等差与等比数列

1. 等差与等比数列

5. 已知a、b、c成等差数列， 求证：3a，3b，3c成等比数列 思考： 如果改为如果将上例中的3改为-3结论成立吗？ 请将上述命题进行推广。 数列{an}是等差数列，C为正常数，数列 为等比数列。

6. 类比等差数列中的结论，请你猜测一个正确的命题类比等差数列中的结论，请你猜测一个正确的命题

7. 例：等差数列{an}中，d为公差，则a1，a3，a5，┅a2n-1┅是什么数列？ a2，a4，a6，┅a2n ┅是什么数列？ a1，a4，a7，┅a3n-2 ┅是什么数列？ • 类比到等比数列，是否有相应的结论？

8. 等差等比数列的特征分析 • 等差数列的通项公式可设为an=an+b • 等比数列中的通项公式可设为an=ABn， • 等差数列的前项和Sn=an2+bn • 等差数列的前项和Sn=a-aqn

9. 等差数列前n项和特征分析 • 例：已知数列{an}的前项和为Sn=n2+（3/2）n（1）求它的通项公式，（2）求证：数列{an}是等差数列 • 例：已知数列{an}的前项和为Sn=n2+（3/2）n+2（1）求它的通项公式，（2）判断{an}是等差数列吗？为什么？

10. 等差数列的前n项和特征分析 一般地，如果一个数列的前n项和为Sn=an2+bn那么这个数列一定是等差数列，且首项是a+b，公差为2a。如果一个数列的前n项和为Sn=an2+bn+c（c≠0），那么数列{an}（n=2，3，…）成等差数列

11. 例:在等差数列{an}中,已知a8=12,a10=8,则数列从第几项开始是负数?前多少项和最大?例:在等差数列{an}中,已知a8=12,a10=8,则数列从第几项开始是负数?前多少项和最大? • 第15项;第13、14项和最大

12. 例:在等差数列{an}中,若a5+a11=3,计算a8+a4+a12 例:已知等比数列{an}中,a2a8=16,a3a5a7= ±64 例:等比数列{an}中,a5a7=32,a3+a9=18,求a10 ±16√2, ± √2 例:在等差数列{an}中,am=n,an=m,求am+n 0

13. 例：已知等差数列连续三项和为21，三项平方和为179，求这三项。例：已知等差数列连续三项和为21，三项平方和为179，求这三项。 • 解：x-d+x+x+d=21，x=7，d=±4 • 3，7，11 or 11，7，3 • 例:在等差数列{an}中,a1,a3,a7是等比数列的前三项,求该等比数列的公比 • 解:a32=a1a7,d(a1-2d)=0,d=0,a1=2d,q=1 or q=2

14. 通项公式的求法 • 利用Sn-Sn-1 • 代换法(构造法) • 逐差法(逐积法) • 数学归纳法

15. 求下列的通项公式

17. 例:已知a1=2,an+1=an+2(n-1),求an的通项公式

18. 例:在数列{an}中,a1=2,an+1=2(a1+a2+…+an)求an

20. 例：等差数列{an}中若a2+a5+a12+a15=36求S16 • 144 • 例：等差数列{an}中若a6=20，求S11 • 220 • 点要:已知等差数列{an}的前n项和Sn,且a2+a5+a20为常数,则数列{Sn}中也为常数项的是第几项? • S17

21. {an}，{bn}均为等差数列，前n项和的比为（7n+2）：（n+3）求a7：b7{an}，{bn}均为等差数列，前n项和的比为（7n+2）：（n+3）求a7：b7 • 93/16 • 等差数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足S2n/Sn=（4n+2）/（n+1），求数列{an}的通项公式。 • an=n

22. 例：{an}是公差为1的等差数列，如果a1+a2+a3+…+a98=137，a2+a4+a6+…+a96+a98=?例：{an}是公差为1的等差数列，如果a1+a2+a3+…+a98=137，a2+a4+a6+…+a96+a98=? • 解：93 • 类比到等比数列中，请你设计一个类似的问题 • 在正项等比数列{an}中，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，求a3a6a9…a30 • 220

23. 例3、已知等差数列的S4=32，S8=56，求S12 解： 一、求出a1=35/4，d=-1/2，S12=72 解：二、S4=32，S4，=24，S4，，=16，S12=72 总结： Sk，S2k，S3k，之间的关系 例4、等比数列的S4=-20，S8=-640，求a1与q