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数学思维与 数学思维能力的培养

数学思维与 数学思维能力的培养. 浦东教育发展研究院课程教学研究部 2011 年 11 月. 一、数学思维能力的培养的意义：. 数学教学是数学思维活动的 教学 。 数学是思维的体操。 教师 不仅仅是知识和技能的传授者， 而且是学生聪明才智的培养者，即在教学中学生在学习知识的同时，获得思维能力的训练，发展学生的智力、启迪学生的智慧其关键是要培养学生的数学思维能力。而数学思维能力的提高是需要培养的。. 二、数学思维的概述. （一） 什么是数学思维？ 数学思维 是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一定的思维规律认识数学内容的内在理性活动。

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数学思维与 数学思维能力的培养

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  1. 数学思维与 数学思维能力的培养 浦东教育发展研究院课程教学研究部 2011年11月

  2. 一、数学思维能力的培养的意义： 数学教学是数学思维活动的教学。 数学是思维的体操。 教师不仅仅是知识和技能的传授者， 而且是学生聪明才智的培养者，即在教学中学生在学习知识的同时，获得思维能力的训练，发展学生的智力、启迪学生的智慧其关键是要培养学生的数学思维能力。而数学思维能力的提高是需要培养的。

  3. 二、数学思维的概述 （一） 什么是数学思维？数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一定的思维规律认识数学内容的内在理性活动。 （二） 小学生数学思维发展的阶段 思维的发生和发展都要经历直观行动思维 具体形象思维 抽象逻缉思维

  4. 1、直观行动思维它是以实际的操作行动为依托的数学思维。1、直观行动思维它是以实际的操作行动为依托的数学思维。 如：“3”的组成。

  5. 2、具体形象思维 它是以事物的表象为依托的数学思维，它是一般形象思维初级形态。 如：学校有9只小球，又买来一些，现有20个，买来多少个？ ？ 20

  6. 3、抽象逻缉思维 它是脱离了直观形象，依靠概念、判断和推理所进行的数学思维。 如：13×5 13×6-13

  7. 三、数学思维的分类 根据小学生数学思维的发展阶段可分为直观行动思维、具体形象思维、抽象逻缉思维； 根据数学思维活动的总体规律又可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维； 根据解决数学问题的方向又可分为集中思维和发散思维； 根据数学思维的品质又可分为再造性思维和创造性思维。

  8. 四、数学思维的一般方法 • 数学思维的一般方法有观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、归纳、演绎、类比和想象等。

  9. 观察： • 数一数:下图有几条线段？ └─┴─┴─┴─┘4+3+2+1=10(个） • 四、数学思维的一般方法

  10. 四、数学思维的一般方法 实验：1、锥体体积计算公式 2、三角形内角和

  11. 四、数学思维的一般方法 分析：1、长方形的认识 2、复合应用题 3、运算顺序

  12. 四、数学思维的一般方法 综合：1、复合应用题 2、8的分与合

  13. 四、数学思维的一般方法 比较： 1、一堆煤用去三分之二和三分之二吨 2、直角与锐角、钝角、平角的比较

  14. 四、数学思维的一般方法 分类： 如：三角形的认识

  15. 四、数学思维的一般方法 抽象： 如：三角形的认识

  16. 四、数学思维的一般方法 概括： 如：圆的周长与直径

  17. 四、数学思维的一般方法 归纳： 如：乘法分配律 多边形内角和

  18. 四、数学思维的一般方法 演绎 ： 如：被3整除的特征（大前提） 3129各个位上的数的和是15，15能被3整除（小前提） 3129能被3整除（结论）

  19. 四、数学思维的一般方法 类比 ： 如：A具有性质a、b、c、d B具有性质a、b、c B也可能具有性质d

  20. 四、数学思维的一般方法 联想 ： 如：学习乘法交换率时就联想到加法 交换率，学习圆柱体体积时，就联想到圆的公式是用割补简拼的方法推导出来的，因此圆柱体体积的求法也可类似方法推导。

  21. 五、小学数学解题方法 常用的方法有: * 化归法 * 假设法 * 逆推法 * 图解法 * 类比法 * 分析推理法 * 列举法 * 代数法

  22. 化归法 用联系、运动、发展的观点看待问题，把有待解决的问题转化为一类已经解决的问题或较容易解决的问题。

  23. 例: 求自然数1---100总不能被3整除的所有数的和。 • 总数和-能被3整除的数的和 • 5050-（3+6+…+99）=3367

  24. 假设法 先对题目中已知条件或问题做出某种假设，然后按题中已知条件进行推算，根据数据上出现的矛盾，加以适当的调整，最后找到正确答案得以解决的解题方法。

  25. 例：三位老师对四位同学的数学竞赛结果预测如下：例：三位老师对四位同学的数学竞赛结果预测如下： • 甲说：小周第一，小吴第三； • 乙说：小张第一，小王第四； • 丙说：小王第二，小周第三； • 结果四位同学都进入了前四名，而三位老师的预测对了一半。四位同学的名次（ ）。

  26. 逆推法 采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题过程。

  27. 例：某数加上11，减去12，乘以13，除 以14，结果是26，这个数是几？ 26×14÷13＋12－11＝29

  28. 图解法 设法将条件、问题以及它们的数量关系用线段图、矩形图、韦恩图反映出来，使我们能借助图形进行分析推理，寻找解题途径。

  29. 线段图 线段图是另一种形象地突出数量关系的手段。在线段图中，用线段表示数量，用线段间的和、差、倍、分关系表示数量关系，从而直观地显示条件和问题间的联系。

  30. 例：在郊外上班的张工程师，每天都在同一时刻乘火车到达P站，然后乘准时到达P站接他的汽车到工厂上班。有一天，张工程师提前55分到达P站，就向工厂走去。在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂。结果比平时提前10分到达。问汽车速度是工程师步行速度的几倍？例：在郊外上班的张工程师，每天都在同一时刻乘火车到达P站，然后乘准时到达P站接他的汽车到工厂上班。有一天，张工程师提前55分到达P站，就向工厂走去。在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂。结果比平时提前10分到达。问汽车速度是工程师步行速度的几倍？

  31. 分析： 画一副线段图，A点表示张工程师在途中 与汽车相遇处，然后乘车去工厂。

  32. 汽车之所以提前10分回到工厂，是因为它少行2·PA的路程。由此推知：汽车行路程PA需要10÷2 = 5 （分）。 因为汽车和张工程师在A点相遇，是准时到达P站前5分，所以这时张工程师步行了55－5 = 50（分）。即从P站步行到A用去了50分。 根据路程一定，速度和时间成反比例，所以汽车的速度：步行速度 = 50：5 = 10：1。即汽车的速度是张工程师步行速度的10倍。

  33. 矩形图 如果一个问题涉及的是两种量以及它们的乘积，则可用矩形的边表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的积，借助于几个矩形的边长和面积之间的关系推理或计算。

  34. 例：一个人骑自行车从甲地到乙地。如果每小时行10千米，则下午1时到达；如果每小时行15千米，则上午11时到达。现在要求中午12时到达，他每小时要行多少千米？例：一个人骑自行车从甲地到乙地。如果每小时行10千米，则下午1时到达；如果每小时行15千米，则上午11时到达。现在要求中午12时到达，他每小时要行多少千米？

  35. 分析： 为了回答题目提出的问题，先要设法求出出发的时间，（或骑车的时间），从而求得这段路程的长度。 假设每小时行15千米时，x小时到达。则15x = 10×(x＋2)，x ＝10×2÷(15－10) 即 x ＝ 4 小时，由此可知，骑车人是上午11－4 ＝ 7 (时)出发的，全程15×4 = 60(千米)。 这里的x ＝10×2÷(15－10)也可以直接借助矩形图得到。

  36. 我们用矩形的横边表示时间，用矩形的纵边表示速度。则矩形的面积就表示所行的路程。由于下图中两个部分重叠的矩形的面积都表示同一段路程，所以他们的面积相等。“等量减等量，差相等。”因此，图中有阴影线的两个较少矩形的面积相等。它们的面积都等于10×(13-11).我们用矩形的横边表示时间，用矩形的纵边表示速度。则矩形的面积就表示所行的路程。由于下图中两个部分重叠的矩形的面积都表示同一段路程，所以他们的面积相等。“等量减等量，差相等。”因此，图中有阴影线的两个较少矩形的面积相等。它们的面积都等于10×(13-11). 因此，每小时行15千米时走完全程所用的时间是10×(13-11)÷(15－10)。

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  38. 图解法 甲、乙两人再一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度为每秒2米。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了12分钟，共相遇多少次？（两人同时到达某一点，也看作是相遇）。

  39. 0 60 时间 甲 45 135 120 180 90米 时间 乙 0 180 30 90 150 解：90÷2=45（分）；90÷3=30（分） • 180分=3小时，经过3小时他们各自又回到甲、乙两地，这时他们共相遇5次，因此在12分钟里两人共相遇的次数为： 5×（12÷3）=20（次）。

  40. 韦恩图 这种用来表示集合的图是英国数学家韦恩（1834-1923）最先提出的。

  41. 例：某班有学生45人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的各有20、20和15人。其中，同时参加无线电小组和航模小组的有5人，同时参加航模小组和生物小组的有5人，同时参加生物小组和无线电小组的有3人。并且全班每人都参加了以上三个小组中的某一个。问三个小组都参加的有多少人？例：某班有学生45人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的各有20、20和15人。其中，同时参加无线电小组和航模小组的有5人，同时参加航模小组和生物小组的有5人，同时参加生物小组和无线电小组的有3人。并且全班每人都参加了以上三个小组中的某一个。问三个小组都参加的有多少人？

  42. 分析：上图是三个集的韦恩图。其中矩形平面部分表示全班的学生。三个圆面分别表示参加三个小组的学生。在这里，由于用平面部分表示集合，用平面部分的面积表示集合元素的个数，因此，我们可以用面积之间的关系来理解这些集合元素个数之间的关系。假设三个小组都参加的有x人，得方程 20+20+15-5-5-3+ x ＝ 45-0,解之，可得 x ＝ 3

  43. 类比法 • 类比是根据两类事物有某种属性相同，推测它们的另一些属性也相同的推理。 • 在解题中，根据题中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推理，找到模型，从而找到解题途径的方法。

  44. 分析推理法 是运用已知的若干判断去获得一个新的判断的思维方法。

  45. 例：A、B、C三个人各说了一句话，每句话不是对的，就是错的。例：A、B、C三个人各说了一句话，每句话不是对的，就是错的。 A说：“B、C都说假话” B说：“我从来不说假话” C说：“B说的是假话” 请你想一想， A、B、C三个人中谁说的话肯定是错的？

  46. 列举法 有些题的数量关系较为隐蔽，可以用列表的方法，就是把题目中的条件所涉及的数量或结论的各种可能一一列举处处出来。

  47. 例：有1张5元、4张2元、8张1元，要拿出8元钱，可以有几种拿法？例：有1张5元、4张2元、8张1元，要拿出8元钱，可以有几种拿法？ 关键是列表时要有序思考，这样才能做到既不重复又不遗漏。

  48. 代数法 即列方程解答的方法。

  49. 例：一次数学考试中有10道填空题，按 照评分规定，答对1题得3分，答错1题扣2分。小明虽然回答了全部10个问题，但只得了15分。问他答对了多少个问题？ 解：设小明答对了X个问题 则 3X – 2（10 – X) = 15

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