因式定理

1. 因式定理

2. 餘數和因式兩者之間有甚麼關係呢? 當 (x2 – 1)  (x + 1) 時，餘數= 0。 所以 x + 1 是x2 – 1 的因式。

3. 你還記得餘式定理嗎? 設 f(x) = x2 – 1。 f(1) = 12 – 1 = 0 根據餘式定理，當f(x) 除以 x – 1 時，所得的餘數是 0。  x – 1 是 f(x) 的因式。

4. 設 f(x) = x2 – 5x + 6。 定理 3.3 因式定理 對於一個多項式 f(x)，若 f(a) = 0，其中 a是一個整數，則 x – a是 f(x) 的因式。 f(a) = 0 x – a是 f(x) 的因式 f(2) = 22 – 5(2) + 6 = 0  x – 2 是 f(x) 的因式。

5. x – 3 是 2x2 – 5x – 3 的因式。 x – 2 不是 2x2 – 5x – 3 的因式。 課堂研習 若 f(x) = 2x2 – 5x – 3，x – 2 和 x – 3 是否 f(x) 的 因式? f(3) = 2(3)2 – 5(3) – 3 f(2) = 2(2)2 – 5(2) – 3 = 8 – 10 – 3 = 18 – 15 – 3 = –5 = 0  0

6. 設 f(x) = x2 – 4。 x + 2 是 f(x) 的因式。 因式定理的逆定理 對於一個多項式 f(x)，若 x – a是 f(x) 的因式， 則 f(a) = 0。 f(a) = 0 x – a是 f(x) 的因式  f(–2) = 0

7. x – 3 是 x3 – 4x2 + px + 6 的因式。 33 – 4(3)2 + p(3) + 6 = 0 27 – 36 + 3p + 6 = 0 3p = 3 p = 1 課堂研習 若 x – 3 是 x3 – 4x2 + px + 6 的因式，求 p的值。 設 f(x) = x3 – 4x2 + px + 6。  根據因式定理的逆定理， f(3) = 0

8. 如果 a不是整數 …… 定理 3.4 因式定理的推論 對於一個多項式 f(x)，若 f( ) = 0，其中 m 和 n是整數，且m 0， 則 mx – n是 f(x) 的因式。 f( ) = 0 mx – n是 f(x) 的因式

9. 2x – 1 是不是 2x2 + x – 1 的因式? 設 f(x) = 2x2 + x – 1。 = 0  2x – 1 是 2x2 + x – 1 的因式。

10. 對於一個多項式 f(x)，若 mx – n是 f(x) 的因式， 其中 m和 n是整數，且m 0，則 f( ) = 0。 f( ) = 0 因式定理的推論的逆定理 mx – n是 f(x) 的因式

11. 8x3 + 6x2 + qx + 3 可被 4x – 3 整除。 f( ) = 0 8( )3 + 6( )2 + q( ) + 3 = 0 = q = –13 課堂研習 若 8x3 + 6x2 + qx + 3 可被 4x – 3 整除，求 q的值。 設 f(x) = 8x3 + 6x2 + qx + 3。  根據因式定理的逆定理，