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第一章 线性空间. 学时： 16 学时。 教学手段： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。 教学目的： 1 、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。 2 、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。 3 、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。 本章的重点和难点：
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第一章 线性空间 • 学时：16学时。 • 教学手段： • 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 • 基本内容和教学目的： • 基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。 • 教学目的： • 1、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。 • 2、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。 • 3、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。 • 本章的重点和难点： • 重点：线性空间的概念，子空间的和，基与维数，基及坐标变换公式。 • 难点：线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和。
例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.
例5 （1）数域P上一元多项式环P[x]； （2）P[x]n={f(x)｜əf＜n} ∪{0}.
二. 基本性质 • 8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质. • 以下6条基本性质：
一. 向量的线性相关（无关） * 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
二. 维数、基、坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞. • 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 → dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 → dimV3=3. (2) Pn ={(a1,a2,…,an)|ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组. (3) R[x]={f(x)|f(x)是实系数多项式}. 当 f(x)=a0+…+anxn , 且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故 1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组 → dimR[x]=∞. • 本教材仅讨论无限维线性空间.
定义6 dimV= n，如果ε1，ε2，…,εn线性无关，则称ε1,ε2, …,εn为V的一组基（或一个基）； α∈V，α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn, 称 a1, a2,…,an为α在基 ε1，ε2，…,εn下的坐标，记为（a1, a2,…,an）. • 基是 V 中一个极大无关组 → V 中有多个基，但维数是唯一确定的； • 对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn唯一线性表示 → （这即说：向量α 在该基ε1，ε2，…,εn下的坐标唯一确定）. 证明： 据维数及基的定义 → α，ε1，ε2，…,εn线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,…,bn ,使 b1ε1+ b2ε2+ … + bnεn+ bn+1α=0 → bn+1≠0 (否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn =0， 矛盾) → α= bn+1-1((-b1)ε1+ … +(-bn)εn)= a1ε1+ a2ε2 + … + anεn,即α可由基ε1，ε2，…,εn线性表示.
设α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn＝b1ε1+ b2ε2 + … + bnεn → (a1-b1)ε1+ (a2-b2)ε2 + … +(an-bn)εn＝0 → 由基ε1，ε2，…,εn 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,…,n),即表示唯一. □ • 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画. 定理1 α1,α2,…,αn 是 V 的基 α1,α2,…,αn线性无关，且 对任意的α∈V， α可由α1,α2,…,αn线性标出
* 问题的提出： • dimV=n →
过渡矩阵A是可逆矩阵 称如上公式为基 到基 的基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵
基变换公式 二. 坐标变换公式 • 命题2 坐标变换公式
基变换公式 坐标变换公式 接前页 坐标旋转公式 （平面解析几何）
一. 子空间的概念 1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间. • 寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题 → 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. 据题设 → W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). → 取k = 0, 则kα= 0α= 0∈W； 取k = －1, 则kα= (－1)α=－α∈W 即算律3), 4)成立 → W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 → 据定义7即知W是V的子空间. □ • 子空间本身就是一个线性空间 → 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立 . • 设W是V的子空间，则dimW≤dimV .
补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设 由定理2即知W是V的子空间. □ • 实例： 例1-2取V的子集{0}，则{0}是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 → 子空间{0}和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间. 例3实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间. 证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anxn+ ··· +a1x+a0, g(x) = bmxm++b1x+b0, 不妨设n≤m, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)xm+···+(cbn+dan)xn+···+(cb1+da1)x+(cb0+da0) 显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. □
例5线性空间Pn中，齐次线性方程组 全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间. 证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W ={α｜Aα= 0}. 对任意的α,β∈W, a,b∈P, A(aα+bβ) =a Aα+bAβ= 0 + 0 = 0, 故知 aα+bβ∈W , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. □ 补充例题： 过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间 证明： 过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间. 过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间. • 这里之所以要求过原点，是为了保证 0α= 0∈W成立.
例6设α1,α2,···,αr∈V (V是数域P上的线性空间), 则L(α1,α2,···,αr) = {k1α1+k2α2+···+krαr| ki∈P, i =1,2,···,r}是V的一个子空间. 证明： α1,α2,···,αr∈ L(α1,α2,···,αr) → L(α1,α2,···,αr) 是V的非空子集. 任取 α=k1α1+k2α2+···+krαr , β= t1α1+t2α2+···+trαr ∈ L(α1,α2,···,αr) , 任取 a, b∈P, aα+ bβ= (ak1+bt1)α+····+ (akr+btr)α∈ L(α1,α2,···,αr) → L(α1,α2,···,αr)是V的一个子空间. □ • 例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量α1,α2,···,αr ，则包含α1,α2,···,αr 的一切线性组合，即包含L(α1,α2,···,αr)为其子空间. • 例题结论引出如下概念： 补充定义：设α1, α2, ···, αr∈V (V是数域P上的线性空间), 称子空 间 L(α1, α2, ···, αr)为 V 的由α1, α2, ···, αr 生成的的子空间； 而 α1, α2, ···, αr称为该生成子空间的生成元.
