1 / 19

Sorozatok

Sorozatok. A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István. Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető a számsorozatok tanulmányozásával. A sorozat : valós számok egymásutánja.

javen
Download Presentation

Sorozatok

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Sorozatok A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István

  2. Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető a számsorozatok tanulmányozásával. A sorozat: valósszámok egymásutánja. A matematikában használatos a sorozat szó akkor is, amikor az elemek nem valós számok (algebrai kifejezések, függvények, stb.). Mi most csak valós számsorozatokkal foglalkozunk. Például: A sorozatot mindig végtelen sok elemből állónak értelmezzük. A végessok elemű sorozat az általános értelemben vett, tehát a végtelen sorozat része. A sorozat megadása Sorozatot megadni csak a sorozatképzés szabályának közlésével lehetséges! Végtelen sok elemet egymás után leírni (kimondani, feltüntetni) ugyanis lehetetlen, ehhez végtelen sok időre lenne szükség, tehát csak szabállyal tudunk sorozatot megadni! A sorozat megadható: Például: 1. Szóbeli közléssel A sorozatot az egész számok négyzetei alkotják. Ennek a sorozatnak az „eleje”: (0, 1, 4, 9, 16,…) 2. A sorozat egy részének konkrét megadásával Olyan részletet adunk meg a sorozatból, amelyen a szabályosság látszik, amely szerint folytatni tudnánk a többi elem felvételét. Például: (0; 2; 4; 6; 8,…). A felsorolás az egyes elemek megadásával is történhet: a1=0, a2=2, a3=4 és így tovább.

  3. 3. Képlettel Például a (0; 2; 4; 6; 8,…) sorozat megadható így is: a1=0 és an=an-1+2. „A sorozat első tagja 0 és bármelyik tagot megkapjuk, ha az előtte lévőhöz 2-t adunk.” Ez a sorozat rekurzív („visszafutó”) megadási módja. (Viszonylag ritkán használjuk.) a sorozat minden egyes tagjának értékét közvetlenül a tag sorszámával adjuk meg. Direkt képlet: Például a (0, 2, 4, 6, 8, …) sorozat esetén az általános tag a direkt képlettel: an=2n–2, ahol n N+. A későbbiekben az n mindig pozitív egész, ezt külön nem jelöljük. Vagy az sorozat általános eleme: Megjegyzések: 1. Ha csak an -t írunk, akkor egyetlen számot, a sorozatnak egyik (n értékétől függően bármelyik) tagját, az általános elemet adjuk meg. Például: az (1, 4, 9, 16, …) sorozat általános eleme: an=n2. Ha a sorozat egészéről van szó, akkor a jelölésünk: (n2), vagy (an=n2), vagy (an). Ha viszont ennek a sorozatnak egy részéről beszélünk, például a (4, 9, 16, 25, 36) ötelemű részsorozatról, akkor ezt így jelöljük: 2. A matematikában élesen megkülönböztetjük a sorozat és a sor kifejezéseket. Sorozat a számok egymásutánja. A sor formálisan az elemek összegét jelenti.

  4. Például: az egy sorozat, amelynek általános eleme: Viszont az egy sor! A sorokkal a fejezet végén foglalkozunk. A sorozatok jellemzői 1. Monotonítás A monotonitás a sorozat tagjai között állandó, azonos jellegű nagyságviszonyt jelent. Például az sorozat minden tagja kisebb, mint az előtte lévő. Egy sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden tagra: an+1 < an. A sorozat szigorúan monoton növekvő, ha minden tagra: an+1>an. Példa: Az (an)=(n2 )=(1, 4, 9, 16,…) sorozat szigorúan monoton növekvő. Vannak olyan sorozatok, ahol az „azonos jellegű nagyságviszony” egyenlőség is lehet. (A sorozat tagjai: az n/3 szám egész része, azaz entier (antyié) n/3.) Példa: = (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3,…). A fenti sorozat monoton növekvő, tehát ekkor: an+1 an. Létezik monoton csökkenő sorozat is, például: (bn )=(–an )=( 0, 0, –1, –1, –1, –2, …).

  5. Megjegyzések A csupa azonos számból álló sorozatot (ilyen is van!) egyszerre monoton növekvőnek és csökkenőnek mondjuk. A monotonitás a sorozat minden tagja közötti azonos jellegű nagyságviszonyt jelenti. Ha ez nem áll fenn, akkor a sorozat nem monoton. Például az an =sin(n·1o)(a sorozat általános tagja: „szinusz n-szer egy fok”)nem monoton. Ugyanis sorozat első 90 eleme a szigorúan monoton növekvő jellegű, de a következő 180 tagra a csökkenés érvényes. A szakaszonként más utasítással megadott („összefésült”) sorozat lehet monoton is, de lehet nem monoton is. Például: az általános elemű sorozat monoton növekvő. általános tagú sorozat nem monoton. Ugyanakkor a Hiszen: (bn )=(– 1/2, –1, 1, 1, 1/2, 1/3,…) Igaz viszont, hogy az sorozat szigorúan monoton csökkenő. De a teljes (bn) sorozatra nem érvényes az „azonos jellegű nagyságviszony” feltétel. Így a (bn ) sorozat összességében nem monoton.

  6. A monotonitás vizsgálata Tagadó értelemben egyszerű a dolgunk: ha akár egyetlen esetben találunk kivételt a tagok között az „azonos jellegű nagyságviszony” feltételre, akkor a sorozat nem monoton. A vizsgálatban az általános tag és a közvetlen szomszédja viszonyát nézzük meg. Például: az általános tagú sorozat esetén: Gyanítható a kiszámolt értékekből, hogy a sorozat növekvő. Vizsgáljuk általában az egymást követő tagokat: Az n+1-edik tagot kiszámoljuk: így a reláció: Átalakítások után (szorzás, egyszerűsítés) kapjuk: 9>4, ami biztosan igaz. Így a kezdeti kérdőjeles reláció is biztosan igaz, mert az ekvivalens a 9>4 relációval. Tehát an+1>an minden n-re, azaz a sorozat szigorúan monoton nő. A monotonitás vizsgálható az an– an-1különbséggel is. Ha ez pozitív minden n-re, akkor a sorozat szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor sz. m. csökkenő. Pozitív tagú sorozatoknál az an+1 és az anhányadosával is vizsgálható a monotonitás. Ha a hányados nagyobb 1-nél, akkor növekvő, ha kisebb, akkor csökkenő a sorozat.

  7. 2. Korlátosság Ha a sorozat minden eleme két szám között található, akkor a sorozat korlátos. Például az általános tag esetén: sorozat minden eleme 0 és 1 közé esik. Így ez a sorozat korlátos. Emlékeztető: a sorozat maga: Ez most így is jelölhetjük: az alsó korlát: Ka=0, a felső: Kf =1. Ha a sorozat korlátos, akkor végtelen sok korlátja van, hiszen minden, az alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát, és minden a felső korlátnál nagyobb szám pedig felső korlát. Elnevezés: egy adott sorozatnál a felső korlátok közül a létező legkisebbet felső határnak vagy pontos felső korlátnak nevezzük. Hasonlóan: az alsó korlátok közül a létező legnagyobbatalsó határnak vagy pontos alsó korlátnak nevezzük. A későbbiekben korláton a pontos alsó, illetve felső korlátot értjük, ha külön másként nem fogalmazunk. A sorozatokat vizsgálni szoktuk korlátosság szempontjából is, ezt viszont általában célszerű összekötni a konvergencia vizsgálattal.

  8. 3. Konvergencia „Konvergencia: összetart, közös cél felé halad.” A sorozatok közül néhánynál észre vehetjük, hogy a tagok egy vagy több szám körül sűrűsödnek, torlódnak, konvergálnak. Például: az sorozat tagjai n növelésével egyre közelebb kerülnek a nullához. A konvergencia, a sorozat határértéke fogalmának megértéséhez előkészületeket teszünk. Környezet Egy A szám  (epszilon) sugarú környezetén értjük azokat a számokat, amelyeknek eltérése (a számegyenesen a távolságuk) A-tól kisebb, mint . ( >0, az  távolság.) az A=8-nak =4 sugarú környezetébe tartozik az egész számok közül az 5, 6; 7 és a 9; 10, 11. Például: A valós számkörben viszont minden olyan x szám beletartozik ebbe a környezetbe, amely 8-4=4-nél nagyobb, és 8+4=12-nél kisebb. Jelölések: felírható 4 és 12 közötti x-ekre: x  ]8-ε; 8+ε[, ahol ε=4. Mindegyik írásmód azt fejezi ki, hogy az x-ek eltérése 8-tól kisebb, mint ε=4. Ugyanez másképpen: 8-ε< x <8+ε Illetve ugyanez újabb más alakban: |x–8|< ε. Definíció: az A szám ε > 0 környezetébe azok az x számok tartoznak, amelyekre: |x–A|< ε.

  9. Torlódási pont Az (an ) sorozatnak a T szám torlódási pontja, ha a T tetszőlegesen kicsi ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok eleme van. Például: az sorozatnak a 0 torlódási pontja. Ugyanis bármilyen kicsi ε értéket adunk meg, a sorozatnak végtelen sok eleme lesz a 0ε su- garú környezetében. Más példa: a (bn )=((-1)n )=(-1, 1, -1,…) sorozatnak két torlódási pontja van, a –1 és a 1. Hiszen e két szám akármilyen kicsi környezetében végtelen sok elem (–1, vagy 1) található. Vagy: a (cn )=(n2) sorozatnak nincs torlódási pontja. Lehet olyan ε értéket találni, hogy egyetlen szám ε környezetében sincs végtelen sok elem. A korlátosság és a torlódási pont létezése között szoros kapcsolat van. Ezt mutatja a: Bolzano-Weierstrass tétel: korlátos sorozatnak mindig van legalább 1 torlódási pontja. A bizonyítás alapgondolata: Ha az (an ) korlátos, akkor minden eleme két korlát, a Ka és a Kf között található. A két korlát által meghatározott intervallumot megfelezzük és azt a részt, amelyben a soro- zatnak végtelen sok eleme van, újra felezzük és így tovább. A felezgetést (elvileg) „végtelenszer” megismételjük, ekkor a végtelen sok elemet tartalmazó Intervallum ponttá zsugorodik, ez a torlódási pont.

  10. A határérték Elnevezés: ha egy korlátos sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, akkor azt a torlódási pontot határértéknek nevezzük. Példa: sorozat konvergens, mert korlátos, és egyetlen torlódási pontja van, a 0. De a (bn )=((–1)n ) sorozat nem konvergens, mert bár korlátos, de két torlódási pontja van, a –1 és a 1. Valamint: a (c n)=(n2 ) sorozat nem konvergens, mert nem korlátos, hiszen bármilyen nagy tagjánál van nagyobb eleme és torlódási pontja sincs. A nem konvergens sorozatot divergensnek nevezzük. A konvergencia jelölése: lim an =A. (Az A a határérték.) Például: (an )A, vagy egyszerűen: an A. Más jelölés: Például: Vagy: (A lim a latin limes (határ) szó rövidítése.) A sorozat határértékének kiszámolásához a fenti meghatározást nem tudjuk kihasználni. Definíció: az (an ) sorozat határértéke az A szám, ha az A tetszőleges kicsiny környe- zetén belül a sorozatnak végtelensok eleme van, a környezeten kívül pedig véges sok az elemek száma. A definícióban ugyanazt fogalmaztuk meg, amit a bevezető elnevezésben: a konvergenciá- hoz korlátosságés egyetlen torlódási pont létezése szükséges.

  11. Cauchy féle határérték definíció: Az (an) sorozat határértéke az A szám, ha tetszőleges (pozitív) ε-hozminden esetben található olyan no küszöbindex, hogy ha n > no , akkor |an –A|<ε. Például: az sorozat határértéke A=2. Ugyanis ha az ε környezetet tetszőleges kicsire választjuk, egy bizonyos no-tól kezdve a so- rozat összes további, tehát a végtelen sok tag már belül lesz az A szám ε sugarú környezetén. (Az |an -A|< ε éppen ezt fejezi ki.) Tegyünk próbát: ha ε=0,01, akkor a küszöbindexet úgy kapjuk, hogy behelyettesítünk az egyenlőtlenségbe: A megoldás: n > 99. Ez azt jelenti: ha a küszöbszám, no=99, akkor a sorozatban az ennél nagyobb sorszámú (indexű) tagok „távolsága” 2-től kisebb, mint 0,01. Valóban: például a 100-adik tagnál a határértéktől való eltérés: A 200-adik tagnál a távolság 2-től: =0,004975.

  12. A Cauchy definíciótetszőleges ε-ról szól, így elvégezzük általánosan a küszöbindex keresést a fenti példánknál: Ebből: Rendezés: Tehát ha no -nak (az 1/ε –1 egész részét) választjuk, akkor már mindig igaz, hogy ha n > no, akkor a sorozat tagjai az adott ε-nál „pontosabban” közelítik meg az A=2-t. Ha az ε például 0,0817 lenne, akkor a példánkban a küszöbindex no =[(1/0,0817)-1]=11 lesz. A divergens sorozatok speciális esete A nem konvergens sorozatok között vannak ú.n. valódi divergens sorozatok, amelyeket felfoghatunk úgy, hogy azok a végtelenbe (vagy a mínusz végtelenbe) „konvergálnak”. Például az an=n2 sorozat tagjai „minden határon túl nőnek”, a „végtelenhez tartanak”. Jelölés: (n2), illetve lim n2 = . Definíció: az (an) sorozat határértéke a , ha tetszőlegesen nagy P számhoz mindig megadható olyan no, hogy ha n > no, akkor an > P. A –-bekonvergáló sorozat definíciója hasonló (akármilyen N negatív számnál kisebbek lesznek a sorozat tagjai). Például a bn=1–n2sorozat a –-be konvergál: lim(1-n2 )= –.

  13. Nevezetes határértékek Az állítás igazolása a Cauchy definícióval történik. Bizonyítás: a megsejtett A=0 számhoz kell tetszőleges ε-hoz tartozó küszöbszámot ta- lálni, amelyre igaz, hogy minden n>no esetén mindig: |an -A|<ε. Az egyenlőtlenségünk: Ebből: , akkor már mindig igaz lesz: Ian -AI<ε, ha a sorozat bármelytagjának sorszáma nagyobb no-nál. Ha tehát A qn sorozat határértéke: A q értéke konstans, bármilyen valós számérték lehet a q. Például: 2nés 0,5n -. Bizonyítás: lásd tankönyv. Az sorozat határértéke: Nem bizonyítjuk. Sok természeti és társadalmi folyamat leírásánál használjuk ezt a sorozatot, illetve en- nek a határértékét, az ún. Euler (ajler) féle e számot, amely egy irracionális szám.

  14. A korlátosság, a monotonitás és a konvergencia összefüggései A sorozatok három jellemzője közötti kapcsolatot úgy vizsgáljuk, hogy két jellemző ismere- tében milyen következtetés adódik a harmadik jellemzőre. 1. Ha a sorozat monoton és konvergens, akkor korlátos. Ez nyilvánvaló, hiszen a konvergenciának szükséges feltétele a korlátosság. Jól kihasználható, hogy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a felső korlát pedig a határérték. Ugyanis ha a sorozat növekvő, akkor a „határérték közeléből nem fordulhat vissza”. Csökkenő sorozatnál a felső korlát az első elem, az alsó korlát a határérték. sorozatnál korábban láttuk: lim an =2. Például az A monotonitás vizsgálatához felírjuk az első 3 tagot: Gyanítjuk, hogy csökkenő a sorozat, azaz: Konkrétan: A törtes egyenlőtlenségből átalakítások után kapjuk: 5<6. Ekvivalens átalakításokkal egy biztosan igaz relációt kapunk, ekkor általánosanérvényes, hogy an+1 < an, tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Így a sorozat felső korlátja az első elem: Kf=2,5 és az alsó korlát a határérték: Ka=2.

  15. 2. Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Növekvő sorozatnál a határérték a felső korlát, csökkenőnél az alsó korlát a határérték. Lehet például a mintasorozat ehhez az 1/n általános tagú sorozat. Az alsó korlát, a 0 alá nem kerülhetnek a csökkenő sorozat elemei, tehát ott (és sehol máshol) „sűrűsödniük” kell (hiszen végtelen sok tagja van a sorozatnak), azaz a 0 határérték. Természetesen egy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a csökkenő sorozatnál pedig az első elem a felső korlát. 3. Ha a sorozat korlátos és konvergens, akkor nem biztos, hogy monoton. Például: az sorozat alsó korlátja –1, a felső 0,5, van határérték: A=0. A sorozat nem monoton, nincs azonos jellegű nagyságviszony a tagok között. Határérték tételek A nevezetes határértékek és a határértékre vonatkozó összefüggések, műveleti szabályok segítségével a sorozatok jellemzőiegyszerűbben határozhatók meg. 1. Tétel: A határértékképzés „művelettartó”, azaz ha (an)A és (bn) B, akkor (an)(bn) = (an±bn)A±B, (an)(bn) = (an∙bn)A∙B és (ha bn0 és B 0.) A művelettartás függvényekre is érvényes lehet, például: ha (an)A, akkor (sinan)sinA.

  16. Például: legyen az , ekkor: lim an=e, és legyen bn=5. Tudjuk: lim bn=5. A tagok összegéből képzett sorozatra: lim (an+bn)=e+5, a szorzatra: lim (bn∙an)=5∙e. A tétel bizonyításának alapgondolata: a megfelelő alakban felvett tetszőlegesen kicsiny környezethez mindig találunk „kívánt tulajdonságú” (Cauchy!) küszöbszámot. 2. Tétel: ha az (an) nullsorozat és a (bn) sorozat korlátos, akkor a két sorozat megfelelő tagjai szorzatából képzett sorozat is nullsorozat. Tehát: ha lim an=0 és (bn) korlátos, akkor lim an ∙bn=0. Például az nullsorozat , mert a cosn korlátos (Ka= –1, Kf = 1) és A tétel bizonyítása egyszerű: ha a tetszőlegesen kicsiny környezethez találunk „megfelelő tulajdonságú küszöbszámot”, máris végeztünk (lásd: tankönyv). 3. Tétel: Ha (an)A és (bn)A, valamint a cn sorozat minden elemére igaz, hogy: an cn bn, akkor: (cn)A. A tételt szokták rendőr szabálynak is nevezni: ha két rendőr ugyanoda tart, akkor az általuk szorosan közrefogott személy is ugyanoda megy. A tételt nem bizonyítjuk. Példa: számoljuk ki az Megoldás: a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk n-nel: Hiszen: sorozat határértékét!

  17. Példa: számoljuk ki a következő sorozat határértékét: A határérték számolásához „előkészítjük”, átalakítjuk a sorozat általános tagjának képletét: A számlálót is és a nevezőt is osztjuk 4n-nel: A határérték tehát 1,2, mert az nullsorozat, és alkalmaztuk a művelettartás szabályát. A sorozatok komplex vizsgálata Gyakran előfordul, hogy adott sorozatot mindhárom jellemző szerint vizsgálnunk kell. Ilyenkor célszerű előbb a határértéket számolni (ha létezik), majd a monotonitásról kell nyilatkozni, és ezek ismeretében a korlátosságot már egyszerűen eldönthetjük. Példa: végezzük el a következő sorozat komplex vizsgálatát: A gyanunk az, hogy a sorozat nö- vekvő (mert ez az első néhány tagon úgy látszik). 1.) lim an=2, 2.) Monotonitás: 3.) Korlátosság Ebből: 2n2+3n+1>2n2 +3n-2, azaz: 1>-2 Az utolsó reláció és így a felette lévők is biztosan igazak, tehát (an) növekvő. Ha a sorozat növekvő, akkor: Ka=a1=0,5 és Kf A=2.

  18. A sorozatok komplex vizsgálatánál gyakori, hogy küszöbszámot is keresünk. Például a vizsgált sorozatunknál adjuk meg az  =0,01-hez tartozó küszöbszámot! Láttuk, hogy a határérték2. Alkalmazzuk a Cauchy definíciót: Átalakítás (közös nevező, rendezés) után: n >299=n0. Tehát a sorozat tagjai a 300-adik tagtól kezdve belül lesznek a 2-nek 0,01 sugarú környezetén. Megjegyzés: az (an) sorozatnak Aja jobboldali határértéke, ha minden anAj. Az (an) sorozatnak Aba baloldali határértéke, ha minden anAb. A jobboldali határértéket a sorozat tagjai „alulról közelítik”, a baloldalit pedig felülről. A fenti példánkban az A=2 jobboldali határérték. A konvergens sorozatok a határértéket „mindkét oldalról” közelíthetik, például, ha: akkor a sorozat oszcillálva (váltakozó irányból) közelíti a nullát. A sorozatok komplex vizsgálata sok gyakorlást igényel. A példatárak nagy számban tartalmaznak erre a célra feladatokat. Rajta!

  19. A sorok konvergenciája Az (an)=(a1, a2, a3 ,…) sorozatbólsort képezhetünk: a1+a2+a3 +…=(jelölés)= Értelmezhetjük a sor értékét: Az (sn) a sor tagjaiból képzett részletösszeg sorozatot jelenti a következőképpen: s1=a1, s2=a1+a2, s3=a1+a2+a3, s4=…, általánosan: sn=a1+a2+a3+…+an. Definíció: A sor értéke akkor létezik, ha a részletösszeg sorozat konvergens. Ekkor az (sn) sorozat határértékét tekintjük a sor értékének. Példa: számoljuk ki a következő végtelen mértani sor értékét: M=a1+ a1q+a1q2…+a1qn-1+...= Megoldás: A sorhoz készíthető részletösszeg sorozat: sn= a1+ a1q+a1q2+…+a1qn-1. Ekkor: Ha n , akkor csak a qn határértékét kell tekintenünk. (A többi érték a képletben nem függ n-től) A lim qn =0, ha IqI<1. Ha q=1, a sorozat csupa azonos értékből áll. Máskor a (qn) divergens. Példa: Így: M= Ekkor: A fejezet tárgyalását befejeztük.

More Related