 离相等？ 依题意：x = y 解得 x = 1
B 由 得： x 5米 E 当 x=1 时， y=x 4米 5米 A y F C 评析： 本题是一道注重思维点拨与操作探究的解直角三角形的问题， 突出了“阅读、分析、归纳、猜想”这一思维要求，能较好的考 查学生发现、概括和灵活运用知识的能力。 (3) 请你对x再取几个值，计算出对应的y值，比较对应的y值 与x值的大小；并推测y与x的大小关系及对应 的x的取值 范围。 当 0＜x＜1 时， y＞x 当 1＜x＜4 时， y＜x
05年海淀模拟 如图所示,一根长2a的木棍(AB), 斜靠在与地面(OM) 垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙 下滑,且B端沿地面向右滑行 (1)请判断木棍滑动的过程中, 点P到点O的距离是否 变化,并简述理由. (2)在木棍滑动过程中,当滑动到什么位置时, △AOB的 面积最大?简述理由,并求出面积的最大值. 评析: (1) 中用到了直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半,所以OP的长无变化 (2)如果AB上的高h与OP不等,则h＜OP, 又AB的长不变,所以当h=OP时, △ABO的面积 最大,最大值是a2
五.相关试题: • 1.(05年宣武模拟) 如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C, • 那么补充一个下列 • 条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是 ( ) • AD=AE (B) ∠ AEB= ∠ ADC • (C) BE=CD (D) AB=AC 2.(05年海淀)用一块等边三角形纸片做一个 底面为一个等边三角形且高相等的无盖 的盒子,(边缝忽略不计)在△ABC的每个顶点 处各剪掉一个四边形,其中四边形AMDN 中, ∠MDN的度数为________ (A) 100° (B) 110° (C) 120° (D) 130°
3.(05年西城模拟) 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片 折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向 右折叠,AE与BC交于F,则△CEF的面积为( ) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 4.一张直角三角形纸片,如图那样折叠,使两个 锐角顶点A、B重合,若∠B=30°,AC=5,则折痕DE的 长是____________.
30 45 乙 甲 B E 1 A D 2 C 5.(05通州模拟) 如图,自40米高的甲楼楼顶测得乙楼楼顶的仰角 为30°,楼底的俯角为45°,那么乙楼的楼高为________. 6.(05年大兴模拟) 如图把三角形纸片ABC沿DE折叠 当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+ ∠2之间有 一种数量关系始终不变,请问你发现的规律是 (A) ∠A= ∠1+ ∠2 (B) 2 ∠A= ∠1+ ∠2 (C) 3 ∠A=2 ∠1+ ∠2 (D) 3 ∠A= 2(∠1+ ∠2) 选B
