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图论（二）

图论（二）. 李子星. 内容提要. 最短路径问题 单源最短路径问题 Dijkstra 算法 Bellman-Ford 算法 SPFA 算法 任意点对最短路径问题 Floyd 算法 最小生成树问题 无向图的最小生成树问题 Prim 算法 Kruskal 算法 有向图的最小生成树问题. 单源最短路径问题. 给定一个有 n 个点的带权有向图，问从指定的起点开始，到其他所有点的最短路径。. 单源最短路径问题. 2. 2. 3. 8. 1. 1. 3. 10. 1. 4. 3. 5. 4. 4. 1. 6. 5. 3.

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图论（二）

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  1. 图论（二） 李子星

  2. 内容提要 • 最短路径问题 • 单源最短路径问题 • Dijkstra算法 • Bellman-Ford算法 • SPFA算法 • 任意点对最短路径问题 • Floyd算法 • 最小生成树问题 • 无向图的最小生成树问题 • Prim算法 • Kruskal算法 • 有向图的最小生成树问题

  3. 单源最短路径问题 给定一个有n个点的带权有向图，问从指定的起点开始，到其他所有点的最短路径。

  4. 单源最短路径问题 2 2 3 8 1 1 3 10 1 4 3 5 4 4 1 6 5 3

  5. 单源最短路径问题 • 带权图中一个点到另一个点的最短路径一定唯一存在？ • 有路径通达且没有“负权回路”则一定存在 • 不一定唯一 • 单源最短路径是否一定能构成一棵树？ • 如果源点到其他所有点的最短路径都存在，则一定能找到一棵以指定的起点为根的树（边的方向总是从父亲指向儿子）

  6. 单源最短路径问题 2 2 3 8 1 1 3 10 1 4 3 5 4 4 1 6 5 -3

  7. Dijkstra算法 如果边权没有负值，可以用Dijkstra算法求解单源最短路径问题。

  8. Dijkstra算法 算法流程： • 初始化所有点的dist值为+∞，起点的dist值为0 • 从所有点中找到未被标记的dist值最小的点x，将x点标记 • 检查所有x引出的边，用x点的dist值与这条边的权值之和更新这条边指向的点的dist值（这个过程又被称为“松弛操作”） • 重复步骤2和3直到所有点都被标记

  9. Dijkstra算法 • 一个点的dist值就是“已知的从起点到达它的最短路径长度” • 如果记下每个点的dist值最后一次更新是由哪条边的松弛操作完成的，这条边就是“已知的从起点到达它的最短路径的最后一条边” • 一个点被标记也就意味着“这个点的dist值已经不可能再被更新”，即“起点到它的最短路径已经求得”

  10. Dijkstra算法 dist:+∞ dist:1 dist:+∞ dist:3 2 2 3 8 1 1 3 dist:0 10 1 4 dist:10 dist:+∞ dist:9 3 5 4 4 1 6 5 3 dist:2 dist:+∞ dist:3 dist:+∞ dist:5

  11. Dijkstra算法 朴素的Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)。 如果所有点的dist值用一个堆来维护，“更新某个点的dist值”和“寻找dist值最小的点”就可以在O(logn)的时间复杂度内完成。 总时间复杂度就变成了O(elogn)，其中e为图中的边数 实际上Dijkstra算法就是h函数为0的A*算法

  12. Bellman-Ford算法 如果边权可以为负值，那么可以使用Bellman-Ford算法求解单源最短路径问题。

  13. Bellman-Ford算法 算法流程： • 初始化所有点的dist值为+∞，起点的dist值为0 • 检查所有边uv，用u点的dist值与这条边的权值之和更新v点的dist值。即对所有的边执行一次松弛操作。若此步骤中某个点的dist值更新了，那么可以说此步骤是“有收获的” • 直到上一轮步骤2没有收获，或步骤2已经重复了n轮，否则再重复一次步骤2。若最后一轮步骤2仍旧是有收获的，那么说明起点能够到达一个负权回路，否则目标就已经达成了。

  14. Bellman-Ford算法 证明： • 如果起点能够到达某个负权回路，那么显然，步骤2总是会有收获。 • 如果起点无法到达一个负权回路，那么当所有点的dist值到达最低值时，步骤2就不再有收获了。 • 而一条最短路径一定没有环，即一条最短路径经过的边数一定不会超过n-1（经过了所有其他的点），所以n-1轮后，任何一个点作为终点的最短路径一定已经求得。

  15. Bellman-Ford算法 时间复杂度显然是O(ne)

  16. SPFA算法 稍微改进一下Bellman-Ford算法的过程，就得到SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法。

  17. SPFA算法 算法流程： • 初始化所有点的dist值为+∞，起点的dist值为0，将起点加入一个“待检查点”的队列q • 从队列q的队首中取出一个节点x，对x引出的所有边执行松弛操作，若某个点的dist值被更新了且这个点不在队列q中，则将其加入队尾 • 重复步骤2直到某个点入队超过n次或队列为空

  18. SPFA算法 有理论能够证明，SPFA算法的平均时间复杂度为O(e) 。 但是有可能退化，最坏会到O(en)。 比较适合于稀疏图中求解单源最短路径。 如果不用队列，改用栈可以么？

  19. 单源最短路径问题

  20. 任意点对最短路径问题 给定一个有n个点的带权有向图，问任意两个点之间的最短路径长度。

  21. Floyd算法 代码如下（w最初是图的邻接矩阵，算法结束后是任意点对间的最短路径长度）： for k=1 to n do for i=1 to n do for j=1 to n do if (w[i,k]+w[k,j]<w[i,j]) w[i,j]=w[i,k]+w[k,j]

  22. Floyd算法 for k=1 to n do // 此时的w[x,y]为：x到y的“中途只能 // 经过1..k-1这些点的”最短路径长度 // 下面的二重循环则是求“中途只能 // 经过1..k这些点的”最短路径长度 for i=1 to n do for j=1 to n do if (w[i,k]+w[k,j]<w[i,j]) w[i,j]=w[i,k]+w[k,j] 在w[i,j]被更新时记下其因哪个k被更新，将之存储在mid[i,j]中，则mid[i,j]就是i到j的最短路径中经过的编号最大的点，由此可以还原出任意点对间的具体的最短路径。

  23. Floyd算法 k 只经过1..k-1 只经过1..k-1 x y 只经过1..k-1

  24. Floyd算法 如果有负权边但没有负权回路，Floyd算法还是正确的么？ 答案是依然正确。但是Floyd算法没法判断图中是否有负权回路存在。 时间复杂度显然是O(n^3)的。

  25. Floyd算法 如果图中有负权回路存在，Floyd算法最后得到的会是什么？ 如果要求图（可能是无向图）的最小环，Floyd算法可以给你什么启示么？

  26. 最短路径问题 如果要求次短路径，甚至第k短路径呢？ 如果这个图存在负权回路，但要求每个点不走两次的最短路径呢？

  27. 无向图的最小生成树问题 给定一个连通的带正权无向图，求此图的一个边集，要求： （1）将不在此边集的边全删除后，图依然连通； （2）边集中的边的权值之和最小。 易知这个边集一定构成一棵树，因此它又被称为“最小生成树”

  28. 无向图的最小生成树问题 1 3 2 4 1 3 2 3 1 7 2 4 5 4 3

  29. 无向图的最小生成树问题 • 将原图点集分成两个不相交的集合A和B • 原图中所有连接了A和B的边中权值最小的那条，一定可以作为最小生成树中的一条边

  30. 无向图的最小生成树问题 1 3 2 4 1 3 2 3 1 7 2 4 5 4 3

  31. Prim算法 算法流程： • 任选一个点s得到集合A={s}，初始化dist[i]为w[s,i]，link[i]=s • 在V-A中选取dist最小的点x，将x加入集合A，检查所有V-A中的点i，若w[x,i]<dist[i]则dist[i]=w[x,i]且令link[i]=x • 重复步骤2直到A=V，此时所有V-{s}中的点i与link[i]相连的边就构成了原图的一个最小生成树，此外dist[i]就是连接了i与link[i]的边的权值

  32. Prim算法 1 3 2 4 1 3 2 3 1 7 2 4 5 4 3

  33. Prim算法 时间复杂度是为O(n^2)的。 正确性依赖于之前说的原理。 虽然最小生成树本身是“无根树”，但link数组实际上对应了一棵以s为根的“有根树”，对于每个节点i，link[i]就是其在这棵树中的父节点。

  34. Kruskal算法 算法流程： • 将所有的边按权值从小到大排序，初始化A[i]={i}对所有的i，A[1..n]构成原图点集的一个划分 • 依边权从小到大依次检查每条边，若这条边连接的两个点不在一个划分块中，则标记这条边，然后将这两个划分块合并 • 重复步骤2，直到所有点都在一个划分块中为止。最后所有标记的边构成原图的一个最小生成树

  35. Kruskal算法 1 3 2 4 1 3 2 3 1 7 2 4 5 4 3

  36. Kruskal算法 原图点集的划分通常使用并查集来维护，所以Kruskal算法的时间复杂度就是O(eloge)。 显然，如果图是稀疏图， Kruskal算法效率应该好于Prim算法，而对于稠密图则相反。

  37. 无向图的最小生成树问题 如果图是动态变化的呢？比如图中的边会不断增加，或者不断减少。 如果要求的不是最小生成树，而是次小生成树，甚至第k小生成树呢？ 如果每条边有两个参数c和w，要求选出的边集的c之和与w之和的比值最小呢？ 这个又被称为“最优比率生成树”

  38. 有向图的最小生成树问题 给定一个连通的带正权有向图，并指定其中的某个点s，求此图的一个边集，要求： （1）将不在此边集的边全删除后，s到其他所有点都有路径。 （2）边集中的边的权值之和最小。 显然这个边集一定构成一棵以s为根的有根树，且这棵树中的边都是父节点指向儿子节点的。 这样的边集又被称为原图以s为根的“最小树形图”。

  39. 有向图的最小生成树问题 1 5 3 5 2 4 4 2 6 7 3 5 3

  40. 有向图的最小生成树问题 算法流程： • 对s外的每个点i，找到指向i的边中权值最小的那条，将这些边放入边集A0 • 若图中没有环且没有收缩点，则A0即为所求，算法结束；若有环则进入步骤3；若没有环但有收缩点，则进入步骤4 • 将每个环收缩为一个点，同时将这个环中的边从A0剔除，然后回到步骤1。收缩的具体操作如下： • 假设收缩产生的新点为P • 对于任意环外点x指向环内点y的权值为w的边xy，生成一条边xP，并且权值改为w减去环中指向y的边的权值，这条边实际上是原本的xy的“等价边”

  41. 有向图的最小生成树问题 S S 5 9 3 9-7 3 5-3 9 4 收缩 9-4 8-3 3 7 3 8 5 9-5 9 4-3 4 4 8-5 4 6 8 6

  42. 有向图的最小生成树问题 • 此时的A0（没环）对于现在的图（有收缩点）来说，就是一棵以s为根的最小生成树了，但由于存在收缩点，所以现在的图还不是原图，所以需要把收缩点展开，以还原到原图。展开后可能依然存在收缩点，需要重复此步骤直到没有收缩点为止，那时的A0即为所求 • 展开时需要将其在收缩时从A0中剔除的边加回到A0 • 对每个展开后的收缩点，其中肯定有一个点有两条边指向它，其中一条是所在收缩点外的某点指向它的，另一条则是收缩点内的某点指向它的，将后者从A0剔除

  43. 有向图的最小生成树问题 S S 5 9 3 9-7 3 5-3 9 4 展开 9-4 8-3 3 7 3 8 5 9-5 9 4-3 4 4 4 6 8-5 8 6

  44. 有向图的最小生成树问题 这个过程简而言之就是： • 找最小边 • 收缩 • 找最小边 • 收缩 • …… • 展开 • 展开 • ……

  45. 练习题 • POJ1502 • POJ3637 • POJ1511 • POJ1062 • POJ1860 • POJ1797 • POJ2253 • POJ1125 • POJ1258 • POJ2485 • POJ2075 • POJ3625 • POJ1679 • POJ3164

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