Правильная призма

1. Правильнаяпризма Типовые задачи ЕГЭ - В9 http://gorkunova.ucoz.ru

2. № 1 В правильной четырёхугольной призме (А…D1) известно, что AC1 = 2BC . Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1 . Ответ дайте в градусах. A1 D1 C B BD1∩ CA1 = 0 BD1 , CA1 BCD1A1 B1 C1 BCD1A1 - прямоугольник A1 D1 Диагонали прямоугольника равны O и точкой пересечения делятся пополам O x x Пусть ВС = х, тогда АС1 = 2х 600 B C значит, ОВ = ОС = ВС = х x ВОС - равносторонний A D Углы равностороннего треугольника по 600 (BD1, CA1) = ВОС = 600 Ответ:600

3. № 2 В правильной треугольной призме (А…С1) все ребра которой равны 3 . найдите угол между прямыми АА1 и ВC1 . Ответ дайте в градусах. С1 В1 В С Основания призмы – равносторонние треугольники C1 A1 Боковые грани призмы - квадраты Найти (АА1, ВС1) B1 АА1 = СС1 3 A C 3 (АА1, ВС1) = (СС1, ВС1) = ВС1С B ВС1 – диагональ квадрата ВВ1С1С ВС1С – острый угол равнобедренного, прямоугольногоВС1С (С = 900) Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны 450 Ответ:450

4. № 3 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками В и Е . А B O F C E D Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: 1 B1 1 1 1 A1 C1 1 1 1 F1 D1 1 1 1 1 E1 B 1 A C Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят F его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1. D ВЕ = ЕО + ОВ E ВЕ = 1 + 1 = 2 Ответ:ВЕ = 2

5. № 4 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите угол ACC1 . Ответ дайте в градусах. B1 ACC1 = 900 A1 C1 в правильной призме боковое ребро F1 D1 перпендикулярно основанию призмы, E1 а значит всем прямым, которые лежат B в основании A C СС1 (А…Е) F D АС  (А…Е) E Ответ:900

6. № 5 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах. Основания призмы – правильные шестиугольники B1 A1 C1 A B F1 D1 O F C E1 B A C D E F D DAB = OAB = 600 E Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольникауглы которых по 600 Ответ:600

7. № 6 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла AD1D . Ответ дайте в градусах. А B O F C E D B1 1 1 A1 C1 1 F1 D1 E1 B A C Тангенс острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета F D к прилежащему катету E AD – противолежащий катет AD1D DD1 – прилежащий катет AD1D Ответ: 2

8. № 7 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны √5, найдите расстояние между точками В и Е1 . А B O F C E D ВE1– гипотенуза ВEE1 (E = 900), ЕЕ1 = √5 B1 A1 C1 Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: F1 D1 Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной √5. E1 B ВЕ = ЕО + ОВ A C ВЕ = √5 + √5 = 2√5 F D E √5 √5 √5 Ответ:ВЕ1 = 5

9. № 8 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FА и D1E1 . Ответ дайте в градусах. B C О A D F E Основания призмы – правильные шестиугольники Найти (FA, E1D1) Боковые грани призмы - квадраты B1 A1 C1 E1D1║ ED E1D1 = ED FA ║ CD FA = CD F1 D1 E1 (FА, E1D1) = (СD, ED) = EDС B A C O F D E 1 способ: по формуле угла правильного многоугольника 2 способ: Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольника, углы которых по 600 В нашем случае n = 6, подставляем EDС = CDO + EDO = 600 + 600 = 1200 тогда угол между прямыми равен 600 В формулу, получим 6 = 1200 Ответ:600

10. №9 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками А и Е1 . А B A O F C 1 600 F O 0,5 M E D AE1– гипотенуза AEE1 (E = 900) B1 A1 C1 Рассмотрим АЕ в правильном шестиугольнике: F1 E1 D1 Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1. B АЕ = 2 . АМ АЕ2 = 4 . АМ2 C 1 A 1 где АМ – высота равностороннего AOF 1 способ: по т. Пифагора: F D АМ2 = AF2 – FM2 = 1 – ¼ = ¾ E 2 способ: АМ = АF . sin600 = 1 .√3/2 = √3/2 АЕ2 = 4 . ¾ = 3 M Ответ:АЕ1 = 2