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4.2 测地曲率、测地挠率和测地线

4.2 测地曲率、测地挠率和测地线. 内容：测地曲率、刘维尔公式、测地线、测地挠率 重点：刘维尔公式的应用. 给定曲面 S 和曲面上的一条曲线 C ． 设 P 是 C 上的任意一点 ，. 4.2 测地曲率、测地挠率和测地线 - 曲面曲线的新标架. a 是 C 在 P 点的单位切向量 ，. n 是曲面 S 在 P 点的单位法向量，. 命 e = n × a ．. 则 a 、 e 、 n 是曲线 C 上彼此正交的单位向量，并且构成一右手系．. a. P. C. e. S. n. 我们要考虑的新标架就是 [ P ; a , e , n ] ．.

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4.2 测地曲率、测地挠率和测地线

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Presentation Transcript

  1. 4.2测地曲率、测地挠率和测地线 • 内容：测地曲率、刘维尔公式、测地线、测地挠率 • 重点：刘维尔公式的应用

  2. 给定曲面 S 和曲面上的一条曲线 C．设P是C上的任意一点， 4.2测地曲率、测地挠率和测地线-曲面曲线的新标架 a是C在P点的单位切向量， n是曲面 S在P点的单位法向量， 命e=n×a． 则 a、e、n是曲线 C上彼此正交的单位向量，并且构成一右手系． a P C e S n 我们要考虑的新标架就是 [P ; a,e,n]．

  3. 曲面曲线 C在P点的曲率向量 r∙∙在e上的投影称为曲线C在P点的测地曲率，记为kg． kg=r∙∙⋅e=kb⋅e． kg=(r ∙,r∙∙,n). k2=kg2+kn2，其中C的曲率为k，测地曲率为kg，切方向的法曲率为kn． 4.2测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率

  4. 4.2测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率的刘维尔公式4.2测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率的刘维尔公式 u-曲线与v-曲线的测地曲率分别为 定理. 当取正交坐标网时，曲面曲线 C的测地曲率为 其中q是曲线 C与u-曲线的夹角．

  5. 练习题 1．求位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆周的测地曲率． 2．求位于正螺面 x=ucosv,y=usinv,z=av上的圆柱螺线 x=u0cosv,y=u0sinv,z=av的测地曲率．

  6. 曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称之为测地线．曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称之为测地线． 由测地曲率的定义知曲面上如果存在直线（如直纹面），则此直线一定是测地线（因为直线的曲率向量是零向量）． 曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线的曲率向量平行于曲面的法向量． 球面上的大圆(过球面中心的平面与球面的交线)一定是测地线，这是因为大圆的主法线重合于球面的法线． 4.2测地曲率、测地挠率和测地线-测地线

  7. 4.2测地曲率、测地挠率和测地线-测地线方程 测地线的方程为 由常微分方程理论得： 定理. 对任意一点 P∈S 和任意一个单位切向量v∈TPS，存在正数 e和唯一一条测地线 gv(s)，s∈(–e, e)，满足gv(0) = P, gv' (0) = v，并且gv(s)光滑地依赖于 s、P、v，而且s是gv的弧长参数．

  8. 练习题 1．求平面上的测地线． 2．求圆柱面 r=(Rcosq,Rsinq,z) 上的测地线．

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