第五篇图论

第五篇图论

第11章无向图

11.1节基本概念 【定义11.1】称二元组G=(V,E)是一个无向图，如果 • V是一个非空有限集合， • E是V中元素的无序对所组成的集合。并把V的元素叫做图的顶点，E的元素叫做图的边。 V(G)表示图G的顶点集，E(G)表示图G的边集。若|V(G)|=n,则称G为n阶图。

若边e是顶点u和v的无序对，则记e = (u, v)或e = (v, u)，称u和v是e的端点，或e连接u和v。 • 两个端点重合的边称为环。若两条或两条以上的边有相同的端点，则这些边称为重边。 • 若顶点u是边e的一个端点，则称顶点u与边e关联。不与任何边关联的顶点称为孤立点。如果两个顶点与一条边关联，那么称这两个顶点相邻。如果两条边与同一个顶点关联，那么称这两条边相邻。

没有环与重边的图称为简单图。 • 只有一个顶点的图称为平凡图。 • 任意不同的两个顶点都相邻的简单图称为完全图， • 有n个顶点的完全图记作Kn。 • 边数为零的图称为零图。

【定义11.2】在无向图G中，对于每个G中的顶点v，与v相关联的边的数目称为v的度，记为dG(v)，或d(v)。并规定在计算关联边数目时，环算作两条边。【定义11.2】在无向图G中，对于每个G中的顶点v，与v相关联的边的数目称为v的度，记为dG(v)，或d(v)。并规定在计算关联边数目时，环算作两条边。注：度为1的顶点称为悬点，与悬点关联的边称为悬边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。每个顶点的度都相同的图称为正则图，若其顶点的度均为k，则称为k-正则图。易知完全图Kn是(n-1)-正则图。

握手定理 【定理11.1】在无向图G=(V,E)中，结点度数的总和等于边数的两倍，即。【证】当对图G=(V,E)的所有顶点的度求和时，每条边都为顶点的度之和贡献2，因为一条边恰好关联2个（可能相同）顶点。这意味着顶点的度之和是边数的2倍。定理得证。上述定理有时也称为握手定理。

【推论11.1】无向图中奇点数目是偶数。 【推论11.2】【例11.2】设图G有10个顶点，每个顶点的度为6，那么图中共有多少条边？【解】由定理11.1.1得，在G中所有顶点的度的总和为6·10 = 60，因此图G中共有30条边。

二部图 【定义11.3】设G是简单图，若其顶点集V可以划分为两个不相交的非空集合V1和V2，而G中所有边都连接V1中的一个顶点和V2中的一个顶点（也就是说G中没有边连接着V1中的两个顶点或V2中的两个顶点），那么将G称作二部图或偶图。 • 若图可以划分为两个不相交的非空集合，其元素个数分别为m和n，而在两个顶点之间有边相连当且仅当这两个顶点分属两个集合，则将图称为完全二部图，记作。

【例11.3】判断下图G和H是否二部图。 答：G的顶点集可以分为两个不相交的集合{a, b, d}和{c, e, f, g}；而H不是二部图，因为H中a,e,f三个顶点两两相邻，根据鸽笼原理，它们不可能分配到两个子集中使得边(a,e)、（e,f）、(a,f)均连接不同子集的两个顶点。

【例11.5】 K3不是二部图。注意若把K3的顶点集分成两个不相交的集合，则两个集合之一必然包含两个顶点。假如这个图是二部图，那么这两个顶点就不能用边连接，但是在K3里每一个顶点都用边连接着其他每个顶点。同理可知Kn也不是二部图。

【定义11.4】若， ，则称图H是图G的子图，记作。若，，则称H是G的真子图，记为。若，则称H是G的生成子图或支撑子图。如果，且中包含了G在在节点集V(H)中的所有边，则称H是G的导出子图。

【定义11.5】设G1 = (V1,E1)和G2 = (V2, E2)是两个简单图，则它们的并定义为G = (V,E)，其中。它们的交定义为G = (V, E)，其中。它们的对称差定义为G = V,E)，其中 • 【例11.6】图11.4中G1和G2并、交和对称差分别是(a), (b)和（c)。

在G中删除一个子图H，指删除掉H中的各条边, 记做G-H，特别的, 对于简单图G，称Kn-G为G的补图。例如G1中补图是(d)。 • 从G中删去某个结点υ及其关联的边所得到的图记作G-v。从G中删去某条特定的边e = (u，v), 记做G-e。显见G-v是G的导出子图, 而G-e是G的生成子图。 • 如果在G中增加某条边eij,可记做G+eij。

图的同构 【定义11.6】对于简单图G1＝(V1，E1)，G2＝(V2，E2)，如果能建立V1到V2的双射f，其中G1中的顶点a和b相邻，当且仅当G2中的顶点f(a)和f(b)也相邻，则称图G1与G2同构，记作。

Homework 习题11.1 ，P270 • 2， • 3， • 4， • 8， • 12， • 14

11.2无向图的表示 【定义11.7】设图G=(V,E)是一个简单图，V＝{v1，v2，…，vn}，G的邻接矩阵定义为，其中 • 邻接矩阵总是对称的 • 邻接矩阵也能用来表示有环和重边的无向图，其中(i ,j)项将用来表示联结vi和vj的边数

v1 v2 v3 v4 举例1 【例11.9】用邻接矩阵表示简单图

v1 v2 v4 v3 举例2 【例11.10】用邻接矩阵表示非简单图

关联矩阵 【定义11.8】令图G=(V,E)是一个无向简单图，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1，e2，…，em}。那么其关联矩阵定义为 • 关联矩阵也能用来表示有重边和环的图。图中的重边在矩阵中以相同的列矢量表示，而环所在的列则必定只有一项为1，其他项都为零。

v1 v2 e6 v3 e3 e4 e5 e1 e2 v4 v5 举例【例11.11】用关联矩阵表示下图：

Homework 习题11.2， P272 • 2， • 4， • 5

11.3 无向图的连通性 【定义11.9】设G是一个无向图，G的一个顶点和边的非空有限交错序列满足，则称W为一条从v0到vk的通道，v0为起点，vk为终点，通道上的其它顶点称为内顶点，通道的长度为k。如果起点与终点不同，则称为开通道，若相同则称为闭通道

没有重复边的通道称为迹（或简单通道），起点和终点不同的迹称为开迹，起点与终点重合的迹称为闭迹。没有重复边的通道称为迹（或简单通道），起点和终点不同的迹称为开迹，起点与终点重合的迹称为闭迹。 • 没有重复顶点的迹称为路（或路径，或初级通道）。一条路显然是一条迹，但反之不成立。起点和终点重合的路称为圈。长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。

e1 v2 v1 e2 e3 e5 e6 e8 e4 e7 v3 v4 v5 举例【例11.12】列举下图的开通道、闭通道、开迹、闭迹和路。

【定义11.10】 在含圈的无向简单图G中，称G中最长圈的长度为G的周长，记做。G中最短圈的长度记为G的围长，记做。 • 无向完全图的周长为n，围长为3。完全二部图的周长为2n，围长为4。

【定义11.12】 设u，v为图G中的任意两个顶点，若u，v连通，称设u，v之间长度最短的通道为u，v之间的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记做d（u，v），当u，v不连通时，定d（u，v）＝∞。

容易看出，图的顶点间的连通关系是顶点集中的一个等价关系。因此，图的顶点集可以按连通关系划分等价类。则一个不连通图是若干个连通子图的并，连通子图之间边集的交为空。这些不相交的连通子图称为图的连通分量或连通支。容易看出，图的顶点间的连通关系是顶点集中的一个等价关系。因此，图的顶点集可以按连通关系划分等价类。则一个不连通图是若干个连通子图的并，连通子图之间边集的交为空。这些不相交的连通子图称为图的连通分量或连通支。

b d e f a c h g 连通分量【例11.13】指出下图的连通分量。【解】根据定义，可以看出上图共有3个连通分量，分别为 ({a, b, c}, {(a, b), (a, c), (b, c)})，({d, e}, {(d, e)})，({f, g, h}, {(h, g), (f, g)})。

【例11.14】设G=(V,E)( |V|=n, |E|=m) 是简单图，证明当时，G是连通图。

【定理11.2】设G=(V,E)( |V|=n, |E|=m) 是连通图，m≥n-1 【证】若G为简单图时，G连通必有m≥n-1；当G为非简单图时，G连通更要要求m≥n-1 ，下面仅就G为简单图时加以证明。对顶点数n作归纳法。 n=1时，G为平凡图，此时m＝0，所以结论成立。

设n≤k ( k ≥1) 时结论成立，下面证明n=k+1时结论成立。 • 设v为G中任意一个顶点，记G’=G-v，设G’有s个连通分量G1,G2,…,Gs，设|Vi|=ni,|Ei|=mi（i=1,2,…,s),则ni ≤k 。由归纳假设可知mi≥ ni-1，由于从G中删除v产生s个连通分支，所以至少同时删除了s条边，于是

【定理11.3】设G=(V,E)( |V|=n),若顶点u和v之(u≠v) 间若有通道，则它们之间存在长度小于n的通道。 • 【证】设为G中长度为k的通道，且若k<n，则W为满足要求的通道;否则即k≥ n，或k>n+1, 即W上顶点数大于G中的顶点数，于是必存在即在W中存在到自身的闭通道Cst，在W中删除Cst中的一切边和除外vs的所有顶点，得到W’，则W’仍然为顶点u到v的通道，且W’的长度比W至少减少1。则若W’的长度小于n，则W’满足要求，否则对重复上述过程，因为G是有限图，经过有限步后，必得u到v长度小于n的通道。

【推论11.3】图G=(V,E)( |V|=n)中，若顶点u和v之(u≠v) 间若有通道，则它们之间存在长度小于n的路。【定理11.4】图G=(V,E)( |V|=n)中，若存在顶点u到自身的闭通道，则一定存在u到自身的长度小于等于n的闭通道。【推论11.4】图G=(V,E)( |V|=n)中，若存在顶点u到自身的闭迹，则一定存在u到自身的长度小于等于n的闭迹。

下面介绍一种图论中很有用的证明方法，叫做“扩大路法”。下面介绍一种图论中很有用的证明方法，叫做“扩大路法”。 • 设为G=(V,E)为n阶无向图，，设为G中一条路，若此路的始点或终点与通道外的顶点相邻，就将它们扩到通道中来，继续这一过程，直到最后得到的通道的两个端点不与通道外的顶点相邻为止，设最后得到的路径为（长度为k的路扩大成了长度为k+r的路径），称为“极大路”，称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路法”。

【例11.15】设G为n（n≥4）阶无向简单图，G中任何一个顶点的度数均不小于3。证明G中存在长度大于或等于4的圈。【例11.15】设G为n（n≥4）阶无向简单图，G中任何一个顶点的度数均不小于3。证明G中存在长度大于或等于4的圈。【证】不妨设G是连通图，否则，因为G的各连通分支的最小度(min{d(v)|v∈V})也都大于或等于3，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在通道，由推论11.3可知，u,v之间存在路，用“扩大路法”扩大这条路，

v0 v1 vr vt vk • 设最后得到的“极大路”为，易知k≥3，若v0与vk相邻，则为长度大于或等于4的圈。若v0与vk不相邻，由于d(v0)≥3 ，因而v0除与上的vk相邻外，还存上的顶点vr(2≤r<k)和vt(r<t<k)与v0相邻，则为一个圈且长度大于或等于4，见下图所示。

【定理11.5】一个图为二部图当且仅当图G中无奇圈。 • 必要性。设二部图G=(V1,V2,E),若G中无圈，结论成立，否则，设C为G中任意一个圈，设不妨设则均属于V1 , 而均属于 V2 ，于是k是偶数，且k是C的长度，因而C是偶圈，由于C的任意性，结论成立。

充分性。 • 设G中无奇圈，不妨设G是连通的，否则可对它的每个连通分量进行讨论。设u为G中任意一个顶点，令下面只要证明，则e的一个端点在V1中，另一个端点在V2中，若不然，存在边，e=(ur,us)，其中ur，us均属于V1(或者V2)，设，Wu,ur和Wu,us分别为u到ur和u到us到的短程线，显然Wur和Wus 的长度均为偶数。

如果Wur和Wus无交点，则 为图G中一个奇圈，这与G中无奇圈矛盾。如果有交点，则由于的长度为奇数，易知其中必含图G的奇圈，仍得出矛盾。证毕。

有时，如果移除某个顶点及所有与该顶点相关联的边，所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的顶点称为割点。显然，从一个连通图中移除一个割点就会产生一个不连通的子图。类似地，将一条边移除后所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的边称为割边或桥。有时，如果移除某个顶点及所有与该顶点相关联的边，所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的顶点称为割点。显然，从一个连通图中移除一个割点就会产生一个不连通的子图。类似地，将一条边移除后所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的边称为割边或桥。

a d f g b c e h 【例11.16】指出下图中的割点和桥。割点为：b, c和e 桥：{a, b}和 {c, e}

【定理11.6】设G是带有相对于顶点顺序 的邻接矩阵A的图（允许带有多重边和环）。从vi的vj长度为r的不同通道的数目等于Ar的第(i,j)项，其中r是正整数。 • 证明用数学归纳法。

【例11.17】在图所示的简单图G中，从a到d的长度为4的通道有多少条？【例11.17】在图所示的简单图G中，从a到d的长度为4的通道有多少条？【解】 G的邻接矩阵（顶点顺序a,b,c,d）

从a到d的长度为4的通道数是的第(1,4)项， • a，b，a，b，d； a，b，a，c，d； • a，b，d，b，d； a，b，d，c，d； • a，c，a，b，d； a，c，a，c，d； • a，c，d，b，d； a，c，d，c，d；

Homework 习题11.3， P277 • 2， • 6， • 9， • 11， • 12

11.4欧拉图与哈密顿图 11.4.1欧拉图 • 普雷格尔河从哥尼斯堡镇中穿过，而河中有两个小岛，小岛与河岸间由7座桥彼此连接，如下图。于是有游客提出问题：能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次，最后回到原地。 • 哥尼斯堡(Konigsberg)七桥问题

A C D B • 瑞士数学家欧拉(Euler)在1736年对这个问题给出了否定的回答。他将河岸和小岛作为图的顶点，七座桥为边，构成一个无向图，则问题化为图论中的问题。这是用图论方法建立的第一个模型：

定义【定义11.15】包含图G的所有边的迹称为欧拉迹(或欧拉通道)，包含图G的所有边的闭迹称为欧拉闭迹(或欧拉回路) 。假设G没有孤立点，若G含有欧拉闭迹，则称G是欧拉图。

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