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XXV Olimpiada Thales

25 años. XXV Olimpiada Thales. 25 años:. Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24, 25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá entonces 24 números en la pizarra).

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  1. 25 años XXV Olimpiada Thales

  2. 25 años: Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24, 25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá entonces 24 números en la pizarra). Se vuelven a coger dos números de los escritos en la pizarra, se borran y se vuelve a escribir su diferencia en la pizarra. Esta operación la seguimos repitiendo mientras podamos. Al final quedará un único número. ¿Hay alguna forma de que sea un 2? Menú Solución

  3. - = 3 Solución: - 3 = - = 2 Vamos a hacer un primer intento - = 12 8 - 1 2 10 = 6 5 7 5 - 9 = 1 3 4 - = 5 - 7 13 = 16 19 11 14 10 - = 12 17 15 18 20 - 2 = - 5 21 = 23 22 25 - 6 24 = Enunciado Menú

  4. Solución: - = 2 Vamos a continuar con las restas de lo que queda en la pizarra - = 1 Recordemos que el objetivo es que al final nos quede solo un 2 - = 1 2 - = 1 5 6 1 5 6 5 2 - = 0 - = 0 7 3 - = 0 3 Luego nos hemos quedado con un 1 10 12 - = 0 Enunciado Menú

  5. Solución: Después de hacer varios intentos, nos damos cuenta de que podemos conseguir un 1 pero no damos con el dos. Veamos por qué es imposible conseguir el 2. La idea es que la suma de todos los números que hay en la pizarra en cada momento, aunque cambia, nunca puede ser un número par. Enunciado Menú

  6. Solución: La suma de los números del 1 al 25 se puede calcular usando el conocido truco de Gauss: el primero más el último 12 veces, más el número que está en medio, el 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 26262626 26 26262626262626  13  26·12 13325 Que es un número impar Enunciado Menú

  7. Solución: Al elegir los dos números, que se van a borrar, pueden ocurrir tres casos: Caso 1: Que cojamos dos números pares 2m + 2n = 2(m+n) Luego en la pizarra la suma que queda es 325 - 2(m+n) = impar Además 2m - 2n = 2(m-n) par Luego al añadir este número a la pizarra = impar + Enunciado Menú

  8. Solución: Caso 2: Que cojamos dos números impares (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n)+2 Luego, en la pizarra, la suma que queda es = 325 - 2(m+n)-2 impar Además (2m+1) - (2n+1) = 2(m-n) par Luego, al añadir este número a la pizarra, + = impar Enunciado Menú

  9. Solución: Caso 3: Que cojamos un número par y otro impar 2m 2(m+n)+1 + (2n+1) = Luego, en la pizarra, la suma que queda es 325 2(m+n)-1 - = par Además 2m - (2n+1) = 2(m-n)-1 impar Luego, al añadir este número a la pizarra, + = impar Enunciado Menú

  10. Solución: En resumen, Coja los números que coja, al borrarlos y escribir su diferencia en la pizarra, la suma total de los números que quedan, siempre seguirá siendo impar, luego nunca puede salir un Enunciado Menú

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