4.5 商業與經濟學的應用

4.5 商業與經濟學的應用

4.5 商業與經濟學的應用 學習目標求解商業與經濟學的最佳化問題。求解需求函數中需求的價格彈性。辨認基本的商業術語與公式。第四章　導數的應用 P.4-35

商業與經濟學的最佳化 本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。第四章　導數的應用 P.4-35

範例1　求最大收入 某公司認為某產品的總收入 (美元) 可表示為 R ＝－x3＋ 450x2＋ 52,500x 其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？第四章　導數的應用 P.4-35

範例1　求最大收入（解） 收入函數的草圖如圖 4.36 所示。第四章　導數的應用 P.4-35

範例1　求最大收入（解） 2. 主要方程式為收入函數，即 R ＝－x3＋ 450x2＋ 52,500x 主要方程式 3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。 4. 主要方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 546 可行定義域　此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.36。第四章　導數的應用 P.4-35

範例1　求最大收入（解） 5. 為了使收入最大，先求得臨界數。　在可行定義域中的臨界數為 x ＝ 350，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。第四章　導數的應用 P.4-35

檢查站 1 求使收入函數 R ＝－x3＋ 150x2＋ 9375x 最大化的產量，試問最大收入為何？第四章　導數的應用 P.4-35

商業與經濟學的最佳化 為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均成本函數(average cost function) 定義為其中 C ＝ f(x) 為總成本函數，x 為產量。第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本 某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元) 可表示為C ＝ 800 ＋ 0.04x ＋ 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本（解） 1. 令 C 為總成本，x 為產量，為單位平均成本。 2. 主要方程式為主要方程式第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本（解） 3. 將 C 代入主要方程式，可得 4. 函數的可行定義域為 x > 0 可行定義域第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本（解） 5. 再求臨界數如下所示。第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本（解） 由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如圖 4.37 所示，產量在 x ＝ 2000 時有最小的單位平均成本。第四章　導數的應用 P.4-36

範例2　求最小平均成本（解） 第四章　導數的應用 P.4-36 圖4.37

檢查站 2 求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為C ＝ 400 ＋ 0.05x ＋ 0.0025x2。第四章　導數的應用 P.4-36

範例3　求最大收入 某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。第四章　導數的應用 P.4-37

範例3　求最大收入（解） 1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收入。 2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為 R ＝ xp 主要方程式第四章　導數的應用 P.4-37

範例3　求最大收入（解） 3. 當單價 p ＝ $10 時的銷售量為 x ＝ 2000，當單價 p ＝ $9.75 時的銷售量 x ＝ 2250。再由點斜式來建立需求方程式。將上式代入收入方程式可得第四章　導數的應用 P.4-37

範例3　求最大收入（解） 4. 收入方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 12,000 可行定義域 5. 欲使收入最大化，先求臨界數。第四章　導數的應用 P.4-37

範例3　求最大收入（解） 由圖 4.38 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為 p = 12 －0.001x 需求函數 = 12 －0.001(6000) 將 x ＝ 6000 代入 =$6 單價第四章　導數的應用 P.4-37

範例3　求最大收入（解） 第四章　導數的應用 P.4-37 圖4.38

檢查站 3 若範例 3 的單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。第四章　導數的應用 P.4-37

學習提示 在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是R ＝ 1000(12p － p2)。求函數的臨界數之後可知 p ＝ 6 時的收入最大。第四章　導數的應用 P.4-37

範例4　求最大利潤 某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為而生產 x 單位的成本為 C ＝ 0.5x ＋ 500。可得最大利潤的價格為何？第四章　導數的應用 P.4-38

範例4　求最大利潤（解） 1. 令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為需求量，C 為生產 x 單位產品的總成本。 2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式 P ＝ R － C 主要方程式第四章　導數的應用 P.4-38

範例4　求最大利潤（解） 3. 以 R ＝ xp 改寫主要方程式為 4. 函數的可行定義域為 127 < x ≤ 7872 (當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。第四章　導數的應用 P.4-38

範例4　求最大利潤（解） 5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。由圖 4.39 的利潤函數可知，在 x ＝ 2500 時有最大利潤，對應的單價為第四章　導數的應用 P.4-38

範例4　求最大利潤（解） 第四章　導數的應用 P.4-38 圖4.39

範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。代數技巧第四章　導數的應用 P.4-38

檢查站 4 由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。第四章　導數的應用 P.4-38

學習提示 為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P ＝ R － C 微分再令其為零，即當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.40。第四章　導數的應用 P.4-38

學習提示（續） 第四章　導數的應用 P.4-38 圖4.40

需求的價格彈性 經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性(price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈性(elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無彈性(inelastic)。第四章　導數的應用 P.4-39

需求的價格彈性 正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即第四章　導數的應用 P.4-39

需求的價格彈性 再利用此近似可得第四章　導數的應用 P.4-39

需求的價格彈性 第四章　導數的應用 P.4-39

需求的價格彈性 需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.41 和下列的敘述： 1. 若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售量增加，可使得總收入增加。 2. 若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售量增加，不會使總收入增加。第四章　導數的應用 P.4-39

需求的價格彈性 第四章　導數的應用 P.4-39 圖4.41

學習提示 下列為常見貨品之需求彈性的估計值。請問那幾項有彈性？那幾項無彈性？第四章　導數的應用 P.4-39

範例5　比較彈性與收入 某產品的需求函數為，0 ≤ x ≤ 144，如圖 4.42(a)所示。 a. 求需求為有彈性、無彈性和單位彈性的區間。 b. 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。第四章　導數的應用 P.4-40

範例5　比較彈性與收入 第四章　導數的應用 P.4-

範例5　比較彈性與收入（解） a. 需求的價格彈性為第四章　導數的應用 P.4-40

範例5　比較彈性與收入（解） 在區間 [0, 144] 內，因需求為單位彈性或＝1，所以的唯一解為 x ＝ 64，因此當 x ＝ 64 時可得需求的單位彈性。第四章　導數的應用 P.4-40

範例5　比較彈性與收入（解） 對區間 (0, 64) 內的 x 值來說，這說明當 0 < x < 64，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說，這說明當 64 < x < 144，需求無彈性。第四章　導數的應用 P.4-40

範例5　比較彈性與收入（解） b. 由 (a) 的結果可知，在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的，在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減的，以及當 x ＝ 64 時收入函數有極大值，如圖 4.42(b) 所示。第四章　導數的應用 P.4-40

檢查站 5 需求函數為，0 ≤ x ≤ 324，求使得需求有彈性、無彈性和單位彈性的區間。第四章　導數的應用 P.4-40

學習提示 需求的價格彈性模型通常假設需求量增加時價格會降低，所以需求函數 p ＝ f(x) 為遞減的，且 dp/dx 為負值。第四章　導數的應用 P.4-40

商業術語與公式 本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。第四章　導數的應用 P.4-41

商業術語與公式 • 需求、收入、成本與利潤函數的圖形則如圖 4.43 所示。第四章　導數的應用 P.4-41 圖4.43

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