结构力学

结构力学 结构力学教研室长安大学建筑工程学院

第九章 位移法

对于仅考虑材料在线弹性范围内工作的结构，力和位移之间有一一对应的关系，正是由于有这种确定的关系，以位移（或力）为基本未知量，当求出位移（或力）后就可以通过这种确定关系求力（或位移）。对于仅考虑材料在线弹性范围内工作的结构，力和位移之间有一一对应的关系，正是由于有这种确定的关系，以位移（或力）为基本未知量，当求出位移（或力）后就可以通过这种确定关系求力（或位移）。

基本假定： 结构的材料为线弹性；结构的变形为微小变形。对于梁式杆，其杆的轴向、切向变形可忽略不计，只考虑弯曲变形，且弯曲变形为微小变形。即，受弯直杆变形后其两端的距离保持不变——受弯直杆的轴向刚度条件。

§ 9.1 位移法基本概念本节介绍位移法的基本未知量、基本体系、基本方程位移法的基本未知量：结构结点上的独立位移。一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移），见图9-1-1(a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位移未知量变化见图(b)

(b) (a) 图9-1-1

位移法的基本体系：离散后的各单跨超静定杆件与原结构的受力和变形一致。位移法的基本体系：离散后的各单跨超静定杆件与原结构的受力和变形一致。见下页图9-1-2(d)所示刚架，有一个结点转角位移未知量z1。由结点C与它所连各杆的C端的位移应一致的条件，知两杆在C端的杆端位移均为z1。

(b) (a) (c) (d) 图9-1-2

将两杆都在C端截断后取出，在截断处代以固定支座并使其发生位移z1,见上页(b)、(c)，由于离散后各单杆与原结构变形、位移和受力是一致的。显然，如果各杆的杆端位移z1已知，它们的内力就是原结构的内力。

位移法基本体系 离散后的各等截面直杆，使杆端位移及其上的荷载与原结构一致的体系可代替原结构，叫做位移法基本体系。位移法基本方程连接各单杆部分（使各杆协调变形）的静力平衡方程。

本节主要概念： 结点位移与杆端位移一致的变形相容条件。位移法的基本未知量：自由结点上的独立结点位移。

单元刚度方程——等截面直杆的杆端力和杆端位移（即结点位移）的关系。位移法基本体系：由各直杆两段截面截断离散后的各单根超静定杆件，在截断杆端处有与原结构相同的位移。单元刚度方程——等截面直杆的杆端力和杆端位移（即结点位移）的关系。位移法基本体系：由各直杆两段截面截断离散后的各单根超静定杆件，在截断杆端处有与原结构相同的位移。

位移法方程——结点力和结点位移的关系。 位移法方程是连接各离散杆件部分的静力平衡方程。

§ 9.2 等截面直杆单元 刚度方程 1.单元分析的概念离散结构成各独立单元（等截面直杆）的位移法基本结构，由杆端位移与结点位移一致的位移协调条件，建立各独立单杆的杆端力和杆端位移的关系，这一步属于单元分析。

对于刚架常考虑下页图9-2-1(b)所示三种单元（超静定杆件），其中图(b)左所示的单元可称为典型单元。对于刚架常考虑下页图9-2-1(b)所示三种单元（超静定杆件），其中图(b)左所示的单元可称为典型单元。 (a) (b) 图9-2-1

对照图(a),典型单元的两端结点为刚结点或固定端，截处的杆段两端用固定端代替得到的单元，可描述自由单元（两端为自由刚结点），也可描述端部单元（单元的一端是固定端）的杆端位移。对照图(a),典型单元的两端结点为刚结点或固定端，截处的杆段两端用固定端代替得到的单元，可描述自由单元（两端为自由刚结点），也可描述端部单元（单元的一端是固定端）的杆端位移。

同时可在典型单元研究结果中直接代入支座约束条件研究图(b)中、右所示单元。所以称为典型单元。同时可在典型单元研究结果中直接代入支座约束条件研究图(b)中、右所示单元。所以称为典型单元。 2、典型单元刚度方程特别提示：杆端弯矩正负号规定与弯矩图规定的区别。

(a)

(b)

单元刚度方程——单元杆端力和杆端位移的关系式。单元刚度方程——单元杆端力和杆端位移的关系式。方法1 推导单元刚度方程思路及方法：已知梁的两端固定支座发生位移qA、qB、D，求杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA。推导是求超静定梁在支座移动时的支座反力（杆端力）的过程，直接由力法计算。

方法2 已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时B支座有支座位移D，用单位荷载法求位移qA、qB，然后将杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA表示成位移的函数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁两端转角位移的过程。

按方法2建立单元刚度方程 (a)

(b) (c)

1）求qA1,qA1见上图(b) (d)

(e) (f) (g)

2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到

变换式上式得：

由平衡条件得杆端剪力：见图（g)

等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度方程。等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度方程。 (9-2-1a)

4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程 (a)

(b) (9-2-1b)

式中，MFAB、MFBA——为典型单元（两端固定梁）在荷载单独作用下的杆端弯矩，所以又称其为固端弯矩或载常数。式中，MFAB、MFBA——为典型单元（两端固定梁）在荷载单独作用下的杆端弯矩，所以又称其为固端弯矩或载常数。 (9-2-2)

3、其他单元的单元刚度方程 1）一端固定一端铰支座单元 (a)

当考虑荷载和支座位移共同作用时杆端总弯矩：当考虑荷载和支座位移共同作用时杆端总弯矩： (9-2-3) 指一端固定一端铰支座单元在荷载单独作用下的杆端弯矩。

2）一端固定一端定向滑动支座单元 (b)

(9-2-4) 、为一端固定一端定向滑动支座单元在荷载单独作用下的杆端弯矩。

§9.3 无侧移刚架的计算 1、无侧移刚架基本未知量的判定：其位移法基本未知量等于：结构上刚结点的独立角位移数 = 结构上的自由刚结点数

(a) (b)

(c) (d)

说明： 1）强调位移法基本未知量是结构中自由结点上的独立结点位移。结点上的独立角位移是自由刚结点上的角位移。

2)结构的自由刚结点，指连接了两个及两个以上杆件的刚结点。注意刚结点处也会有支座链杆，见图(c)2)结构的自由刚结点，指连接了两个及两个以上杆件的刚结点。注意刚结点处也会有支座链杆，见图(c) 3)综合结点（半铰）有角位移。 4)直杆的突变截面处视为刚结点。

2、位移法解无侧移刚架 例9-3-2 试用位移法计算图(a)所示连续梁，并作梁的弯矩图。 (a)

解: 1)确定位移法基本未知量图(b) 2)写出各杆端弯矩 (b)

(d) (c) (e)

3)由结点B的平衡条件建立 位移法方程见图(d) 4)计算杆端总弯矩

作梁的弯矩图，见图(f) (f)

说明： 1)本例是直接由静力平衡条件建立位移法方程。 2)结点角位移与结点所连的单元杆端角位移相容。杆端角位移与杆端弯矩相对应。当结构上只有结点角位移未知量时，只需写出单元杆端弯矩式，并由相应的结点力矩平衡条件建立位移法方程。

例9-3-3 用位移法计算图(a)所示刚架，绘M图。 (a)

解: 1)刚架有两个角位移未知量z1、z2，见图(b)所示。 (b)

2)各杆端总弯矩式 3)建立位移法方程 4)计算杆端总弯矩绘制弯矩图见图(c)。 5)校核

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