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n 维时不变系统的方程为

五、时不变线性系统 的稳定性判据. (7-10). n 维时不变系统的方程为. 系统 (7-10) 的稳定性完全可由特征方程式 (7-11) 的根及其相应的模式来决定。. (7-10) 式中 A 阵的特征值称为 模态 ， n i 重特征值  对应的运动形式可能有 e t , t e t ,…, , 均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于  的几何结构。例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式：. 1. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件. 例题 A-1.

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n 维时不变系统的方程为

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  1. 五、时不变线性系统 的稳定性判据 (7-10) n 维时不变系统的方程为 系统(7-10)的稳定性完全可由特征方程式(7-11)的根及其相应的模式来决定。

  2. (7-10) 式中A阵的特征值称为模态，ni 重特征值  对应的运动形式可能有et, tet,…, , 均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于 的几何结构。例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式： 1. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件 例题A-1

  3. 尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。

  4. 几何重数 ： i对应的线性无关的特征向量的个数，即属于i 的若当块的块数。 几何重数 可以如下求出： 注： 1)代数重数 ni：特征式中仅有的因子 例：若i为6阶系统的三重根，且由计算得到 则表明i有三个线性无关的特征向量。

  5. 以下几种提法是等价的（参看矩阵论）：对特征值i以下几种提法是等价的（参看矩阵论）：对特征值i (a) i 是最小多项式的单根; (b) i 的初等因子都是一次的； (c) 对应的 Ji 是对角形； (d) 对应的若当块的个数等于代数重数； (e) 几何重数等于代数重数.

  6. 由以上讨论可以得出的结论是： • Re < 0，  对应的所有运动模式收敛，即随着时间趋于无穷而趋于零。 • Re >0,  对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散.。 • Re =0, 分两种情况： • 若  对应的若当块全是一阶子块，这时 的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；

  7. 当 的几何重数小于代数重数， 对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时,一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。 • 只要将例题A-1中的特征值换为零，就可证实以上结论：

  8. 2. 稳定性判据 定理7-4：系统dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件 • (李氏)稳定：det(sIA)实部为零的根对应的初等因子是一次(或对应的若当块为一阶子块，或是最小多项式的单根。几何重数等于代数重数。) ，且其余根均具负实部。 • 渐近稳定：det(sIA)的所有根均具负实部。 • 不稳定：det(sIA)有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。 证明：根据定理7-2，我们只要讨论其状态转移矩阵的性质就可以了。

  9. 将eAt 写成 PeJt P1，这里 显然，只要讨论eJt的有界性和收敛性即可，而这等价于讨论eJt的每个元素的有界性和收敛性。

  10. （李氏）稳定当且仅当 特征多项式实部为零的根对应的初等因子是一次，且其余根均具负实部。 • 渐近稳定当且仅当 特征多项式的所有根均具负实部。 • 不稳定当且仅当 特征多项式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。 证完。

  11. （2）总可以将 写成 讨论：根据定理7-2， （1）对于时不变系统 稳定一致稳定 这是因为若 则N必与t0无关(参见定理7-2）。 因此，时不变系统按指数渐近稳定、渐近稳定、一致渐近稳定显然也是等价的，即 渐近稳定 一致渐近稳定指数渐近稳定

  12. 线性 定常 指数渐近稳定 一致渐近稳定 一致稳定 稳定 定常 渐近稳定 这是为什么对于时不变系统，通常只说“系统渐近稳定”的原因。

  13. 例题 系统方程如下 式中a为实常数，写出x=0李氏稳定时a的取值条件。 解系统的特征方程式为

  14. 所以 李氏稳定。 劳斯表： 三根在左半平面； 有正根 ； 有一根为7/4 , 另两根为 j,+j

  15. a=0时，劳斯表为： 此时可用(s+3)乘特征方程，得到 然后再用劳斯判据进行判别。

  16. (A-2) §7-2线性时不变系统的稳定性分析 系统方程为 或用复数域表示

  17. 可见x (t),y (t)由四部分组成。稳定性问题是A的特征值问题，但以四项形式出现，与B、C阵密切相关，这说明对系统采用状态空间描述时,带来了新的稳定性概念，这些稳定性概念又和系统可控性、可观测性密切相关。

  18. 等价变换对稳定性的影响：如果对动态方程(A-1)等价变换对稳定性的影响：如果对动态方程(A-1) 进行等价变换,不会改变运动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有界性，即等价变换不改变稳定性。 一、有界输入、有界状态（BIBS）稳定 本节研究：

  19. 定义 • 若x(0)=0, 及在任意有界输入 u(t) 作用下，均有x(t)有界, 则称系统(A-1) BIBS稳定。 • 若对任意的x(0), 及在任意有界输入u(t)作用下, 均有x(t)有界, 则称系统(A-1) BIBS全稳定。 • 定理7-6 • 系统(A-1)BIBS 稳定系统(A-1)全体可控模式收敛； • 系统(A-1)BIBS全稳定系统(A-1)全体可控模式收敛、全体不可控模式不发散。

  20. 定理7-6 可以用可控性分解来说明。不妨假定，(A-1)式中的矩阵A、B具有可控性分解形式。这时有 当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而

  21. 这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值均具负实部（因可控，输入可激励所有模式，p.49)。当考虑全稳定时, A 的所有模式均要计及，故需加上 有界的条件，而这个条件就是A4李氏稳定的条件。 从复数域上的判别：从表达式(A-3)可知，BIBS稳定的条件就是: (sIA)1B的极点均具负实部。这是因为不可控模态均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。 李氏稳定条件加上了BIBS稳定条件就是BIBS全稳定的条件。

  22. 二、有界输入、有界输出（BIBO）稳定 本节研究(A-2)式中的第三、四项： • 定义 • 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)有界,则称系统(A-1) BIBO稳定(第4项）。 • 若对任意的x(0), 及在任意有界输入u(t)作用下, 均有y(t)有界, 则称系统(A-1)BIBO全稳定(第3、4项）。

  23. 定理7-7: • 系统(A-1)BIBO 稳定系统(A-1)全体可控可观模式收敛; • 系统(A-1) BIBO全稳定系统(A-1)全体可控可观模式收敛、全体可观不可控模式不发散。 证明：1）从y(s)=C(sIA)1Bu(s)即可看出。因为此时不可控、不可观的模态均被消去，故必须全体可控、可观模态具负实部。 这也可以从标准分解(p.73)看出。事实上，若假定系统已有标准分解形式，则易于验证：

  24. 于是系统 BIBO 稳定就等价于A11的所有特征值均具负实部（相应的模式收敛）。 从复数域上判别： BIBO稳定研究 的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别G(s)的极点是否全在左半平面，可用劳斯或霍尔维兹判据。

  25. 只要证明全体可观不可控模式必须不发散就可以了，而这对应于零输入响应（第3项）。只要证明全体可观不可控模式必须不发散就可以了，而这对应于零输入响应（第3项）。 • 考虑可观测性分解。不妨假定 (A-1)式中的矩阵A、C已具有可观性分解形式。这时有

  26. 如前所述，可控可观的模式必须收敛，显然，要使BIBO 全稳定，全体可观不可控模式必须不发散。 证完。 定理A-2、A-3明显地表明 BIBS 稳定、BIBO 稳定与系统可控性、可观性密切相关。

  27. 例：考虑系统 讨论其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全稳定。 解：系统是不可控但可观测的，可控模态是1。根据定理7-6，系统BIBS稳定，但非全稳定。 又系统可控、可观的模态是1，故系统BIBO稳定。但不可控、可观的模态是1，故系统也非BIBO全稳定。

  28. 三、总体稳定( T 稳定) 定义 若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下, 均有x(t) 、y(t)有界, 则称系统(A-1)总体稳定。 一个用状态方程描述的系统，要能够正常工作，总体稳定是先决条件。总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有 总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。

  29. 四、稳定性之间的关系 容易验证以下命题(讲义中定理7-8~7-12）成立： (6-1) (定理7-8） 若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 稳定BIBS 稳定 (6-2) （定理7-9）若（Ａ，B）可控，则有 BIBS 稳定Rei(A)<0 (6-3) （定理7-10）若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，则有 BIBO 稳定Re i(A)<0

  30. (6-4)（定理7-11） BIBS 全稳定BIBS 稳定 , A李氏稳定 (6-5)（定理7-12） 若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 全稳定BIBO 稳定, A李氏稳定 命题(6-1)-(6-5)分别证明如下： 命题(6-1)：若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 稳定BIBS 稳定

  31. 证明： “ ” 显然。下面证 “”： 事实上，假定系统已具有可控性分解： 则(A,C)可观意味子系统(A1, B1, C1)是可控可观测的。根据定理3-8（p.101）： (A1, B1, C1)可控、可观测的充分必要条件对应的传函阵G(s)的极点多项式与A1的特征多项式相等。此时，BIBO 稳定与 G(s) 的极点多项式的根均具负实部等价，从而，与A1的所有模态(可控模态!) 均具负实部等价，这恰恰是 BIBS 稳定的充要条件（定理7-6）。 证完。

  32. 命题(6-2)： 若（Ａ, B）可控，则有 BIBS 稳定Rei(A)<0 证明：只需要证 BIBS 稳定Re i(A)<0即可。 事实上，根据定理A-2，系统 BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。因为（Ａ, B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可控模态，此时系统 BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部，从而，所有的模式均收敛。 证完。

  33. 命题(6-3)： 若（Ａ, B, Ｃ）可观、可控，则有 BIBO 稳定Rei(A)<0 证明： 命题(6-4)： BIBS 全稳定BIBS 稳定 , A李氏稳定 证明：这就是定理7-6之(2)。因A的模态及对应的模式只有可控和不可控两种，均包含在(2)中了。

  34. 命题(6-5)：若（Ａ, Ｃ）可观，则有 BIBO 全稳定 BIBO 稳定、 A李氏稳定 证明：充分性显然。必要性：因(A, C)可观测，则所有的模式均可出现在 中(习题2-14）。由于x0的任意性，这要求A李氏稳定。证完。 推论：若（A, C）可观，则 BIBO 全稳定与 BIBS全稳定等价。 证明：由命题(6-5)，此时BIBO全稳定等价于BIBO稳定、A李氏稳定；而命题（6-1）表明系统还是BIBS稳定的。故由命题(6-4)知结论真。 证完。

  35. (6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有 BIBO稳定 BIBS稳定 若（Ａ、Ｃ）可观，则有 BIBO全稳定 BIBS全稳定 (6-4) BIBS稳定 + A 稳定 BIBS全稳定 可观 可观 (6-1,5，推论) (6-5) (6-1) 可观 BIBO稳定+ A 稳定 BIBO全稳定 (6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有 BIBO全稳定 BIBO稳定,A李氏稳定 BIBS全稳定BIBO全稳定

  36. 定理7-13若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价定理7-13若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价 1. BIBO稳定; 2. BIBS稳定; 3.A 渐近稳定; 4.A 的所有特征值具负实部; 5.传递函阵极点具负实部; 6.总体稳定 注： 定理中的5 用到了第三章中的定理3-8：(A,B,C)可控、可观测的充分必要条件是G(s)的极点多项式与A的特征多项式相等。

  37. 若系统的动态方程描述可控且可观测，则称系统可由传递函数阵完全表征。因此，定理7-13说明，此时，系统的总体稳定性仅由传递函数就可以确定而不需考虑系统的动态方程描述。若系统的动态方程描述可控且可观测，则称系统可由传递函数阵完全表征。因此，定理7-13说明，此时，系统的总体稳定性仅由传递函数就可以确定而不需考虑系统的动态方程描述。 从工程应用的角度，由于系统参数的不确定性，总要求系统矩阵A是渐近稳定的。一般将李氏稳定称为临界稳定。

  38. (6-3) 若（Ａ、B、Ｃ）可观、可控，则有 BIBO稳定 Rei(A)<0 可观可控 A特征值 负实部 传函阵极点 负实部 可控 可观 BIBS稳定 A渐近稳定 BIBO稳定 总体稳定 定理 7-13 6-2 6-1

  39. 可观可控 A特征值 负实部 传函阵极点 负实部 可控 可观 BIBS稳定 A渐近稳定 BIBO稳定 A 稳定 总体稳定

  40. 时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性近行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，直接计算：时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性近行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，直接计算： BIBS稳定： (sIA)1B (所有极点在左半面） BIBS全稳定： (sIA)1 (不发散) + BIBS稳定 BIBO稳定：C(sIA)1B (所有极点在左半面） BIBO全稳定：C(sIA)1 (不发散) + BIBO稳定 由计算的结果判别。

  41. 例：考虑系统 讨论其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全稳定。 解：可以从复数域（传递函数）的角度来讨论： BIBS:

  42. BIBO: BIBS全稳定：否 BIBO全稳定：否

  43. _ y1 v1 u1 x1 K1 _ v2 u2 x2 y2 K2 _ 例题 多变量系统结构图如下图所示，其中K1，和K2都是非零常数,v1，v2 是输入量，y1，y2 是输出量。试给出系统总体稳定时参数K1，K2 应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。

  44. _ y1 v1 u1 x1 K1 _ v2 u2 x2 y2 K2 _ 解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下

  45. 消去中间变量u1、u2，经整理后不难得到下列系统的状态方程与输出方程：消去中间变量u1、u2，经整理后不难得到下列系统的状态方程与输出方程： B、C矩阵的秩均为2，系统可控、可观测，故根据定理7-13，总体稳定等价于渐近稳定。于是

  46. 上面的多项式的根均在左半面的充要条件为

  47. 例题系统状态方程和输出方程如下 其中a1、a2和 b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时，a1、 a2和b的取值范围 1. 李亚普诺夫意义下稳定； 2. 有界输入、有界输出(BIBO)稳定。

  48. 解：特征多项式为 1) 特征值一个为0，两个有负实部 ； 2) , 特征值两个为0，一个有负实部。经验算，零特征值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次； 3) 一个零特征值，一对共轭零实部特征值。 1 李氏稳定： 4) a1=0, a2=0，系统不稳定。

  49. 2 BIBO稳定： 此外， 在a1、 a2的任何其它取值的情形下都不会 BIBO 稳定。

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