1 / 19

Тема: Косинус угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тема: Косинус угла. А. С. В. Теорема. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. М. М. Задача. Задача. Задача.

jeb
Download Presentation

Тема: Косинус угла

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тема: Косинус угла А С В

  2. Теорема • Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. М М

  3. Задача

  4. Задача

  5. Задача

  6. Пифагор Самосский родился в 570 г. до н.э

  7. Открытия пифагорейцев Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе: • теорема о сумме внутренних углов треугольника; • построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; • геометрические способы решения квадратных уравнений; • деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; • доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом; • создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

  8. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Прямоугольный треугольник Гипотенуза с Катет b Катет a В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2

  9. Теорема.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

  10. Алгебраическое доказательство C 2 2 2 B D Дано:ABC-прямоугольный треугольник Доказать:AB =AC +BCДоказательство:1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит, AB*BD=BC4) Сложив полученные равенства, получим: AC+BC=АВ*(AD + DB) AB =AC +BC A 2 2 2 2 2 2 2

  11. Доказательтво теоремы Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетамиа, b и гипотенузойс (рис 1). Докажем, что с2 = а2 + b2. Достроим треугольник до квадрата со стороной (а+b) так, как показано на рис. 2. Площадь S этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из них равна (1/2 аb ), и квадрата со стороной с, поэтому площадь квадрата S = 4(1/2ab) + c2 = 2ab + c2. Таким образом, (а + b)2 = 2аb + с2 a2 + 2ab +b2 = 2ab + c2. Откуда с2 = а2 + b2.                  ч.т.д. c a а b рис.1 a b a с b b с с a b с с b a рис.2

  12. Доказательство Евклида Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI                                           Доказательство: Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что уголы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно SPQEA=2SACE Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

  13. Геометрическое доказательство Дано:ABC-прямоугольный треугольник Доказать:BC2=AB2+AC2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: SABED=(DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2.

  14. Древнекитайское доказательство • В IX книге "Математики"- главном из сохранившихся математико-астрономических сочинений Древнего Китая- помещен чертеж (рис. а), доказывающий теорему Пифагора. Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b внутренний - квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. с), то ясно, что образовавшиеся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой - a²+b², т.е. с²=a²+b². Теорема доказана.

  15. Древнеиндийское доказательство Доказывая эту теорему просто говорили:- «Смотри!» Квадрат, сторона которого имеет длину а + в , можно разбить на части . Ясно, что невыделенные части на обоих рисунках одинаковы .

  16. Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.Теорема доказана.

  17. Пифагоровы штаны Во все стороны равны

  18. Пифагоровы штаны во все стороны равны

  19. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. c2 = a2 + b2

More Related