第三节随机变量的分布函数

第三节随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义分布函数的性质小结布置作业

设X是一个r.v，称 记作F(x). 为X的分布函数, 如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x) 的值就表示X落在区间内的概率. 一、分布函数的定义

=P{ X x2 } - P{ X x1 } P{ x1<X x2} 请注意 : (1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (2) F(x)是r.v X取值不大于x的概率. (3)对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内的概率为： = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.

分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.

X F(x) = P(Xx) 解当 x<0 时，{ Xx } = ，故 F(x) =0 当 0 x < 1 时， F(x) = P{Xx} = P(X=0) = 例1 设随机变量 X 的分布律为求 X 的分布函数 F (x) .

当1 x < 2 时， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1

故注意右连续下面我们从图形上来看一下.

的分布函数图

F(x) = P(Xx) = 一般地设离散型 r .v X的分布律是 P{ X=xk} = pk ,k =1,2,3,… 则其分布函数即F(x)是 X取的诸值 xk的概率之和.

(1) 二、分布函数的性质

(3) F(x)右连续，即 (2) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.

例2设有函数F(x) 解注意到函数 F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 或者试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数. 不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.

当0 x a时， P(0 X x) = kx(k为常数 ) 当x < 0 时，F(x) = P(X x) = 0 1/a 由于P(0 X a) = 1ka=1，k = F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x) 例3在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X的分布函数. 解设 F(x)为 X的分布函数， a 0 当 x > a时，F(x) =1 =x / a

故这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.

三、小结 在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数 , 以及分布函数的性质.

练习题

F(x) = P(Xx)

四、布置作业 《概率统计》标准化作业 (二)

第三节 随机变量的分布函数