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Graphes : de la pratique à la théorie …. Catherine Philippe & Christian Vassard IREM de Rouen groupe arithmétique et groupe statistiques. Quelques dates. 1736….
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Graphes : de la pratique à la théorie… Catherine Philippe & Christian Vassard IREM de Rouen groupe arithmétique et groupe statistiques.
1736…. …problème des ponts de Königsberg, résolu par Euler en 1736 dans Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis,Commetarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8 Leonhard Euler (1707-1783)
1852… …À partir d’une lettre de Morgan à Hamilton : Un de mes étudiants m’a demandé de lui expliquer un fait dont je ne savais pas que c’était un fait – et je ne le sais toujours pas. Il dit que si on divise une figure n’importe comment, et qu’on colorie les compartiments de façon que les parties ayant une frontière commune soient de couleurs différentes, quatre couleurs suffisent (…) Si vous voyez une explication simple, je n’aurais plus qu’à faire comme le Sphinx….Cité dans Bréal page 219. Autrement dit : quatre couleurs suffisent-elles à colorier une carte de géographie de façon à ce que deux pays limitrophes ne soient pas coloriés de la même couleur ? Augustus de Morgan (1806-1871)
En 1857… Hamilton invente un jeu, The icosian game, qu’il commercialise en 1859. Le jeu est constitué d’un dodécaèdre dont les 20 sommets portent le nom d’une grande ville dans le monde. Le but du jeu consistait à trouver un chemin sur les arêtes du dodécaèdre permettant de visiter chaque ville une fois et une fois seulement, en revenant à la ville de départ. Hamilton (1805-1865)
1878… … le mot graphe est introduit pour la première fois par l’anglais J. J. Sylvester (1814-1897)
XXe siècle… La théorie des graphes devient une branche des mathématiques avec les travaux de König, Kuratowski et plus récemment de Berge, Erdös et Harary.
Claude Berge, dans le discours inaugural des Journées internationales d’études de la théorie des graphes (1966), déclare: • «Je remercie les deux cent cinquante participants de ce congrès venus si nombreux à Rome pour un sujet qui, il y a dix ans seulement, n’aurait attiré qu’une dizaine de personnes. Étrange évolution que celle de la théorie des graphes, qui se développe par à-coups, sous l’impulsion tour à tour du rôle de l’électricité, de la géométrie des polyèdres, de la théorie des jeux, et surtout maintenant de la recherche opérationnelle et du calcul électronique.»
Plan de métro Contenu : graphe, sommet, arête
Un polyèdre convexe ou Contenu : graphe, sommet, arête
Le plan d’une ville, avec ses sens interdits… Contenu : graphe, graphe orienté
Un autre exemple, pris dans le Déclic page 234 Contenu : graphe, graphe orienté
Une carte routière… Contenu : graphe pondéré
En chimie organique Butane… Alanine Contenu : multigraphe
Nous sommes en 3002. Il existe un transport interplanétaire entre les neuf planètes du système solaire. Des navires spatiaux assurent les liaisons suivantes :Pluton-Vénus, Uranus-Neptune, Terre-Mercure, Jupiter-Mars, Mercure-Vénus, Saturne-Neptune, Terre-Pluton, Saturne-Jupiter, Uranus-Mars, Pluton-Mercure. Peut-on partir de la Terre et arriver sur Mars ? (Bréal page 221)
Loup, chèvre, chou Un passeur doit faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou, dans une barque si petite qu’il ne peut emporter que l’un d’eux à chaque voyage. Pour des raisons évidentes, il ne peut laisser le loup et la chèvre seuls sur une rive, pas plus que la chèvre et le chou. Comment s’y prend-il ?
Un exemple d’activité que nous ne trouvons pas très intéressante : activité 1 page 230 Déclic
Ne pas confondre un graphe avec sa représentation. a b d c b f a f d c e e
Dans une réunion de 5 personnes, combien de poignées de mains sont échangées ? On suppose que tout le monde salue tout le monde… Même question avec 35 personnes. Contenu : graphe complet, lemme des poignées de mains
Une personne Une poignée de mains Comptons donc les arêtes de ce graphe…
La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale au double du nombre d’arêtes où X est l’ensemble des sommets du graphe et A l’ensemble des arêtes. C’est donc un nombre pair !
Graphe numéro G36 Graphe numéro G37 De type (1, 2, 2, 2, 3)
Quelques exercices classiques 1) Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié exactement avec 3 autres ? 2) Montrer que le nombre total de gens qui ont habité la terre et qui ont donné un nombre impair de poignées de mains est pair. 3) Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 5, deux sommets de degré 3, 1 sommet de degré 4 et les trois autres sommets de même degré.Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 4, deux sommets de degré 3 et les quatre autres sommets de même degré pair. (exercice 11 page 241 Déclic) 4) Construire un graphe dont les sommets ont pour degré respectif (4, 4, 5, 5, 5, 5, 6)
Et les coups de pieds aux fesses ? C’est un graphe orienté… nombre de coups de pieds donnés = nombre de coups de pieds reçus = nombre d’arêtes (orientées)
Matrice d’adjacence d’un graphe simple • La matrice est symétrique. • La somme des nombres d’une même ligne (ou d’une même colonne) donne le degré du sommet correspondant. • La diagonale ne contient que des zéros.
Matrice d’adjacence d’un graphe orienté • La matrice n’est plus symétrique. • La somme des nombres d’une ligne donne le degré sortant du sommet correspondant ; la somme des nombres d’une colonne donne le degré entrant du sommet correspondant. Ces deux nombres ne sont plus forcément égaux. • La trace de la matrice donne le nombre de boucles du graphe.
Quand elle n’utilise pas plusieurs fois la même arête, la chaîne est dite simple. Une chaîne… Au sens du programme, un cycle est une chaîne simple qui revient à son point de départ.
Théorème d’Euler 1) Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. 2) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.
Principe de la construction d’un cycle eulérien Premier pas : cycle S1 S2 S4 S3 S1 Deuxième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S2 S4 S3 S1 Troisième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S5 S1 S7 S2 S4 S3 S1
Les dominos Peut-on aligner tous les dominos d’un jeu ?
Prolongement : à quelle condition un graphe complet admet-il un cycle eulérien ?
Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le crayon et sans repasser deux fois par le même trait ? Expliquer pourquoi. http://www.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/peda/lyc/graphes.htm
Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16 segments de la figure suivante ?
Dénombrement de chaînes en utilisant la matrice d’adjacence Soit le graphe de matrice d’adjacence M. Le nombre de chaînes de longueur p joignant le sommet Si au sommet Sj est égal au coefficient aij, situé à la ie ligne et à la je colonne de Mp. Attention aux éléments de la diagonale : Ils dénombrent les chaînes de longueur p qui reviennent à leur point de départ, et non pas les cycles au sens du programme (voir par exemple les exercices 39-40-41 page 244 du Déclic).
Un exemple proposé par Michel Zehler, sur le site de l’académie de la Réunion (http://www.ac-reunion.fr) Ci-dessous est donné le plan d’un parcours de santé : il est constitué de chemins à sens unique et de points de repère, distants les uns des autres de 800 mètres. E désigne l’entrée du parcours et S la sortie. Combien y a-t-il de trajets différents ayant 1,6 Km ? 3,2 Km ? 8 Km ?
Déclic page 250 Contenu : nombre chromatique