数学模型与数学建模竞赛东华大学数学系胡良剑 Ljhu@dhu

数学模型与数学建模竞赛东华大学数学系 胡良剑Ljhu@dhu.edu.cn

主要内容 课程安排什么是数学模型数学建模案例数学建模竞赛

课程安排 • 单元1 数学建模介绍(2学时) • 单元2 优化模型(2学时) • 单元3 方程模型 (2学时) • 单元4 预测模型(2学时) • 单元5 课题研究（2学时） • 单元6 课题研究 (2学时) • 单元7 课题讨论 (2学时) • 单元8 课题讨论 (2学时)

数学教育与数学建模 • 数学教育应该培养学生两种能力： • “懂数学”（计算、推导、证明…）； • “用数学”（实际问题建模及求解）。 • 迄今为止，绝大部分大学数学课程只关注“懂数学”。 • 本课程教你“用数学”。

求解案例1：航行问题甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 解：用 x表示船速，y 表示水速，列出方程： x =20 y =5 答：船速每小时20千米/小时.

航行问题建模的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 • 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答所关心的问题（船速每小时20千米/小时）。

更现实的“航行问题” • 水速、船速不是常数； • 航行条件限制 • 调度问题 • 经济问题 • ………

什么是数学模型 • 模型：实际原型主要特征的抽象和简化、一个低代价近似。 • 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的一个刻画，以便于人们更简明更深刻地认识所研究的对象。 • 数学建模：根据要求针对实际问题组建数学模型的过程。

数学建模的步骤 问题的提出问题的分析模型的假设模型的建立算法的设计模型的应用模型的检验模型的求解

案例2：包扎管道 • 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。如何进行包扎才能使带子全部包住管道又节省材料？

包扎管道：问题的分析 • 带子面积>=管子表面积 • 带子全部包住管道又无重叠时最节省 • 主要影响因素：管子粗细，带子宽度，包扎角度 • 可控变量：带子宽度，包扎角度

包扎管道：合理的假设 • 管子很长 • 管子是圆柱状，不考虑弯道和接头 • 带子宽度不变

包扎管道：模型的建立 C/2  • 拉平了考虑 • 变量：C(管子周长)，W(带子宽度)，(带子边缘与管子轴线的夹角)

包扎管道：模型的建立 A • 摊开来考虑 • 带子全部包住管道又无重叠时，A与B重合 • W=C cos W  C  B

包扎管道：模型的求解 • 包扎角度= arccos(W/C) • 数值结果: W=0.1m, C=10m, =90o W=0.1m, C=0.2m, =60o W=0.1m, C=0.1m, =0o

包扎管道：讨论 • 对于W>C, 如何考虑？ • 非圆形管道，如何考虑？ • 应用中如何掌握？

数学模型与数学应用题的区别 • 问题表达不明确； • 模型无标准； • 结果不唯一。

数学建模的方法 • 机理分析方法：初等分析、微积分和微分方程、运筹学（线性规划、非线性规划、整数规划、图论）、概率论等； • 数据拟合方法：层次分析、插值与拟合、统计分析(回归、时间序列、聚类)等； • 计算机模拟方法：遍历法（枚举法）、随机模拟法（蒙特卡洛法）。

数学建模竞赛的由来 • 1985年美国数学建模竞赛(MCM). • 1989年我国参加MCM. • 1992年 “中国大学生数学建模竞赛（CUMCM)”教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办，79院校314队 • 2004年研究生数学建模竞赛创立 • 2013年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、印度和马来西亚的1326所院校、23335个队（其中本科组19888队、专科组3447队）、70000多名大学生报名参加本项竞赛。

有哪些数学建模竞赛？ • 美国数学建模竞赛（MCM和ICM）2月 • 东华大学数学建模选拔赛（DHMCM）5月 • 全国数学建模夏令营 6-7月 • 全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）9月 • 全国高校研究生数学建模竞赛 9月 • 华东地区部分高校大学生数学建模联赛 4月 • 数学中国杯数学建模挑战赛，每年4-6月举行

数学建模竞赛的竞赛题 • 竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。 • 数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富挑战性的实际问题。 • 通常竞赛题本科组有A, B两题，专科组有C, D两题，各参赛队从两题中任选一题。

数学建模竞赛的评奖 • 没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（1）问题分析及假设的合理性10%；（2）模型的正确性和创造性40%；（3）运算结果的准确性20% ；（4）结论和讨论的科学性20% ；（5）摘要和论文表达的清晰性等10% 。

数学建模竞赛的参赛形式 • 开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。 • 由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。

近年来的CUMCM题 • 2008A 数码相机定位 • 2008B 高等教育学费标准探讨 • 2008C 地面搜索 • 2008D NBA赛程的分析与评价 • 2009A 制动器试验台的控制方法分析 • 2009B 眼科病床的合理安排 • 2009C 卫星和飞船的跟踪测控 • 2009D 会议筹备安排

近年来的CUMCM题 • 2010 A 储油罐的变位识别与罐容表标定 • 2010 B 上海世博会影响力的定量评估 • 2010 C 输油管的布置 • 2010 D 对学生宿舍设计方案的评价 • 2011A 城市表层土壤重金属污染分析 • 2011B 交巡警服务平台的设置与调度 • 2011C 企业退休职工养老金制度的改革 • 2011D 天然肠衣搭配问题

近年来的CUMCM题 • 2012A 葡萄酒的评价 • 2012B 太阳能小屋的设计 • 2012C 脑中风发病环境因素分析及干预 • 2012D 机器人避障问题 • 2013A 车道被占用对城市道路通行能力的影响 • 2013B 碎纸片的拼接复原 • 2013C 古塔的变形 • 2013D 公共自行车服务系统

2013B 碎纸片的拼接复原

问题关键 • 怎样读取图片的灰度数据？ • 怎样识别图片的匹配程度？ • 怎样处理数据的不规则性？ • 怎样判别哪些图片在同一行？ • 怎样识别图片上、下关系？

数学建模竞赛的意义 • 培养选手进行科学研究的能力 • 培养选手通过研究学习新知识的能力 • 培养选手勇于创新、理论联系实际的学风 • 培养选手相互协调、团结合作的精神 • 给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验

成功参赛的要素 • 浓厚的兴趣 • 敏锐的洞察力和活跃的思维； • 获取新知识的能力 • 扎实的数学基础 • 熟练的计算机编程 • 清晰的论文表达

怎样准备 • 养成勤于研究的习惯； • 参加“东华大学数学建模协会”; • 选修“数学建模”课程; • 学习相关数学知识：微积分、微分方程、线性代数、概率统计，运筹学、数学实验、数学建模； • 熟练运用一门以上运算软件：Matlab, Maple, Mathematica, Lingo, Sas, Spss, C++等 • 学会撰写科学论文(说明文)。

报名和培训 • 寻找志同道合的伙伴，组成3人一队，开展活动； • 4月， “东华大学数学建模竞赛”报名 (面向全校同学) • 4月~5月, 校赛前培训 • 5月底~6月初， “东华大学数学建模竞赛暨CUMCM选拔赛” • 6月下旬,组建CUMCM参赛队 • 8月下旬~ 9月中旬, CUMCM比赛集训 • 9月中旬, 参加CUMCM • 12月下旬, 组建MCM参赛队， • 次年2月上旬, 参加MCM.

选拔参赛队员基本原则 • CUMCM：校竞赛成绩为主 • 相关学科竞赛经历 • 数学建模竞赛协会 • 数学建模夏令营 • MCM& ICM ：CUMCM成绩为主 • 英语能力

参考书 • 刘来福等，数学模型与数学建模(第三版)，北京师范大学出版社，2009. • 姜启源等，数学模型(第四版)，高等教育出版社，2011 • 胡良剑等，Matlab数学实验，高等教育出版社， 2006. • 叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四、五), 湖南教育出版社，2001～2009

数学建模竞赛网上资源 • CUMCM网站:http://www.mcm.edu.cn • 东华数学建模协会：东华大学理学院主页理学院数学建模 • CUMCM优秀论文：东华大学主页图书馆电子资源中国期刊网CNKI或中文科技期刊数据库或万方数据库(1. 数学的实践与认识)(2. 工程数学学报) • 国防科大 www.shumo.com • 数学中国 www.madio.net • MCM和ICM网站:www.comap.com • Google scholar • wikipedia

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