Universidad Autónoma de Nuevo León

1. Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Posgrado en Ingeniería de Sistemas Verano Científico 2012 Introducción a la Investigación de Operaciones Lic. Victoria Rebillas Loredo Ing. Fernando Elizalde Ramírez San Nicolás de los Garza, Julio del 2012

2. 1. Introducción La IO nace en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial cuando se conformó un grupo multidisciplinario de científicos denominado Grupo de investigación de operaciones militares, con el objetivo de encontrar soluciones a los problemas militares de los aliados tanto en el plano táctico como en el estratégico. Algunos de estos problemas consistían en precisar la profundidad ideal del armamento, determinar el tamaño mas conveniente de los convoyes militares y elaborar planes de ataque para causar daños mayores al enemigo.

3. Una vez terminada la Segunda Guerra Mundial, se pudieron especificar técnicas de solución bien definidas y vinculadas a problemas generales de control de inventarios, asignación de recursos, líneas de espera, etc. La idea consistía básicamente en perfeccionar dichas técnicas y trabajar con ellas para obtener soluciones tanto analíticas como deductivas que pudieran aplicarse cada vez que se enfrentaran a este tipo de problemas.

4. Definición: Según la Sociedad de investigación operacional de USA: Investigación de Operaciones. “Es la toma de decisiones científicas para el diseño y la operación de sistemas hombre – máquina, usualmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos”

5. ¿Qué es un modelo? Un modelo es una representación abstracta y particular de la realidad. La representación particular de la realidad radica en el hecho de que cada persona puede percibir el mismo problema de manera distinta, lo cual depende de los intereses particulares de cada una. Sin embargo, la IO utiliza modelos cuantitativos con la ventaja de que diferentes personas llegan al mismo modelo para un problema dado. Además un problema bien modelado tendrá siempre la misma solución óptima, sin importar el método seguido para su obtención.

6. En IO la estructura básica de un modelo está determinada por: • Variables de decisión: son las incógnitas que se deben determinar a partir de la solución del modelo. • Función objetivo: medida de desempeño adecuada (por ejemplo ganancia) expresada como una función matemática de las variables de decisión. • Restricciones: limitaciones en las variables de decisión, expresada en forma de ecuaciones o desigualdades. • Parámetros: constantes en las restricciones y en la función objetivo.

7. Tipos de Modelos • Modelos de inventario. • Modelos de línea de espera. • Modelos de reemplazo. • Modelos de mantenimiento. • Modelos de asignación de recursos. • Modelos de competencia.

8. 2. Programación lineal La programación lineal es una de las técnicas cuantitativas utilizadas por la IO, la cual se emplea normalmente para resolver problemas de asignación de recursos. Es necesario que el objetivo y la estructura del sistema en cuestión puedan presentarse por funciones lineales.

9. 2.1 Método Gráfico El procedimiento de solución gráfica comprende de dos pasos: Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.

10. Ejemplo: RaddyMikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. la tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema. Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor a una tonelada mas que la pintura para exteriores, también que la demanda máxima de pintura para interiores de 2 toneladas. ReddyMikks desea determinar la mezcla óptima de productos para interiores y exteriores que maximice la utilidad diaria total.

11. Modelo Matemático Variables. Formulación Función objetivo Restricciones 1) 2) 3) 4) 5)

12. Solución 1) 3) 2) 4) Región factible

13. P2 P1 P3 (0,1) (0,0) (0,4) Región factible

14. P2 P1 P3 P6(0,1) P5(0,0) P4(0,4) Región factible La utilidad diaria correspondiente es de $ 21, 000. Eso equivale a una mezcla de productos de 3 tonelada de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores.

15. 2.2 Método Simplex Restricciones

16. Identificar la columna con el valor mas negativo del renglón z y marcarla. Dividir los valores de la columna solución entre los valores de la columna con el valor de z mas negativo . Identificar en que renglón se presento el valor mas pequeño de la división anterior y marcarlo. El numero que se encuentra intersección dada por los pasos anteriores se le llama pivote, y todo el renglón debe ser dividido por ese número. No validos Pivote

17. Eliminación de Gauss – Jordan Tomando como base el renglón pivote (S2), procedemos a hacer ceros, los valores de la columna correspondiente al valor pivote.

18. Resultado Z = $21 000 M1 = 3 toneladas M2 = 1.5 toneladas

19. 2.3 Modelo de Transporte El modelo de transporte es un caso especial de programación lineal que tiene que tiene que ver con transportar un articulo desde fuentes hasta sus destinos. El objetivo es determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los limites de la oferta y la demanda.

20. Definición Hay m fuentes y ndestinos, cada fuente y cada destino son representados por un nodo. Los arcos representan las rutas que enlazan las fuentes y los destinos. El arco ( i, j ) que une a la fuente i con el destino j conduce dos clases de información: el costo de transporte Cijpor unidad y la cantidad transportada xij. La cantidad de oferta en la fuente i es aiy la cantidad de demanda en el destino j es bj. El objetivo del modelo es determinar las incógnitas xijque minimicen el costo total del transporte, y que al mismo tiempo satisfagan las restricciones de oferta y demanda. Fuentes Destinos C11 : x11 b1 a1 1 1 Unidades de oferta 2 2 Unidades de demanda a2 b2 m n am bn Cmn : xmn

21. 2.3.1 Método de la esquina noroeste El método comienza en la celda (ruta) de la esquina noroeste, o superior izquierda, de la tabla (variable x11). Asignar todo lo más que se pueda a la celda seleccionada y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad asignada. Salir del renglón o columna cuando se alcance oferta o demanda cero, y tacharlo. Si un renglón y una columna dan cero al mismo tiempo, tachar solo uno y dejar una oferta cero en el renglón que no se tacho. Si queda exactamente un renglón o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, a la de abajo si se tacho un renglón.

22. Ejemplo: Foster Generators tiene plantas en Cleveland, Bendford y New York donde fabrica piezas para construir generadores eléctricos. Al producir sus piezas, debe enviarlas a los centro de distribución ubicados en Boston, Chicago, St. Louis y Lexington. El enviar piezas de cada planta a cada centro tiene un costo asociado, además que contamos con una demanda oferta y demanda de cada planta y centro de distribución. Determinar la cantidad de piezas a enviar de cada planta al centro de distribución de manera que la demanda quede satisfecha.

23. Ejemplo: Centro de distribución Planta 10 12 5 4 15 2 7 14 15 Oferta Demanda 25 9 20 16 15 10 20 11 18 15

24. Ejemplo: 5 10 5 15 5 10 5 10 5 15 5 10 Solución 5*10 + 10*2 + 5*7 + 15*9 + 5*20 + 10*18 = $520

25. 2.3.2 Método del costo mínimo Este método determina una mejor solución de inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Se inicia asignando todo lo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario. A continuación, el renglón o la columna ya satisfechos se tacha, y las cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen en forma simultanea un renglón y una columna, solo se tacha uno de los dos y al otro se le asigna un valor de 0. Posteriormente se busca la celda no tachada con el costo unitario y se repite el proceso hasta que quede sin tachar exactamente un renglón o una columna.

26. Ejemplo: 15 0 15 10 5 5 15 0 15 10 5 5 Solución = 15*2 + 4*5 + 15* 9 + 11*0 + 18*5 + 10*20 = $475

27. 2.3.3 Método de aproximación de Vogel Determinar para cada renglón (columna) una medida de penalización restando el elemento de costo unitario mínimo en el renglón (columna) del elemento con costo unitario siguiente al mínimo del mismo renglón (columna). Identificar el renglón o columna con mayor penalización. Romper los empates de forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mínimo costo unitario del renglón o columna seleccionado . Ajustar la oferta y la demanda y tachar el renglón o columna ya satisfechos. Si se satisfacen de forma simultanea tachar uno y al otro se le asigna una demanda u oferta de cero. Realizar lo anterior hasta que no quede ni un renglón y/o columna sin tachar.

28. Ejemplo: 15 0 10 – 2 = 8 15 10 5 5 10 – 4 = 6

29. 15 0 15 10 15 5 Solución: 5*4 + 15*2 + 9*15 + 11*0 + 20*10 + 18*5 = $475

30. Modelo Matemático

31. 2.4 Problema de Asignación El problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas. Para que el problema se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario que este tipo de aplicaciones se formule de la siguiente manera: El número de asignados es igual al número de tareas. A cada asignado se asigna solo una tarea. Cada tarea debe realizarla solo un asignado. Existe un costo asociado con el asignado i que realiza la tarea j. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales.

32. 2.4.1 Método Húngaro En la matriz original del costo, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.

33. Ejemplo: Los tres hijos de José, Pedro, Karen y Juan, quieren ganar algo de dinero para sus gastos personales, durante un viaje de la escuela al zoológico. El señor José ha destinado tres tareas para sus hijos: podar el pasto, pintar la cochera y lavar los autos de la familia. Para evitar discusiones, les pide que presenten ofertas secretas que es un pago justo para cada una de las tres tareas. La tabla muestra las ofertas recibidas. Con base a esta información ¿Cómo debe asignar las tareas el señor José?

34. Seleccionar el valor mas pequeño para cada fila. Seleccionar el valor mas pequeño para cada columna. Resultado: Pedro: Pintar = $10 Karen: Podar = $9 Juan: lavar = $8 Total: $27

35. El ejemplo anterior se amplía a cuatro hijos y cuatro tareas. La siguiente tabla resume los elementos de costo en el problema.

36. Identificamos los valores mínimos por fila. Identificamos los valores mínimos por columna. Asignación de tareas.

37. Otro caso En algunos casos los ceros que se producen en los pasos 1 y 2 no producen una solución factible en forma directa. En este caso se necesitan mas pasos para llegar a la asignación óptima. 2ª. Si no se puede asegurar una asignación factible con los pasos 1 y 2, Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero. Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas. Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2ª. En caso contrario, seguir en el paso 3 para determinar la asignación óptima.

38. Solucion Niño 1: Tarea 1 = 1 Niño 2: Tarea 3 = 10 Niño 3: Tarea 2 = 5 Niño 4: Tarea 4 = 5 Total: $21

39. Modelo Matemático

40. 3. Flujo en redes • Las redes surgen en numerosos entornos, y en una variedad de formas. • Ejemplos: • Transporte • Electricidad • Telecomunicación • Representaciones de la red también son ampliamente utilizado para los problemas en áreas tan diversas como la producción, planificación de la distribución del proyecto, ubicación de instalaciones, gestión de recursos y planificación financiera por nombrar sólo unos pocos ejemplos.

41. 3.1 Problema de la ruta mas corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia o costo, entre un nodo de partida (inicio) a un nodo destino (final). • Algoritmos para solucionar este problema. • Algoritmo de Dijkstra. • Algoritmo de búsqueda A*. • Algoritmo de Floyd – Warshall.

42. 3.1.1 Algoritmo de Dijkstra Ejemplo. [1,2] [6,8] [5,13] [4,8] 2 7 5 7 5 2 2 [0,-] 4 1 5 1 4 [2,4] 7 3 [4,7] 6 4 1 [1,4] 3 4

43. Ejemplo. Resultado [1,2] [6,8] [5,13] [4,8] 2 7 5 7 5 2 2 4 1 5 1 4 [0,-] 7 3 [2,4] 6 4 1 3 [4,7] 4 [1,4] Ruta: 1 – 2 – 4 – 5 – 7 Peso: 13

44. Ejemplo. Resultado [1,2] [6,8] [5,13] [4,8] 2 7 5 7 5 2 2 4 1 5 1 4 [0,-] 7 3 [2,4] 6 4 1 3 [4,7] 4 [1,4] Ruta: 1 – 2 – 4 – 6 - 5 – 7 Peso: 13

45. Modelo matemático

46. 3.2 Árbol de mínima expansión • Árbol: red no dirigida conexa que no contiene ciclos. • Árbol expandido: red no dirigida convexa que no contiene ciclos y conecta los n nodos del árbol, dicha red contiene n-1 árcos.¹ ¹(n-1) número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa.

47. Fig. 3.2) No es un árbol de expansión Fig. 3.1) No es un árbol Fig. 3.3) Árbol de expansión

48. 3.2.1 Algoritmo de Kruskal • Árbol de mínima expansión: Tenemos una red con n nodos, donde se requieren sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Éstas ligaduras deben elegirse de manera que la red resultante forme un árbol de expansión. Por lo tanto el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

49. 1. Se crea un bosque B (un conjunto de árboles), donde cada nodo del grafo es un árbol separado, nosotros numeramos estos nodos. 2. Se crea un conjunto que contenga a todas las aristas del grafo. 3. Creamos otro conjunto con las aristas ordenadas en función de su peso. 4. Seleccionamos inicialmente la arista con menor peso y se añade al bosque, combinando sus árboles (nodos). 5. Mientas el conjunto de aristas es no vacío: • Se elimina una arista de peso mínimo del conjunto de aristas ordenadas. • Si esa arista conecta dos árboles diferentes se añade al bosque (conjunto solución), combinando los dos árboles en un solo árbol. • En caso contrario, se desecha la arista. 6. Al acabar el algoritmo, el bosque tiene un solo componente, el cual forma un árbol de expansión mínima del grafo.

50. Ejemplo: • En el parque Chipinque se ha destinado una nueva área destinada para paseos y campamentos. Para esta área se requieren instalar líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación entre todas las estaciones. Como la instalación es cara y perturba la ecología, se instalarán líneas que siguen sólo los caminos necesarios para obtener comunicación entre cualquier par de estaciones. ¿Cómo deben instalarse las líneas logrando un costo mínimo total de kilómetros de cable instalado?