第八章 扩展的单方程计量经济学模型

1. 第八章 扩展的单方程计量经济学模型 § 8.1 变参数线性单方程计量经济学模型 § 8.2 简单的非线性单方程计量经济学模型 § 8.3 二元离散选择模型 § 8.4 固定影响平行数据模型

2. §8.1变参数线性单方程计量经济学模型 经典计量模型中，通常假定参数为常数，即产生样本观测值的总体经济结构不变，解释变量对被解释变量的影响保持不变，称之为常参数模型 实际上，变参数的情况是经常发生的。若将参数作为变量，就得到变参数模型 下面仅介绍几类较简单的变参数模型

3. 一、确定性变参数模型 模型中参数是确定性变量而非随机变量，则模型称为确定性变参数模型 若模型中参数是随机变量而非确定性变量，则模型称为随机变参数模型 确定性变参数模型可以有以下几种类型

4. 1.参数随某一个变量呈规律性变化 以一元线性模型为例常参数模型为 （8.1.1） 确定性变参数模型为： （8.1.2） 其中 和 为确定性变量。如果有 （8.1.3） 其中 ， ， ， 是常数， 为确定性变量，则变参数 ， 随着确定性变量 而变化。

5. 模型估计 将（8.1.3）代入（8.1.2）得到 （8.1.4) 因为确定性变量 与随机扰动项不相关，可以使用OLS方法估计（8.1.4）式，得到参数估计量 ， ， ， 。可以通过检验 与 的显著性来检验变量 是否对 ， 有影响

6. 2.参数作间断性变化（结构突变） 如果有 （8.1.5） 则模型的参数在 处发生了结构突变。这类变参数模型的估计可分为3种不同情况进行讨论。

7. （1） 已知 如果突变点 已知，则可以分段建立模型进行分段估计。将方程（8.1.2）改写为 （8.1.6） 分别估计这两个方程，得到参数估计量 ， ， ， 。 也可以建立一个统一的模型： （8.1.7） 其中 为虚拟变量，其定义为 直接估计(8.1.7)式，便可得到参数的估计量。参见例8.1.1

8. （2） 未知，但 当突变点 未知时，一般可以选择不同的 ，按照（1）中的方法进行分段试估计，然后从多次试估计中选择最优者。选择的标准是使得（8.1.6）式中两段方程的残差平方和之和最小。

9. （3） 未知，但 此时，将 看作待估参数。模型采用（8.1.6）的形式，假设 且不存在自相关。 构造关于 的对数似然函数 遍取 作为 的可能值，代入似然函数，选择使对数似然函数达到最大的 作为突变点的估计值。

10. 3. Chow检验 关于结构突变的检验，广泛应用的是G.C.Chow于1960年提出的Chow检验。相关内容在§3.6中已有介绍。 一般应用软件中，只需选择Chow检验，并输入相应的 ，其它则自动完成。

11. 二、随机变参数模型 首先考虑一种简单的情形 以模型（8.1.2）为例，假定其参数满足： （8.1.8） 其中 和 为具有零均值的随机扰动项。 一般的随机变参数模型 此时假定参数满足： （8.1.9） 为确定性变量。容易看出（8.1.8）为（8.1.9）的特例。将（8.1.9）代入模型（8.1.2）可以导出一个具有异方差性的多元线性模型，可以采用加权最小二乘法等方法来进行估计。

12. § 8.2 非线性单方程计量经济学模型 1.可线性化的非线性回归模型 有些非线性回归模型，其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。 2.不可线性化的非线性回归模型 对于不可线性化的非线性模型，可采用非线性方法进行估计。专用软件使得这种计算变得非常容易。

13. 1.可线性化的非线性回归模型 （1）多项式函数模型 （2）双曲线函数模型 （3）对数函数模型 （4）生长曲线 (logistic) 模型 （5）指数函数模型 （6）幂函数模型

14. （1）多项式函数模型 比如下面的多项式方程 可令 ，上式变为 这是一个三元线性回归模型。

15. 二次多形式模型 对于模型 可令 便得 ( >0, >0) ( <0, <0）

16. (2) 双曲线函数模型 对于 令 ，得 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式， 令 ，得 上式已变换成线性回归模型。 yt = a + b/xt + ut 1/yt = a + b/xt+ ut

17. (3) 对数函数模型 半对数模型 或 以及 双对数模型 虽然变量之间是非线性关系，但模型还是可线性化的，且经济意义解释变得更直接。比如双对数模型的系数就是弹性。

18. (4) 生长曲线 (logistic) 模型 美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为 的上限和下限。 a, b为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。

19. 生长曲线模型的线性化

20. (5) 指数函数模型 上式等号两侧同取自然对数，得 令 ，则 其中 表示随机误差项。

21. (6) 幂函数模型(双对数模型) 对上式等号两侧同取对数，得 令 , 则上式表示为 变量 和 之间已成线性关系。幂函数模型也称作 双对数模型。 (b = -1) (b > 1) (b < -1) (0 > b > -1) (0<b <1)

22. 2.不可线性化的非线性回归模型 本部分内容不作要求，在中级或高级计量经济学中再作介绍。

23. § 8.3 二元离散选择模型 一、二元离散选择模型的经济背景 二、二元离散选择模型 三、二元Probit离散选择模型及其参数估计 四、二元Logit离散选择模型及其参数估计 五、二元离散选择模型的变量显著性检验

24. 说明 在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。 离散被解释变量数据计量经济学模型（Models with Discrete Dependent Variables）和离散选择模型(DCM, Discrete Choice Model)。 二元选择模型(Binary Choice Model)和多元选择模型(Multiple Choice Model)。 本节只介绍二元选择模型。

25. 模型产生的背景 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。 模型的估计方法主要发展于80年代初期。

26. 一、二元离散选择模型的经济背景 研究选择结果与影响因素之间的关系。 影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案的属性。 对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的贷款决策。由决策者的属性决定。 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方案的属性共同决定。

27. 二、二元离散选择模型 1、原始模型 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择主体所具有的属性。 左右端矛盾

28. 模型存在的问题 由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题的模型。 需要将原始模型变换为效用模型。 这是离散选择模型的关键。 具有异方差性

29. 2、效用模型 效用函数 第i个个体 选择1的效用 第i个个体 选择0的效用 作为研究对象的二元选择模型

30. 说明 注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。 很显然，如果不可观测的U1>U0，即对应于观测值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交通工具； 相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通工具。

31. 3、最大似然估计 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项选择一种特定的概率分布。 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑（logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元选择模型—Probit模型和Logit模型。 最大似然函数及其估计过程如下：

32. 似然函数的推导 推导过程 标准正态分布或逻辑分布的对称性 似然函数

33. 一阶条件 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模型参数估计量。 1阶极值条件

34. 三、二元Probit离散选择模型 1、标准正态分布的概率分布函数

35. 2.重复观测不可得到 重复观测值不可以得到情况下二元Probit离散选择模型的参数估计

36. 估计方法说明 关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。 这里所谓“重复观测值不可以得到”，是指对每个决策者只有一个观测值。如果有多个观测值，也将其看成为多个不同的决策者。

37. 例 贷款决策模型 分析与建模 某商业银行从历史贷款客户中随机抽取78个样本，根据设计的指标体系分别计算它们的“商业信用支持度”（CC）和“市场竞争地位等级”（CM），对它们贷款的结果（JG）采用二元离散变量，1表示贷款成功，0表示贷款失败。目的是研究JG与CC、CM之间的关系，并为正确贷款决策提供支持。

38. 样本观测值 CC=XY CM=SC

41. 该方程表示，当CC和CM已知时，代入方程，可以计算贷款成功的概率JGF。例如，将表中第19个样本观测值CC=15、CM=－1代入方程右边，计算括号内的值为0.1326552；查标准正态分布表，对应于0.1326552的累积正态分布为0.5517；于是，JG的预测值JGF=1－0.5517=0.4483，即对应于该客户，贷款成功的概率为0.4483。该方程表示，当CC和CM已知时，代入方程，可以计算贷款成功的概率JGF。例如，将表中第19个样本观测值CC=15、CM=－1代入方程右边，计算括号内的值为0.1326552；查标准正态分布表，对应于0.1326552的累积正态分布为0.5517；于是，JG的预测值JGF=1－0.5517=0.4483，即对应于该客户，贷款成功的概率为0.4483。 输出的估计结果

42. 模拟预测

43. 预测 如果有一个新客户，根据客户资料，计算的“商业信用支持度”（XY）和“市场竞争地位等级”（SC），代入模型，就可以得到贷款成功的概率，以此决定是否给予贷款。

44. 3、重复观测值可以得到 重复观测值可以得到情况下二元Probit离散选择模型的参数估计 对每个决策者有多个重复（例如10次左右）观测值。 对第i个决策者重复观测ni次，选择yi=1的次数比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的一个估计量。 建立 “概率单位模型” ，采用广义最小二乘法估计 。 实际中并不常用。

45. 四、二元Logit离散选择模型 1、逻辑分布的概率分布函数

46. 模型说明 Börsch-Supan于1987年指出: 如果选择是按照效用最大化而进行的，具有极限值的逻辑分布是较好的选择，这种情况下的二元选择模型应该采用Logit模型。

47. 2、重复观测值不可以得到 重复观测值不可以得到情况下二元logit离散选择模型的参数估计 关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。