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相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线. 唐继春. 相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：. 一、作平行线. 例题：. 如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的点， BD ： DC=2 ： 1 ，. E 是 AD 的中点 ,. 连结 BE 并延长交 AC 于 F,. A. 求： BE ： EF 的值. F. E. B. D. C. 解法 1 ：. 过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P ，. A. n.

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相似三角形中的辅助线

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  1. 相似三角形中的辅助线 唐继春

  2. 相似三角形中的辅助线 • 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

  3. 一、作平行线 例题： 如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1， E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, A 求：BE：EF的值. F E B D C

  4. 解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P， A n F E P y ?y y n 2k k B D C

  5. 解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P， 则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF， A 所以BE=5EF n F E ∴BE：EF=5：1. P y y n ?y 4y 2k k B D C

  6. 解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q， A n F E y Q n ?y 2y 2k k B D C

  7. 解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q， ∴ A n F ∴BE：EF=5：1. E y Q ?y 5y n 2y 2k k B D C

  8. 解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S， A n F E S ?k n 2k k B D C

  9. 解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S， A n F y E S 5y ?y n 2k k B D C

  10. ?k ?k 解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T， A n F E n T B C 2k D

  11. 解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T， A ∵BD=2DC， n F ∴ E y ?y 5y n ∴BE：EF=5：1. T B C 2k D

  12. 练习： 如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1， E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, A 求AF：CF的值. F E B D C

  13. 解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P， A 2x n F P 3x E n 2x 2k k B D C AF：CF=2：3.

  14. 解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q， A 2x n F 2x E Q n 2k k x B D C AF：CF=2：3.

  15. 解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S， A 4y n F y S h E 5y n 4h 2h B D C AF：CF=2：3.

  16. 解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T， A 4y n F 6y E 5y n 4h h h T B C D AF：CF=2：3.

  17. 作平行线 • 例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 证明：过点C作CG//FD交AB于G 小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

  18. 例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

  19. 方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

  20. 方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N

  21. 1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 • 求证：EF×BC=AC×DF

  22. 1、证明： 过D作DG∥BC交AB于G， 则△DFG和△EFB相似，∴ ∵BE＝AD,∴ ① 　由①②得， ①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似， ∴ ② ∴ ∴EF×BC＝AC×DF

  23. F A E C B D 构造平行线 1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC 于E,交BA的延长线于F,求证： 利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形

  24. A D B C 本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段。 已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD

  25. A E B C D 已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F， 求证：AB:AC=DF:AF 利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似 F

  26. A E B C D F 练习 1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点. 求证：AE：EC=AF：BF 注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的 线段） 关键是要把成比例线段放在两个三角形中

  27. D C F G A B E 2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求 的值 .

  28. A F E P B C D 构造线段相等转化比例式 1、在∆ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF 在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化， 也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的 线段，通过相似证明。 另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明

  29. E N A D j O B C M 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M 求证： BM=CM 证线段相等的又一方法

  30. A F E B D C 练习 1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB·EC

  31. A E D F C B 2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE), 求证：∆AEF∽ ∆ECF

  32. A E C B D 2、已知，在∆ABC中，若AB=BC,∠B=90º,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC ;∠AEB= ∠CED.

  33. 二、作垂线 • 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：

  34. 证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽ ∴ ∴ （1） ∽ 又 ∴ ∴ （2） （1）+（2） ∴ AN=CM 又 ∴

  35. 2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：

  36. 2、证明： 过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F， 则CEPF为矩形∴ PF 又 ∵ EC ∵ ∴ ∴ ∽ ∽ ∴ ∴ ∴ （2） 即 ∵ EC=PF ∴ 由（1）（2）得 （1） 在 和 中：CP⊥MN于Q ∴

  37. 三、作延长线 • 例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。

  38. 解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC

  39. 例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF

  40. 解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG • 与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。 • 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF·BF

  41. 四、作中线 • 例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

  42. 解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ ∴ （2） ∴ 由（1）（2）得， ∽ ∴ ∴ ∴ 又 DC=1 MC= BC ∴ 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造 （1） 又 与 相似是解题关键

  43. 3、 理由？（用三种解法）

  44. 方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。

  45. 方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC 在△BED与△BCD中，

  46. 方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。

  47. 回头一看，我想说… 我有哪些收获呢？ 与大家共分享！

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