探究型问题

1. 中考复习 探究型问题

2. 【中考题特点】： 近年来全国各地中考试题中频频出现探索型问题，这类问题由于没有明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件，因而对考生的能力要求较高。 一.探索规律型 二.探索结论型； 三.探索存在型 四.探索条件型

3. 一.探索规律型—在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目一.探索规律型—在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目 1.为迎接2008年北京奥运会，孝感市某中学课外科技小组的同学们设计制作了一个电动智能玩具，玩具中的四个动物小鱼、小羊、燕子和熊猫分别在1、2、3、4号位置上（如图），玩具的程序是：让四个动物按图中所示的规律变换位置，第一次上、下两排交换位置；第二次是在第一次换位后，再左、右两列交换位置；第三次再上、下两排交换位置；第四次再左、右两列交换位置；按这种规律，一直交换下去，那么第2008次交换位置后，熊猫所在位置的号码是（） A．1号B．2号C．3号D．4号

4. 2．（连云港中考题）右图是一回形图，其回形通道 的宽和的长均为1，回形线与射线 交于 …．若从 点到 点的回形线为第1圈（长为7），从点 到点 的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为． 第1圈=1 + 1 + 2 + 2 + 1 第2圈=2 + 3 + 4 + 4 + 2 第3圈=3 + 5 + 6 + 6 + 3 ……………………………. 第n圈=n+2n-1 +2n +2n +n =8n-1

5. 二.探索结论型——给定条件，但无明确的结论或结论不惟一，而要探索发现与之相应的结论的题目

6. 1.如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径且CD⊥AB，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F，连结DF。1.如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径且CD⊥AB，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F，连结DF。 ∠CEB =∠FDC这一结论不变 l C ·O E ┌ M B A F D （1）请判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并说明理由。 ∠CEB =∠FDC （2）若将直线l绕C点旋转（直线l与CD不重合且不垂直）, 在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化。 思考：∠CEB与∠FDC的数量关系是否发生变化，并说明 理由。

7. 练一练 C 1.如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 · O (1) 连结BC，BF E ┌ M A B 你能找出图中相等的角吗？ F D ∠ CBE = ∠ CFB 你能找出图中相似的三角形吗？ ΔCEB ∽ ΔCBF 你能说出CB、CE 、CF三者之间的关系吗？并证明你所得结论

8. 2.等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．2.等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP； （2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F． ①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） ②探究２：连结EF,△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

9. （1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC， 　 ∴∠B=∠C=30°， 　　∵∠B+∠BPE+∠BEP=180° 　　　　∴∠BPE+∠BEP=150° 　　　　∵∠EPF=30°， 　又∵ ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180° 　　∴∠BPE+∠CPF=150° 　　∴∠BEP=∠CPF ∴△BPE∽△CFP

10. E A M F N C B P （2）①△BPE∽△CFP ②△BPE与△PFE相似。　 下面证明结论同（1）可证△BPE∽△CFP 得　　　　　　 而CP=BP 因此　　　　　　，　 又∵∠EBP=∠EPF， ∴△BPE∽△PFE ③ 由②得 △BPE∽△PFE ∴∠BEP=∠PEF， 分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF， 　　垂足分别为M、N，则PM =PN。连AP， 　　在Rt△ABP中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4， 　　∴PM=2　　， ∴PN=2 ∴s = PN×EF=

11. 3.探索存在型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。3.探索存在型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

12. 想一想 要注意分类讨论 如图，已知：在平面直角坐标系中，点O在y轴上，以O为圆心，半径长为4的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，且AB=BC，点P是⊙O上一动点（P点与A、B两点不重合），连结BP、AP。（1）求∠APB的度数。 ( ( Y 解：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径 ( ( ∴AC=BC ( ( 又∵AB=BC ( ( ( ∴AB=BC=AC=120° X ( ①若点P在ACB上，则∠APB=60° ( ②若点P在AB上，则∠APB=120° C P · ·O A ┌ B · P D

13. （2）若过点P的⊙O的切线交X轴于点G，问是否存在点P,使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（2）若过点P的⊙O的切线交X轴于点G，问是否存在点P,使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 ( ②若点P在AB上， 要会运用数形结合思想解决问题！ ( Y Y ①若点P在ACB上， X X 根据对称性知， 也是符合条件的点。 解：假设存在点P，使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似。 ∵∠PBA＝∠GBP ∠GPB＞∠APB, C ∵∠PBA=∠GBP ∠PAB＞∠PGB 又∵∠APB＝120° ∴只能是∠PAB=∠GPB ∠APB=∠PGB C 又∵PG是⊙O的切线 ∴∠BGP是锐角， ·O P · ∴∠GPA=∠PBA ∴∠PGA∽△BPA ∴∠BGP＜∠APB G ┌ A B ∴∠PAG=∠PAB=90° ·O ∴△APB与以A、G、P为顶点的三角形不相似。 ∴PB是⊙O直径 ∴PB=8 · P D B ┌ M ∵∠APB=60°∴∠ABP=30° G A 综上所述，符合条件的P点有两个， D

14. 4.探索条件型——结论明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；4.探索条件型——结论明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；

15. 1.如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．

16. （1）当x为何值时，OP∥AC ? （2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在 ,求出X的值;若不存在，说明理由.

17. 通过本节课的学习你有哪些收获？ （1）数学方法： ①解结论探索型问题的方法：对所探索的问题通过观察、度 量、分析、类比、猜想先得到结论，再科学验证结论。 ②解存在性探索型问题的方法：先假设结论存在，把结论作为一个题设的条体，若求出需要的符合题设的结论就存在；若求不出结论或可求出和题设矛盾的结论，则不存在。 （2）数学思想：数形结合思想和分类讨 论思想。

19. 练一练 C C · O · O G E ┌ M F B ┌ A B D E H F D 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 （2）若将弦AB向下平移至与⊙O相切于点D，其它条件不变，如图，则CE与CF的积是否等于CG2？如果不相等，请探求CE与CF的积等于哪两条线段的积？并给出证明过程。 C ·O E ┌ G A B M A F E H D 图① 图② 图② ┌ （3）当直线AB继续向下平移至与⊙O相离时，其它条件不变，如图③，则在（2）中探求的结论是否还成立？请说明理由。 M 图③

20. 变式: C C · O · O G E ┌ M F B ┌ A B D E H F D 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 （2）若将弦AB向下平移至与⊙O相切于点D，其它条件不变，如图，则CE与CF的积是否等于CG2？如果不相等，请探求CE与CF的积等于哪两条线段的积？并给出证明过程。 C ·O G A F D 图① 图② ┌ （3）当直线AB继续向下平移至与⊙O相离时，其它条件不变，如图③，则在（2）中探求的结论是否还成立？请说明理由。 A E H B M 图③