slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Sorozatok PowerPoint Presentation
Download Presentation
Sorozatok

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 19

Sorozatok - PowerPoint PPT Presentation


  • 95 Views
  • Uploaded on

Sorozatok. A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István. Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető a számsorozatok tanulmányozásával. A sorozat : valós számok egymásutánja.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Sorozatok' - javen


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Sorozatok

A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

Készítette: Dr. Ábrahám István

slide2

Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető

a számsorozatok tanulmányozásával.

A sorozat: valósszámok egymásutánja.

A matematikában használatos a sorozat szó akkor is, amikor az

elemek nem valós számok (algebrai kifejezések, függvények, stb.).

Mi most csak valós számsorozatokkal foglalkozunk.

Például:

A sorozatot mindig végtelen sok elemből állónak értelmezzük.

A végessok elemű sorozat az általános értelemben vett, tehát a végtelen sorozat része.

A sorozat megadása

Sorozatot megadni csak a sorozatképzés szabályának közlésével lehetséges!

Végtelen sok elemet egymás után leírni (kimondani, feltüntetni) ugyanis lehetetlen, ehhez

végtelen sok időre lenne szükség, tehát csak szabállyal tudunk sorozatot megadni!

A sorozat megadható:

Például:

1. Szóbeli közléssel

A sorozatot az egész számok négyzetei alkotják.

Ennek a sorozatnak az „eleje”: (0, 1, 4, 9, 16,…)

2. A sorozat egy részének konkrét megadásával

Olyan részletet adunk meg a sorozatból, amelyen a szabályosság látszik, amely szerint

folytatni tudnánk a többi elem felvételét. Például: (0; 2; 4; 6; 8,…).

A felsorolás az egyes elemek megadásával is történhet: a1=0, a2=2, a3=4 és így tovább.

slide3

3. Képlettel

Például a (0; 2; 4; 6; 8,…) sorozat megadható így is: a1=0 és an=an-1+2.

„A sorozat első tagja 0 és bármelyik tagot megkapjuk, ha az előtte lévőhöz 2-t adunk.”

Ez a sorozat rekurzív („visszafutó”) megadási módja.

(Viszonylag ritkán használjuk.)

a sorozat minden egyes tagjának értékét közvetlenül a tag sorszámával

adjuk meg.

Direkt képlet:

Például a (0, 2, 4, 6, 8, …) sorozat esetén az általános tag a direkt képlettel:

an=2n–2, ahol n N+.

A későbbiekben az n

mindig pozitív egész,

ezt külön nem jelöljük.

Vagy az

sorozat általános eleme:

Megjegyzések:

1. Ha csak an -t írunk, akkor egyetlen számot, a sorozatnak egyik (n értékétől függően

bármelyik) tagját, az általános elemet adjuk meg.

Például:

az (1, 4, 9, 16, …) sorozat általános eleme: an=n2.

Ha a sorozat egészéről van szó, akkor a jelölésünk: (n2), vagy (an=n2), vagy (an).

Ha viszont ennek a sorozatnak egy részéről beszélünk, például a (4, 9, 16, 25, 36)

ötelemű részsorozatról, akkor ezt így jelöljük:

2. A matematikában élesen megkülönböztetjük a sorozat és a sor kifejezéseket. Sorozat

a számok egymásutánja. A sor formálisan az elemek összegét jelenti.

slide4

Például:

az

egy sorozat, amelynek általános eleme:

Viszont az

egy sor! A sorokkal a fejezet végén foglalkozunk.

A sorozatok jellemzői

1. Monotonítás

A monotonitás a sorozat tagjai között állandó, azonos jellegű nagyságviszonyt jelent.

Például az

sorozat minden tagja kisebb, mint az előtte lévő.

Egy sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden tagra: an+1 < an.

A sorozat szigorúan monoton növekvő, ha minden tagra: an+1>an.

Példa:

Az (an)=(n2 )=(1, 4, 9, 16,…) sorozat szigorúan monoton növekvő.

Vannak olyan sorozatok, ahol az „azonos jellegű nagyságviszony” egyenlőség is lehet.

(A sorozat tagjai: az n/3 szám egész része,

azaz entier (antyié) n/3.)

Példa:

= (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3,…).

A fenti sorozat monoton növekvő, tehát ekkor: an+1 an.

Létezik monoton csökkenő sorozat is, például: (bn )=(–an )=( 0, 0, –1, –1, –1, –2, …).

slide5

Megjegyzések

A csupa azonos számból álló sorozatot (ilyen is van!) egyszerre monoton növekvőnek

és csökkenőnek mondjuk.

A monotonitás a sorozat minden tagja közötti azonos jellegű nagyságviszonyt jelenti.

Ha ez nem áll fenn, akkor a sorozat nem monoton.

Például az an =sin(n·1o)(a sorozat általános tagja: „szinusz n-szer egy fok”)nem monoton.

Ugyanis sorozat első 90 eleme a szigorúan monoton növekvő jellegű, de a következő

180 tagra a csökkenés érvényes.

A szakaszonként más utasítással megadott („összefésült”) sorozat lehet monoton is,

de lehet nem monoton is.

Például: az

általános elemű sorozat monoton növekvő.

általános tagú sorozat nem monoton.

Ugyanakkor a

Hiszen: (bn )=(– 1/2, –1, 1, 1, 1/2, 1/3,…)

Igaz viszont, hogy az

sorozat szigorúan monoton csökkenő.

De a teljes (bn) sorozatra nem érvényes az „azonos jellegű nagyságviszony” feltétel.

Így a (bn ) sorozat összességében nem monoton.

slide6

A monotonitás vizsgálata

Tagadó értelemben egyszerű a dolgunk: ha akár egyetlen esetben találunk kivételt a

tagok között az „azonos jellegű nagyságviszony” feltételre, akkor a sorozat nem monoton.

A vizsgálatban az általános tag és a közvetlen szomszédja viszonyát nézzük meg.

Például: az

általános tagú sorozat esetén:

Gyanítható a kiszámolt értékekből, hogy a sorozat növekvő.

Vizsgáljuk általában az egymást követő tagokat:

Az n+1-edik tagot kiszámoljuk:

így a reláció:

Átalakítások után (szorzás, egyszerűsítés) kapjuk: 9>4, ami biztosan igaz.

Így a kezdeti kérdőjeles reláció is biztosan igaz, mert az ekvivalens a 9>4 relációval.

Tehát an+1>an minden n-re, azaz a sorozat szigorúan monoton nő.

A monotonitás vizsgálható az an– an-1különbséggel is. Ha ez pozitív minden n-re, akkor

a sorozat szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor sz. m. csökkenő.

Pozitív tagú sorozatoknál az an+1 és az anhányadosával is vizsgálható a monotonitás.

Ha a hányados nagyobb 1-nél, akkor növekvő, ha kisebb, akkor csökkenő a sorozat.

slide7

2. Korlátosság

Ha a sorozat minden eleme két szám között található, akkor a sorozat korlátos.

Például az

általános tag esetén: sorozat minden eleme 0 és 1 közé esik.

Így ez a sorozat korlátos.

Emlékeztető: a sorozat maga:

Ez most így is jelölhetjük: az alsó korlát: Ka=0, a felső: Kf =1.

Ha a sorozat korlátos, akkor végtelen sok korlátja van, hiszen minden, az alsó korlátnál

kisebb szám is alsó korlát, és minden a felső korlátnál nagyobb szám pedig felső korlát.

Elnevezés: egy adott sorozatnál a felső korlátok közül a létező legkisebbet felső határnak

vagy pontos felső korlátnak nevezzük.

Hasonlóan: az alsó korlátok közül a létező legnagyobbatalsó határnak vagy pontos alsó

korlátnak nevezzük.

A későbbiekben korláton a pontos alsó, illetve felső korlátot értjük, ha külön másként

nem fogalmazunk.

A sorozatokat vizsgálni szoktuk korlátosság szempontjából is, ezt viszont általában célszerű

összekötni a konvergencia vizsgálattal.

slide8

3. Konvergencia

„Konvergencia: összetart, közös cél felé halad.”

A sorozatok közül néhánynál észre vehetjük, hogy a tagok egy vagy több szám körül

sűrűsödnek, torlódnak, konvergálnak.

Például: az

sorozat tagjai n növelésével egyre közelebb kerülnek a nullához.

A konvergencia, a sorozat határértéke fogalmának megértéséhez előkészületeket teszünk.

Környezet

Egy A szám  (epszilon) sugarú környezetén értjük azokat a számokat, amelyeknek

eltérése (a számegyenesen a távolságuk) A-tól kisebb, mint . ( >0, az  távolság.)

az A=8-nak =4 sugarú környezetébe tartozik az egész számok közül az

5, 6; 7 és a 9; 10, 11.

Például:

A valós számkörben viszont minden olyan x szám beletartozik ebbe a környezetbe,

amely 8-4=4-nél nagyobb, és 8+4=12-nél kisebb.

Jelölések: felírható 4 és 12 közötti x-ekre:

x  ]8-ε; 8+ε[, ahol ε=4.

Mindegyik írásmód azt fejezi

ki, hogy az x-ek eltérése 8-tól

kisebb, mint ε=4.

Ugyanez másképpen:

8-ε< x <8+ε

Illetve ugyanez újabb más alakban:

|x–8|< ε.

Definíció: az A szám ε > 0 környezetébe azok az x számok tartoznak, amelyekre:

|x–A|< ε.

slide9

Torlódási pont

Az (an ) sorozatnak a T szám torlódási pontja, ha a T tetszőlegesen kicsi ε sugarú

környezetében a sorozatnak végtelen sok eleme van.

Például: az

sorozatnak a 0 torlódási pontja.

Ugyanis bármilyen kicsi ε értéket adunk meg, a sorozatnak végtelen sok eleme lesz a 0ε su-

garú környezetében.

Más példa: a (bn )=((-1)n )=(-1, 1, -1,…) sorozatnak két torlódási pontja van, a –1 és a 1.

Hiszen e két szám akármilyen kicsi környezetében végtelen sok elem (–1, vagy 1) található.

Vagy: a (cn )=(n2) sorozatnak nincs torlódási pontja.

Lehet olyan ε értéket találni, hogy egyetlen szám ε környezetében sincs végtelen sok elem.

A korlátosság és a torlódási pont létezése között szoros kapcsolat van. Ezt mutatja a:

Bolzano-Weierstrass tétel: korlátos sorozatnak mindig van legalább 1 torlódási pontja.

A bizonyítás alapgondolata:

Ha az (an ) korlátos, akkor minden eleme két korlát, a Ka és a Kf között található.

A két korlát által meghatározott intervallumot megfelezzük és azt a részt, amelyben a soro-

zatnak végtelen sok eleme van, újra felezzük és így tovább.

A felezgetést (elvileg) „végtelenszer” megismételjük, ekkor a végtelen sok elemet tartalmazó

Intervallum ponttá zsugorodik, ez a torlódási pont.

slide10

A határérték

Elnevezés: ha egy korlátos sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, akkor azt a

torlódási pontot határértéknek nevezzük.

Példa:

sorozat konvergens, mert korlátos, és egyetlen torlódási pontja van, a 0.

De a (bn )=((–1)n ) sorozat nem konvergens, mert bár korlátos, de két torlódási pontja

van, a –1 és a 1.

Valamint: a (c n)=(n2 ) sorozat nem konvergens, mert nem korlátos, hiszen bármilyen

nagy tagjánál van nagyobb eleme és torlódási pontja sincs.

A nem konvergens sorozatot divergensnek nevezzük.

A konvergencia jelölése:

lim an =A. (Az A a határérték.)

Például:

(an )A, vagy egyszerűen: an A.

Más jelölés:

Például:

Vagy:

(A lim a latin limes (határ) szó rövidítése.)

A sorozat határértékének kiszámolásához a fenti meghatározást nem tudjuk kihasználni.

Definíció:

az (an ) sorozat határértéke az A szám, ha az A tetszőleges kicsiny környe-

zetén belül a sorozatnak végtelensok eleme van, a környezeten kívül pedig

véges sok az elemek száma.

A definícióban ugyanazt fogalmaztuk meg, amit a bevezető elnevezésben: a konvergenciá-

hoz korlátosságés egyetlen torlódási pont létezése szükséges.

slide11

Cauchy féle határérték definíció:

Az (an) sorozat határértéke az A szám, ha tetszőleges (pozitív) ε-hozminden

esetben található olyan no küszöbindex, hogy ha n > no , akkor |an –A|<ε.

Például: az

sorozat határértéke A=2.

Ugyanis ha az ε környezetet tetszőleges kicsire választjuk, egy bizonyos no-tól kezdve a so-

rozat összes további, tehát a végtelen sok tag már belül lesz az A szám ε sugarú környezetén.

(Az |an -A|< ε éppen ezt fejezi ki.)

Tegyünk próbát: ha ε=0,01, akkor a küszöbindexet úgy kapjuk, hogy behelyettesítünk az

egyenlőtlenségbe:

A megoldás: n > 99.

Ez azt jelenti: ha a küszöbszám, no=99, akkor a sorozatban az ennél nagyobb sorszámú

(indexű) tagok „távolsága” 2-től kisebb, mint 0,01.

Valóban: például a 100-adik tagnál a határértéktől való eltérés:

A 200-adik tagnál a távolság 2-től: =0,004975.

slide12

A Cauchy definíciótetszőleges ε-ról szól, így elvégezzük általánosan a küszöbindex

keresést a fenti példánknál:

Ebből:

Rendezés:

Tehát ha no -nak

(az 1/ε –1 egész részét) választjuk, akkor már mindig igaz, hogy

ha n > no, akkor a sorozat tagjai az adott ε-nál „pontosabban” közelítik meg az A=2-t.

Ha az ε például 0,0817 lenne, akkor a példánkban a küszöbindex no =[(1/0,0817)-1]=11 lesz.

A divergens sorozatok speciális esete

A nem konvergens sorozatok között vannak ú.n. valódi divergens sorozatok, amelyeket

felfoghatunk úgy, hogy azok a végtelenbe (vagy a mínusz végtelenbe) „konvergálnak”.

Például az an=n2 sorozat tagjai „minden határon túl nőnek”, a „végtelenhez tartanak”.

Jelölés: (n2), illetve lim n2 = .

Definíció: az (an) sorozat határértéke a , ha tetszőlegesen nagy P számhoz mindig

megadható olyan no, hogy ha n > no, akkor an > P.

A –-bekonvergáló sorozat definíciója hasonló (akármilyen N negatív számnál kisebbek

lesznek a sorozat tagjai).

Például a bn=1–n2sorozat a –-be konvergál: lim(1-n2 )= –.

slide13

Nevezetes határértékek

Az állítás igazolása a Cauchy definícióval történik.

Bizonyítás: a megsejtett A=0 számhoz kell tetszőleges ε-hoz tartozó küszöbszámot ta-

lálni, amelyre igaz, hogy minden n>no esetén mindig: |an -A|<ε.

Az egyenlőtlenségünk:

Ebből:

, akkor már mindig igaz lesz: Ian -AI<ε, ha a sorozat bármelytagjának

sorszáma nagyobb no-nál.

Ha tehát

A qn sorozat határértéke:

A q értéke konstans, bármilyen

valós számérték lehet a q.

Például: 2nés

0,5n -.

Bizonyítás: lásd tankönyv.

Az

sorozat határértéke:

Nem bizonyítjuk.

Sok természeti és társadalmi folyamat leírásánál használjuk ezt a sorozatot, illetve en-

nek a határértékét, az ún. Euler (ajler) féle e számot, amely egy irracionális szám.

slide14

A korlátosság, a monotonitás és a konvergencia összefüggései

A sorozatok három jellemzője közötti kapcsolatot úgy vizsgáljuk, hogy két jellemző ismere-

tében milyen következtetés adódik a harmadik jellemzőre.

1. Ha a sorozat monoton és konvergens, akkor korlátos.

Ez nyilvánvaló, hiszen a konvergenciának szükséges feltétele a korlátosság.

Jól kihasználható, hogy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a felső korlát

pedig a határérték.

Ugyanis ha a sorozat növekvő, akkor a „határérték közeléből nem fordulhat vissza”.

Csökkenő sorozatnál a felső korlát az első elem, az alsó korlát a határérték.

sorozatnál korábban láttuk: lim an =2.

Például az

A monotonitás vizsgálatához felírjuk az első 3 tagot:

Gyanítjuk, hogy csökkenő a sorozat, azaz:

Konkrétan:

A törtes egyenlőtlenségből átalakítások után kapjuk: 5<6.

Ekvivalens átalakításokkal egy biztosan igaz relációt kapunk, ekkor általánosanérvényes,

hogy an+1 < an, tehát a sorozat szigorúan monoton csökken.

Így a sorozat felső korlátja az első elem: Kf=2,5 és az alsó korlát a határérték: Ka=2.

slide15

2. Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is.

Növekvő sorozatnál a határérték a felső korlát, csökkenőnél az alsó korlát a határérték.

Lehet például a mintasorozat ehhez az 1/n általános tagú sorozat. Az alsó korlát, a 0 alá

nem kerülhetnek a csökkenő sorozat elemei, tehát ott (és sehol máshol) „sűrűsödniük”

kell (hiszen végtelen sok tagja van a sorozatnak), azaz a 0 határérték.

Természetesen egy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a csökkenő sorozatnál

pedig az első elem a felső korlát.

3. Ha a sorozat korlátos és konvergens, akkor nem biztos, hogy monoton.

Például: az

sorozat alsó korlátja –1, a felső 0,5, van határérték: A=0.

A sorozat nem monoton, nincs azonos jellegű nagyságviszony a tagok között.

Határérték tételek

A nevezetes határértékek és a határértékre vonatkozó összefüggések, műveleti szabályok

segítségével a sorozatok jellemzőiegyszerűbben határozhatók meg.

1. Tétel: A határértékképzés „művelettartó”, azaz ha (an)A és (bn) B, akkor

(an)(bn) = (an±bn)A±B, (an)(bn) = (an∙bn)A∙B és

(ha bn0

és B 0.)

A művelettartás függvényekre is érvényes lehet,

például: ha (an)A, akkor (sinan)sinA.

slide16

Például: legyen az

, ekkor: lim an=e, és legyen bn=5. Tudjuk: lim bn=5.

A tagok összegéből képzett sorozatra: lim (an+bn)=e+5, a szorzatra: lim (bn∙an)=5∙e.

A tétel bizonyításának alapgondolata: a megfelelő alakban felvett tetszőlegesen kicsiny

környezethez mindig találunk „kívánt tulajdonságú” (Cauchy!) küszöbszámot.

2. Tétel: ha az (an) nullsorozat és a (bn) sorozat korlátos, akkor a két sorozat

megfelelő tagjai szorzatából képzett sorozat is nullsorozat.

Tehát: ha lim an=0 és (bn) korlátos, akkor lim an ∙bn=0.

Például az

nullsorozat , mert a cosn korlátos (Ka= –1, Kf = 1) és

A tétel bizonyítása egyszerű: ha a tetszőlegesen kicsiny környezethez találunk „megfelelő

tulajdonságú küszöbszámot”, máris végeztünk (lásd: tankönyv).

3. Tétel: Ha (an)A és (bn)A, valamint a cn sorozat minden elemére igaz,

hogy: an cn bn, akkor: (cn)A.

A tételt szokták rendőr szabálynak is nevezni: ha két rendőr ugyanoda

tart, akkor az általuk szorosan közrefogott személy is ugyanoda megy.

A tételt nem bizonyítjuk.

Példa: számoljuk ki az

Megoldás: a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk n-nel:

Hiszen:

sorozat határértékét!

slide17

Példa: számoljuk ki a következő sorozat határértékét:

A határérték számolásához „előkészítjük”, átalakítjuk a sorozat általános tagjának képletét:

A számlálót is és a nevezőt is osztjuk 4n-nel:

A határérték tehát 1,2, mert az

nullsorozat, és alkalmaztuk a művelettartás szabályát.

A sorozatok komplex vizsgálata

Gyakran előfordul, hogy adott sorozatot mindhárom jellemző szerint vizsgálnunk kell.

Ilyenkor célszerű előbb a határértéket számolni (ha létezik), majd a monotonitásról kell

nyilatkozni, és ezek ismeretében a korlátosságot már egyszerűen eldönthetjük.

Példa: végezzük el a következő sorozat komplex vizsgálatát:

A gyanunk az, hogy a sorozat nö-

vekvő (mert ez az első néhány

tagon úgy látszik).

1.) lim an=2,

2.) Monotonitás:

3.) Korlátosság

Ebből:

2n2+3n+1>2n2 +3n-2, azaz: 1>-2

Az utolsó reláció és így a felette lévők is

biztosan igazak, tehát (an) növekvő.

Ha a sorozat növekvő, akkor:

Ka=a1=0,5 és Kf A=2.

slide18

A sorozatok komplex vizsgálatánál gyakori, hogy küszöbszámot is keresünk.

Például a vizsgált sorozatunknál adjuk meg az  =0,01-hez tartozó küszöbszámot!

Láttuk, hogy a határérték2. Alkalmazzuk a Cauchy definíciót:

Átalakítás (közös nevező, rendezés) után: n >299=n0.

Tehát a sorozat tagjai a 300-adik tagtól kezdve belül lesznek a 2-nek 0,01 sugarú környezetén.

Megjegyzés: az (an) sorozatnak Aja jobboldali határértéke, ha minden anAj.

Az (an) sorozatnak Aba baloldali határértéke, ha minden anAb.

A jobboldali határértéket a sorozat tagjai „alulról közelítik”, a baloldalit pedig felülről.

A fenti példánkban az A=2 jobboldali határérték.

A konvergens sorozatok a határértéket „mindkét oldalról” közelíthetik, például, ha:

akkor a sorozat oszcillálva (váltakozó irányból) közelíti a nullát.

A sorozatok komplex vizsgálata sok gyakorlást igényel. A példatárak

nagy számban tartalmaznak erre a célra feladatokat. Rajta!

slide19

A sorok konvergenciája

Az (an)=(a1, a2, a3 ,…) sorozatbólsort képezhetünk: a1+a2+a3 +…=(jelölés)=

Értelmezhetjük a sor értékét:

Az (sn) a sor tagjaiból képzett részletösszeg sorozatot jelenti a következőképpen:

s1=a1, s2=a1+a2, s3=a1+a2+a3, s4=…, általánosan: sn=a1+a2+a3+…+an.

Definíció: A sor értéke akkor létezik, ha a részletösszeg sorozat konvergens.

Ekkor az (sn) sorozat határértékét tekintjük a sor értékének.

Példa: számoljuk ki a következő végtelen mértani sor értékét:

M=a1+ a1q+a1q2…+a1qn-1+...=

Megoldás: A sorhoz készíthető részletösszeg sorozat:

sn= a1+ a1q+a1q2+…+a1qn-1.

Ekkor:

Ha n , akkor csak a qn határértékét kell tekintenünk.

(A többi érték a képletben nem függ n-től)

A lim qn =0, ha IqI<1. Ha q=1, a sorozat csupa azonos értékből áll. Máskor a (qn) divergens.

Példa:

Így: M=

Ekkor:

A fejezet tárgyalását befejeztük.