第四章　随机变量的数字特征

第四章　随机变量的数字特征 • 4.1 数学期望 • 4.2 随机变量的方差 • 4.3 协方差与相关系数 • 4.4 矩协方差矩阵

　　本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望，方　　本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等。第四章　随机变量的数字特征内容提要一．数学期望的定义及性质；二．方差的定义及性质；三．协方差与相关系数和矩。基本要求 1．理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质及求法；

2．理解方差的定义，掌握方差的性质及求法；2．理解方差的定义，掌握方差的性质及求法； 3．理解切比雪夫不等式，熟记常见随机变量的期望及方差； 4．了解协方差及相关系数的概念； 5．了解矩的概念，掌握矩，协方差，相关系数的性质与计算。本章重难点： 1．重点：理解数学期望及方差的定义，掌握数学期望，方差的性质和求法； 2．难点：数学期望的求法，协方差及相关系数的概念。

4.1 数学期望 一．随机变量的数学期望引例:观察一名射手20次射击的成绩如下：可求得此射手的平均中靶环数为：

则　的值稳定于 称为随机变量x的是数学期望。　　当射击次数增加时，频率稳定于概率，于是若设表示 x中靶环数此为该射手综合水平的真实评价。

定义1　设X是离散型随机变量，其分布为　　　　　　定义1　设X是离散型随机变量，其分布为　　　　　　　　　若　　绝对收敛，则称级数　　的和为随机变量X的　　　数学期望，记为　　。即：定义2设连续型随机变量X的概率密度为　．若积分　　　绝对收敛，则称积分　　　　的值为随机变量X的数学　　　期望，记为 1．离散型随机变量的数学期望 2．连续型随机变量的数学期望

即：数学期望简称期望，又称为均值。注：随机变量X的是数学期望并不一定都存在。例1.甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X1，X2，它们的分布律分别为：

解：根据定义，X1, X2的数学期望 即：甲平均得分为1.6，乙平均得分为0.5。故甲的成绩比乙好。例2.设随机变量X服从0－1分布，求E(X) 解：由于X的分布律为：

例3. 　　　，求　　。 解：，则X的分布律为：所以X的数学期望为：所以X的数学期望为：

例5. 设随机变量X服从参数为 的正态分布，求E(X) 于是例4.设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X) 解：由题意知，X的概率密度为：即：均匀分布的数学期望位于区间中点。

解：由题意知：　　　　　　则X的概率密度为：解：由题意知：　　　　　　则X的概率密度为：于是

故正态分布中的参数　表示相应随机变量的数学期望。故正态分布中的参数　表示相应随机变量的数学期望。例6. 设X服从参数为的指数分布，求E(X) 解：由题意知， X的概率密度为：

解：(1)由　　　　　　得　　　　　　　即： 例７.已知随机变量X的概率密度为　　求(1) A，(2) E(X)．于是

　　设X是随机变量，　　　也是随机变量，若已知X的分　　设X是随机变量，　　　也是随机变量，若已知X的分布情况，如何计算　　　 ? 定理1设函数为连续函数，Y是随机变量X的函数 (1)若X是离散型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则有 (2) 二．随机变量的函数的数学期望

(2)若X是连续型随机变量，其概率密度为， 若广义积分绝对收敛，则有解：(1)方法1：由公式(1)得例8.设随机变量X的概率密度为：求(1) (2) 的数学期望方法2：先求出Y的概率密度为：

(2) 由公式(2)得： 例9. 设，求解: 为连续型随机变量,其概率密度为: 则由公式(2)得：

例10. 设球的直径 ,求球的体积V的数学期望E(V) 。解: 球的体积为: ,且 (由标准正态分布密度的性质) 由公式(2)得：

对于二维随机变量　　,定义它的数学期望为 1. 二维离散型随机变量　　联合分布律为: 2. 二维连续型随机变量的联合概率密度为三．二维随机变量的数学期望则

定理2.设二维随机变量 , 其中 为二元连续函数。 • 设是离散型二维随机变量, 其联合分布律为 • 则若级数绝对收敛, • 有则 3. 二维随机变量函数的数学期望关于二维随机变量函数的数学期望,类似得有定理1的结论。

(2)设是连续型二维随机变量, 其联合概率密度为则当积分绝对收敛时,有例11. 设(X,Y)的联合分布律为：试求E(X), E(Y), E(XY)。解:由X,Y的联合分布律得X,Y的边缘分布律为

例12. 设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为：试求随机变量函数的数学期望。

　　由于随机变量X,Y相互独立,则二维随机变量(X,Y)的　　由于随机变量X,Y相互独立,则二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为: 即：解:用两种方法求解：方法1.先求出随机变量Z的概率密度,然后由期望公式求E(Z)

于是由公式可得：方法2: 由于二维随机变量(X,Y)的概率密度为：

例13. 设(X,Y)的联合概率密度为: 求于是由公式可求得：注: 若用下面介绍的数学期望的性质计算E(X+Y)将更简便。解:

推广: 四．数学期望的性质我们来看随机变量的数学期望的几个重要性质。(假设以下随机变量的数学期望均存在) 1. E ( c)=c 其中c为常数。 2. E(c X)= c E(X) 3. E(X±Y)=E(X) ± E(Y)

推广:若相互独立,则 注意:若 , 不一定相互独立。例14. 证明 4. 当X,Y相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) 证明:

例15. 设 , 求 其中 , 则为0－1分布, , 解: 引入计数随机变量所以

例16. 设随机X变量的分布律为： ,求显然 , , . 解: 原始模型: N个球中有M个红球, 余下为白球,从中任取N个球, N个球中的红球数为X 分析: (1) 直接求解很困难,应利用数学期望的性质求解。 (2)设想这n个球是逐个不放回抽取,共取n次, 设第i次取到红球的个数为Xi有

则 (3) 由抽取的公平性得: 问题: 随机变量X是否服从二项分布,为什么? 解: 设想这n个球是逐个不放回抽取,共取了n次, 令Xi表示第i次取到红球的个数。从而

已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量 • 的数学期望E(X)=( )。 • (A) 3/2(B) 5(C) 3/4(D) 4/3 2. 设 , 则E(X)=( )。 (A) 0(B) 51(C) 0.5(D) 不存在 3. 设随机变量X的分布函数为则E(X)=( )。 (A) (B) (C) (D) 测试题A

4. 设随机变量X的分布律为 则 E(X)= , = 。 6. 设 , 则 E(3X+5)= 。 5. 将一颗均匀骰子连续投掷1000次, 用X表示这1000 次中点数5出现的次数, 则 E(X)= 。

8. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为: 其中k为待定常数.试判断X,Y是否相互独立,并计算E(X), E(XY), E(X+Y)。 7. 设随机变量X的分布函数为: , 其中A为待定常数.试计算E(X)。

7. A=1, 参考答案: 1. A 2. D 3. C 4. -0.1, 4.1; • 5. 1000/6 ; • 14 ; 8. X,Y相互独立, E(X)=2/3,E(XY) =4/9, E(X+Y)=4/3

1. 设随机变量X与Y相互独立, 且 , 则。 3. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,令 , 求。 4. 已知随机变量X的概率密度: , 且求(1) (2) 。自测题B 2. 测量正方形的边长, 设其值均匀分布在[a , b]内, 则正方形面积的数学期望为。

2. 1. 4. 3. 参考答案:

4.2 随机变量的方差 一．随机变量的方差引例：哪种品牌手表更准时? 已知甲,乙两种品牌手表的日走时误差 X1, X2 , 其分布律如下：

即: (1) 称为X的标准差或均方差。定义:设X是一个随机变量,若存在,则称为X的方差,记为或。 E(X1)=E(X2)=0 此时从日走时误差的数学期望分不出优劣。　　观察发现:甲品牌手表日走时误差与其均值E(X1)的偏差比乙的要小得多,因此甲品牌手表好。

注: (1) 是随机变量X的函数 的数学期望; (2) 。例1. 证明。其中是X概率密度。其中是X的分布律。当X为离散型或连续型随机变量的函数, 分别有：

例2. 设 , 求。 证明：随机变量X的方差可按此公式计算。

由上节知: 又: 例3. 设 ,求解: X的分布律为: 所以解: X的分布律为:

例4. 设 , 求 例5. 设 , 求所以解: X的概率密度为:

解: X的概率密度为:

例6. 设X服从参数为的指数分布 , 求　　故正态分布中的参数分别表示相应随机变量X的数学期望和方差。解: X的概率密度为:

例7. 设随机变量X服从参数为的泊松分布, 且已知 , 求

解: 由题知: 于是有又例8. 设连续型随机变量的概率密度为: 试求 ,

解:因为 , , 。所以

3. 特别若X, Y相互独立, 则推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况：二. 方差的性质　　随机变量的方差具有以下性质 (假设以下随机变量的方差存在) 1. D (c)=0 其中c为常数 2. D (c X)=c2D(X) 其中c为常数

4. 证: 于是由于即至少存在一项于是与矛盾。所以假设错误, 即: 设假设结论不成立, 即

例9. 设X为随机变量, c为常数, 试证: 要证证: 对于随机变量X 方差刻划了随机变量X取值与其数学期望的偏差程度。

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