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数理統計学 ( 第九回) 尤度比検定とは?

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数理統計学 ( 第九回) 尤度比検定とは?. 浜田知久馬. 胃がんのスクリーニング検査. 正常 胃癌 計 検査の 陽性 1497 16 1513 判定 陰性 8483 4 8487 計 9980 20 10000 α エラー 1497/9980=0.15 β エラー 4/20=0.20. 問題 1 2つの検査の α,β エラー どちらを選ぶ. 検査A 正常 胃癌 計

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Presentation Transcript
slide1

数理統計学(第九回)尤度比検定とは?

浜田知久馬

数理統計学第9回

slide2
胃がんのスクリーニング検査

正常 胃癌 計

検査の 陽性 1497 16 1513

判定 陰性 8483 4 8487

計 9980 20 10000

αエラー 1497/9980=0.15

βエラー 4/20=0.20

数理統計学第9回

slide3
問題1 2つの検査のα,βエラーどちらを選ぶ

検査A 正常 胃癌 計

検査の 陽性 4990 20 5010

判定 陰性 4990 0 4990

計 9980 20 10000

検査B 正常 胃癌 計

検査の 陽性 50 10 60

判定 陰性 9930 10 9940

計 9980 20 10000

数理統計学第9回

slide4
問題2 2つの妊娠診断薬どちらを選ぶ

検査A 非妊娠 妊娠 計

検査の 陽性 25 250 275

判定 陰性 475 250 725

計 500 500 1000

検査B 非妊娠 妊娠 計

検査の 陽性 250 475 725

判定 陰性 250 25 275

計 500 500 1000

数理統計学第9回

slide5
妊娠診断薬
  • アルミ包装されたテストスティックを箱から取り出し,
  •  開封してください。
  • キャップを取り、テストスティックを下に向け、
  •  サンプラーに少なくとも5秒間直接尿をかけ
  • サンプラー全体を尿で濡らします。
  • 3.青い線が、「終了確認窓(丸い窓)」に現われたら、
  •  テスト終了です(約1分)。「終了確認窓(丸い窓)」に
  •  青い線が出ていなければ、正しくテストできなかったということです.
  •  別のテストスティックで再テストしてください。
  • 4.「判定窓(四角い窓)」に色の濃い薄いに関わらず、
  •  青い線が出ていれば陽性、出ていなければ陰性です。

数理統計学第9回

slide6
妊娠診断薬

この検査薬は、妊娠の早期判定の補助として用いるもので、確定診断は、他の所見とともに医師により総合的になされるものです。

妊娠すると妊婦の尿中に分泌されるヒト絨毛性性腺刺激ホルモン(hCG)を鋭敏な抗原・抗体反応で検出する診断薬

尿が希釈され過ぎているか反対に濃縮されている場合 :妊娠してても陰性

病気の場合やホルモン値に影響を及ぼすお薬を飲んでいる場合:妊娠してなくても陽性

数理統計学第9回

slide7
問題

3 麻原彰晃を無罪と判定した場合についてαエラー,βエラーの観点から論ぜよ

4 美人は必ずしも幸せな人生をおくるとは限らない.この仮説について

  背理法を用いて証明せよ.

数理統計学第9回

slide9
検定の構成法

・一様最強力検定は存在しないことが多い.

・推定問題の原理的構成法

 最尤法,最小二乗法,モーメント法

 最尤法では確率が最大になるように母数推定

・ネイマン・ピアソンの基本定理

 確率の比(尤度比)に着目すればよい.

 最尤法に基づいた検定(尤度比検定)

数理統計学第9回

slide10
尤度比検定の例

ダーウィンのデータ

仮説:自家受精群と他家受精群で

   母平均μが等しいか?

帰無仮説:H0:μ1= μ2

対立仮説:H1:μ1≠μ2

σ2=32 (既知)

数理統計学第9回

slide11
仮説の母数空間における表現

H0: (μ1 ,μ2) ∈ ω0

H1: (μ1 ,μ2) ∈ ω1

ω0

μ2

ω1

μ1

数理統計学第9回

slide12
尤度比検定統計量

f(Y;θ)=f(θ; Y)

Yをgivenとして確率をθの関数と考えたとき

尤度(likelihood)とよぶ.

maxH1f(θ; Y)maxθ∈ω1f(θ; Y)

───────= ─────────>c

maxH0f(θ; Y)maxθ∈ω0f(θ; Y)

log(maxH1f(θ; Y))- log(maxH0f(θ; Y))>logc

ならば,H0を棄却

数理統計学第9回

slide13
正規分布の確率密度関数

σ2は既知

n個Y1 ,・・・,Yn のn個のデータの得られる確率f

f=f(y1) ・f(y2) ・・・f(yn) =Πf(yi)

数理統計学第9回

slide14
尤度(H0)

H0:μ1=μ2=μ

第h群(h=1:自家受精群,h=2:他家受精群)の

i番目の観測値をyhi(i=1,2,・・・15)で表すことにする.

数理統計学第9回

slide15
対数尤度(H0)

尤度最大 ⇒ 対数尤度最大

を代入すると

logfH0=-76.458

数理統計学第9回

1 1 2
対数尤度(H1) μ1≠μ2

数理統計学第9回

1 1 21
対数尤度(H1) μ1≠μ2

logfH1に代入すると

logfH1=-33.450(自家受精)-40.438(他家受精)

   =-73.888

数理統計学第9回

slide18
対数尤度比

尤度比: maxH1f/maxH0f

対数尤度比:log(maxH1f)- log(maxH0f)

数理統計学第9回

slide19
対数尤度比

群内平方和          群間平方和

対数尤度比=(全平方和-群内平方和)/2σ2

=群間平方和/2σ2

数理統計学第9回

slide20
対数尤度比

数理統計学第9回

slide21
Z検定

自由度∞,σ既知の平均値の差の検定

H0の下でZは標準正規分布,

Z 2は自由度1のカイ2乗分布にしたがう.

ZがZαを越えるときH0を棄却

2×対数尤度比がχ2αを越えるときH0を棄却

数理統計学第9回

slide22
尤度の計算プログラム

data mle;set mle;

do m1=16to22by0.1;

do m2=16to22by0.1;s=3;

f1=1/(2*3.141728*s**2)**.5

*exp(-(y1-m1)**2/s**2/2);

f2=1/(2*3.141728*s**2)**.5

*exp(-(y2-m2)**2/s**2/2);

logl=log(f1*f2);

output;end;end;

数理統計学第9回

slide23
尤度曲面

数理統計学第9回

slide24
対数尤度曲面

数理統計学第9回

slide25

22

-78.3879

-78.3879

-81.3869

-84.3859

-87.3849

-90.3840

20

-75.3888

m

-90.3840

2

18

-93.3830

-96.3820

-99.3811

-102.3801

-90.3840

16

16

18

20

22

m1

等高線プロット

数理統計学第9回

likelihood ratio test
尤度比検定likelihood ratio test

・ネイマン・ピアソンの基本定理の拡張

 確率の比に基づいた検定

・検定統計量

2×[log(maxH1f(θ; Y))- log(maxH0f(θ; Y))]

H0の下で DF(H1) - DF(H0)のカイ2乗分布に従う.

 ダーウィンの例)

H0:DF=1(μ), H1:DF=2 (μ1, μ2)

  自由度1のカイ2乗分布にしたがう.

数理統計学第9回

slide28
最尤推定量(MLE)の復習

U=dlogf(θ;y)/dθ:スコア関数とすると

MLEθはlogf(θ;y)=0の解となる.

E[U]=0,V [U]=E[U2]= E[-U’]=I(情報量)

V [θ]= 1/I

1)nが大きくなれば,MLEは真値に一致する 

2) MLEは,漸近的に正規分布にしたがう

(漸近正規性)     

3)最尤推定量の分散は,漸近的にFisherの情報量の逆数(1/I)となる.

数理統計学第9回

slide29
3種類の検定

尤度比検定,Wald検定,スコア検定

例 H0:μ= μ 0 の検定

1)尤度比検定 L(μ)- L(μ0)

 山の高さの違い

2) Wald検定   μ-μ0

MLEからの隔たり

3)スコア検定  U(μ0)

μ0における傾きが0に近いか

数理統計学第9回

slide30
3種類の検定の模式図

数理統計学第9回

slide31
山のてっぺんを捜すには.

(1)地図で位置を

確認する

(2)  高度を

測ってみる.

(3) 傾斜角度を

測ってみる.

数理統計学第9回

slide32

三蔵法師が山の最高点に

誘拐された.

最尤解を探せ.

数理統計学第9回

slide33
孫悟空 尤度比検定

觔斗雲でひとっ飛び,如意棒で山の高さを測る.

数理統計学第9回

slide34
 スコア検定 沙悟浄

水を流して勾配を測り,

傾きが0になる点を探す.

数理統計学第9回

slide35
Wald検定 猪八戒

地図を頼りにひたすら掘り進む

数理統計学第9回

slide36
正規分布の確率密度関数

σ2は既知

n個Y1 ,・・・,Yn のn個のデータの得られる確率f

f=f(y1) ・f(y2) ・・・f(yn) =Πf(yi)

数理統計学第9回

log likelihood
対数尤度(log likelihood)

Lはμについての2次関数

尤度fの最大化⇒ 対数尤度Lの最大化 

⇒dL/dμ=0となるμを探す.

数理統計学第9回

slide38
正規分布の場合:一標本問題

分散σ2が既知(32=9)の場合

対数尤度:

スコア統計量:

MLE:

情報量:

H0:μ=μ0 の検定は?

数理統計学第9回

slide39
尤度比検定

数理統計学第9回

slide40
尤度比検定

H0:μ0=20の検定

L(17.708 )=-33.450

L(20 )=  -37.827

χ2LR=2{L(μ)-L(μ0)}

= 2{ -33.450- -37.827 }

数理統計学第9回

slide41
Wald検定

H0:μ0=20の検定

(17.708-20)2

= ─────── = 8.76

(32/15)

数理統計学第9回

slide42
ラオのスコア検定

H0:μ0=20の検定

=15 (17.708-20)2/(32) = 8.76

数理統計学第9回

slide43
3種類の検定

1)漸近的に等価な検定

 (nが大きくなると結果はほぼ等しくなる)

2)各検定の特徴

  尤度比:検定・信頼区間の

        計算に反復計算が必要

Wald:対称性がある

  スコア:推定値が不明でも検定できる.

       収束しない場合,総当たり法

3)正規分布のときは完全に一致

  対数尤度が2次関数となるため.

数理統計学第9回

slide44
スコア検定

・Wald,尤度比検定は,MLEが求まらないと検定できない.

・ MLEを求めるためには反復計算が必要

・スコア検定はH0の下でのUとIがわかれば

 計算できる.

・多くのモデルについての計算が必要な場合,総当り法では,スコア検定が行われる.

・スコア検定では収束しない場合でも,

 H0の検定が可能

数理統計学第9回

slide45
信頼区間の構成

H0:μ=μ0をα水準で検定して,棄却されない範囲が信頼区間

尤度比検定ベースの95%信頼区間

自家受精群:17.708±1.96×3/15 0.5

=16.190,19.226

数理統計学第9回

slide46
信頼区間の模式図尤度比検定で有意とならない範囲信頼区間の模式図尤度比検定で有意とならない範囲

Lが1.92までおちる範囲

数理統計学第9回

slide47
スコア検定とWald検定

テーラー展開

正規分布の場合,近似は正確

数理統計学第9回

slide48
尤度比検定とWald検定

数理統計学第9回

slide49
尤度比検定とWald検定

対数尤度関数L(θ)=logf(θ)をMLEθの周辺でテーラー展開して,2次式で近似できる

対数尤度は, θの2次関数で近似される

Wald検定の結果は,尤度比検定を近似する.

対数尤度比を2倍するとカイ2乗統計量

正規分布の場合,近似は正確

数理統計学第9回

slide50
演習

2項分布について

f(π;y)=nCyπy(1-π)n-y

1)対数尤度を示せ.

2)スコア統計量を計算せよ

U=dlogf(π;y)/dπ

3) U=0となるπ(πの最尤推定量)を求めよ

4)情報量I=E[U2]を計算せよ.

5) 1/Iが何をあらわしているか述べよ.

6)π=π0の下でIとUを求め,スコアカイ2乗

(U2/I)を計算せよ.

数理統計学第9回