La résolution de problèmes

1. La résolution de problèmes en cycle 3

2. Introduction : Pour la fête de l’école, on veut recouvrir chaque table avec une bande de 4m de papier. Combien pourra-t-on recouvrir de tables avec un rouleau d’une longueur de 50m ? Réponses obtenues : 38.5 % répondent 12 tables. 8.4% répondent 12.5 tables. 3% ont une démarche correcte mais font une erreur de calcul. Soit 50% seulement de réussite. Où peuvent être les difficultés de ce problème ? Maîtrise insuffisante de la langue ? Mauvaise connaissance des nombresdu problème ? Mauvaise maîtrise des techniques de calcul ?

3. Par conséquent, pour la majorité des élèves ayant échoué, la difficulté réside non pas dans l’absence ou l’insuffisance de connaissances mais dans l’utilisation des connaissances mathématiques. Une analyse plus fine des exercices montrent qu’une majorité des élèves se sont limités à poser une opération et à répondre par le résultat obtenu. • Pour la plupart de ces élèves : • - Si le maître pose ce problème, ils doivent le résoudre, y répondre. • Si le maître donne ces nombres, il faut faire une opération avec. • Si le maître donne toutes ces données, c’est qu’il faut les utiliser toutes. L’idée n’est pas installée que l’on peut faire autre chose que « trouver la bonne opération ». Certains répondent au problème (ceux qui réussis- -sent), d’autres répondent au maître…. Tradition scolaire -> problème : problème de réinvestissement de connais- -sance, avec une solution experte, une façon et une seul de répondre.

4. Différents thèmes de cette intervention -> Les différents types de problèmes. -> Une proposition de démarche. -> Les difficultés des élèves et des propositions d’aides. -> L’évaluation en problèmes.

5. THEME 1 : LES DIFFERENTS TYPES DE PROBLEMES.

6. Plusieurs types de problèmes pour chercher….. Des problèmes avec des nombres mais sans calculs….. Des problèmes sans nombres : problèmes géométriques. Des problèmes de situations inhabituelles.

7. THEME 2 : UNE DEMARCHE DE RESOLUTION DE PROBLEMES Objectif : impliquer l'élève dans une activité de recherche mathématique et construire de nouvelles connaissances et compétences. Cette démarche en plusieurs étapes peut faire l'objet d'une ou plusieurs séances. Remarques : * Laisser l'élève se confronter individuellement au problème. * Travailler en groupe au moment de la recherche * Prévoir un temps de mise en commun pour expliciter les stratégies de résolution.

8. Etape 1 de la démarche : Situation de départ  Elle peut être présenter sous forme d'un jeu de cartes, de pions... d'un énoncé oral ou écrit d'une situation de la vie de la classe de la vie quotidienne d'un défi mathématique Objectif : identifier le problème à résoudre, se représenter ce qu'on cherche. Etape 2 : Prise en compte de ce que savent les élèves. Temps 1 : Recherche individuelle : appropriation individuelle, encouragement de l'enseignant. Temps 2 : Recherche en groupe : favoriser les échanges, mise en forme d'une trace écrite. Procédures utilisées: différentes selon nature du problème et objectifs d'apprentissage visés. → procédure personnelle : → procédure experte.

9. Etape 3 de la démarche : Mise en commun Prise en compte et comparaison des procédures. Etape 4 de la démarche : Synthèse Affiche de référence Etape 5 de la démarche : Entraînement Problème d'application → même catégorie que celui de la situation problème. S'entraîner pour maîtriser le sens d'une nouvelle connaissance dans des problèmes similaires. Appliquer, réinvestir une connaissance dans différents contextes.

10. Etape 6 de la démarche : Transfert Problème complexe → connaissance et compétences élaborés dans des contextes différents. Reconnaître à quelle catégorie correspond le problème Repérer les différentes étapes. Mobiliser et intégrer des compétences et connaissances.

11. LES CATEGORIES DE PROBLEMES, selon Vergnaud Problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformation 1/ transformation positive : recherche de l'état final 2/ transformation négative : recherche de l'état final 3/ transformation positive : recherche de l'état initial 4/ transformation négative : recherche de l'état initial 5/ recherche de la transformation positive 6/ recherche de la transformation négative Problèmes de combinaison 7/ recherche de la composée de deux états 8/ recherche d'un état en connaissant un second état et la composée de deux états. Problèmes de comparaison 9/ recherche de l'état à comparer connaissant la comparaison positive 10/ recherche de l'état à comparer connaissant la comparaison négative. 11/ recherche de l'état comparé (comparaison positive) 12/ recherche de l'état comparé (comparaison négative) 13/ recherche de la comparaison positive connaissant les deux états 14/ recherche de la comparaison négative connaissant les deux états.

12. Problèmes multiplicatifs Problèmes relevant de l'addition réitérée : on connaît la valeur de 1 et on cherche pour plusieurs. « Il y a quatre élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue-t-elle de jetons en tout ? » Problèmes relevant du produit de mesure : La représentation rectangulaire rend visible la propriété de commutativité de la multiplication. « Quel est le nombre de carreaux que contient une tablette de 3 sur 4 ? »

13. Problèmes de division Problèmes de division quotition on cherche le nombre de parts. « La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il d’élèves ? » Problèmes de division partition. On cherche la valeur d’une part. « La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jeton a chaque élève ? »

14. THEME 3 : Obstacles et aides à proposer aux élèves. La lecture des énoncés.

15. Le vocabulaire

16. La forme et la place de la question.

17. Les données du problème

18. Les étapes du problème.

19. THEME 4 : Documents pour construire des évaluation en problèmes Grille de référence pour la validation des compétences du socle commun Au pallier 2 : site Eduscol, janvier 2011