Principal Facts and Ideas

3. The Electronic States of Atoms. I. Hydrogen Atom and the Simple Obital Approximation for Multielectron Atoms Principal Facts and Ideas Objectives • Understand principal properties of central-force problem • Solve problems : angular momentum of a single particle • 3. Understand the solution of the SchrÖdinger eq. for H-atom, • H-like atoms

จะพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยค่าพลังงานศักย์ขึ้นกับระยะทาง ระหว่างสองอนุภาค เรียกระบบนี้ว่า “central force system” ตัวอย่างเช่น อะตอมไฮโดรเจน .... 3.1 The Hydrogen Atom System hydrogen atom (H) ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (single proton) (proton, Z=n) He+ (1 e, Z = 2) Li2+ (?)

Hydrogen-like atom ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (proton, Z=n) ze Electron r zp Nucleus (proton) yp ye xp xe ภาพที่ 3.1 System consisting of a nucleus and an electron coordinate ของ nucleus : xp , yp , zp coordinate ของ electron : xe , ye , ze

Potential energy ของ Hydrogen-like atom : _ _ _ (3.1) = permittivity of the vacuum (8.854518 x 10-12 N-1m-2) = distance between the particles _ _ _ (3.2) x = xe - xp y = ye - yp z = ze - zp _ _ _ (3.3a) _ _ _ (3.3b) _ _ _ (3.3c) x , y , z เรียกว่า relative coordinates :

coordinates of the center of mass : _ _ _ (3.4a) _ _ _ (3.4b) _ _ _ (3.4c) โดยที่ M = me + mp • potential en. ขึ้นกับค่า r เท่านั้น ( r ระหว่าง 2 อนุภาค ) • “central force” • apply กับระยะทางของ hydrogen atom

The Central - Force Hamiltonian _ _ _ (3.6) _ _ _ (3.7) = ความเร็วของ proton , electron = ความเร็วของ center of mass และ relative velocity • พิจารณาการสร้าง Hamiltonian operator สำหรับ two-particle • system • Kinetic en. (K) แสดงโดย velocity ของอนุภาค (velocity of • center of mass)

(reduced mass) : _ _ _ (3.8) ในการสร้าง Hamiltonian operator จะแสดง K.E. ในเทอมของmomenta • momenta conjugate to center of mass

momenta conjugate to relative coordinate _ _ _ (3.9) _ _ (3.10) _ _ _ (3.11) The classical Harmiltonian operator คือ จาก postulate III และจาก

สมการ (3.10) แสดงได้ดังนี้ _ _(3.12) _ _ _(3.13) เทอมแรก เทอมที่สอง+สาม = center-of-mass Laplacian = relative Laplacian เทอมแรก “center-of-mass Hamiltonian” เทอมที่สอง+สาม “relative Hamiltonian”

_ _ _(3.14) separate the variables _ _ _(3.15) _ _ _(3.16) _ _ _(3.17) center-of-mass terms จะแยกจาก relative terms เขียน time-independent SchrÖdinger equation :

E = Ec + Er _ _ _(3.18) eigen energy E : Note : center of mass do not occur in relative Hamiltonian and V depends only on r (separation of variable)

การแก้ปัญหาใน SchrÖdinger eq. จะมีการ transform cartesian coordinates spherical polar coordinates Z r Y X Solution of the Relative SchrÖdinger Eq. ภาพที่ 3.2 Spherical polar coordinates

_ _ _(3.19) (Appendix B. Mortimer) relative SchrÖdinger eq. _ _ _(3.20) แสดง Laplacian eq. ได้โดย

และ _ _ _ (3.21) _ _ _ (3.22) Note :angular momentum ( ) is contained in the Hamiltonian op. จาก angular momentum ( L ) (3.20)แสดงได้เป็น

solve by separation of variables _ _ _ (3.23) แทนค่า ใน (3.22) และคูณด้วย จะได้ r แยกจาก variables อื่น _ _ _ (3.24) “eigen-value equation” ( ค่าคงที่ = K )

_ _ _ (3.24a) separate _ _ _ (3.24b) The Angular Factors in the Wave Function จาก (3.24) และ (3.21)

แทนค่า Y ใน (3.24a) แล้วคูณด้วย _ _ _ (3.24c) ( = constant or -m2 ) _ _ _ (3.24d) โดย เป็นค่าคงที่ range ระหว่าง 0 ถึง 2¶ จะ continuouse เมื่อ m ต้องเป็นค่า integer solution คล้ายคลึงกับ one-particle in the box

_ _ _ (3.25) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation” solve ได้เป็น angular momentum “quantization”

Ex : Interpreting a wave function. The wave function of an electron in the lowest energy state of a hydrogen atom is , with a0=52.9 pm and r the distance from the nucleus . Calculate the relative probabilities of finding the electron inside a small volume of magnitude 1.0 pm3 located at (a) the nucleus , (b) a distance a0 from the nucleus. (a) At the nucleus , r=0 , and so

(b) At a distance r=a0 in an arbitary direction,  the ratio of probabilities is 1.0 / 0.14 = 7.1 electron will be found at the nucleus than at the distance a0 from the nucleus

Principal Facts and Ideas