סדרות עיתיות Time Series Data

1. סדרות עיתיות Time Series Data yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut ניתוח בסיסי

2. סדרות עיתיות כנגד סדרות חתך • בסדרות עיתיות חשוב סדר זמני של התצפיות, בשונה מסדרות חתך • לדוגמא, שנת 1986 באה לאחר 1985, וכד'. • קודם למדנו תכונות סטטיסטיות של אומדני ה-OLSתחת הנחת בחירה רנדומאלית של המדגמים מתוך האוכלוסייה המתאימה. • בדרך כלל מדגמים שונים כוללים ערכים שונים של משתנים תלויים ובלתי תלויים. לפיכך אומדני ה-OLSהמבוססים על מדגמים מקריים שונים יהיו שונים גם כן. לכן אנו מתייחסים לאומדני ה-OLSכאל משתנים מקריים.

3. סדרות עיתיות כנגד סדרות חתך • בעבודה עם סדרות עיתיות נצטרך לשנות חלק מההנחות שלנו כדי לקחת בחשבון שאין לנו מדגם מקרי של פרטים. במקום, יש לנו מימוש (ריאליזציה) של תהליך סטוכסטי (כלומר, רנדומאלי). • איננו יודעים באיזו רמה ייסגר מחר מדד ה-Dow Jones ואיננו יודעים באיזה קצב תצמח הכלכלה הקנדית בשנה הבאה. מכיוון שהתוצאות האלה אינן ידועות מראש, ניתן לראות בהן משתנים מקריים.

4. סדרות עיתיות כנגד סדרות חתך • לאחר המעשה, נדע את כל התוצאות האלה וכאשר אנו אוספים נתונים בצורת סדרות עיתיות אנו רואים תוצאה אחת בלבד, או מימוש, של התהליך הסטוכסטי. איננו יכולים לחזור לעבר ולהתחיל את התהליך מהתחלה כדי לקבל מימוש אחר. • אילו תנאים מסוימים בעבר היו שונים, היינו יכולים לקבל ריאליזציה שונה לגמרי של אותו תהליך סטוכסטי. זו הסיבה לחשוב על סדרות עיתיות כעל תוצאה כלשהי של משתנים מקריים.

5. דוגמאות למודלים רגרסיה של סדרות עיתיות • מודלים סטטיים • נניח יש לנו סדרת עיתיות של נתונים עבור שני משתנים, נגידyו-z, כאשר שתי הסדרות בו-זמניות (כלומר, התצפיות של שתיהן שייכות לאותה תקופה). מודל סטטי של הקשר ביןyל-zיהיה: • yt = b0 + b1zt + ut, t = 1,2,…,n • אנו משתמשים במודל סטטי כאשר אנו חושבים ששינוי במשתנהzבתקופהtמשפיע על משתנהyבאופן מיידי.

6. דוגמא, המשך • עקומת פיליפס סטטית • inflationt = b0 + b1unempt + ut, t = 1,2,…,n • צורה סטטית של עקומת פיליפס מניחה שיעור אבטלה טבעי קבוע וציפיות אינפלציוניות קבועות. מודל זה יכול לשמש הסבר לקשר הדדי בו-זמני בין אבטלה ואינפלציה

7. דוגמאות למודלים רגרסיה של סדרות עיתיות • מודלים עם מספר פיגורים סופי מהסוגFinite Distributed Lag Models • במודל מהסוגfinite distributed lag model (FDL) אנו מאפשרים למשתנה אחד או יותר להשפיע על y גם בפיגור. לדוגמא, תחשבו על המודל אם תצפיות שנתיות מהצורה: • gfrt = a0 + d0pet + d1pet-1 + d2pet-2 + ut • כאשרgfrהנו שיעור הילודה הכללי (מספר ילדים שנולדו לכל 1,000 נשים בגיל ההולדה) ו-peהנו ערך דולרי ריאלי של הטבות מס הכנסה עבור כל ילד. • המשוואה לעיל הוא מודלFDLמסדר שני

8. דוגמא, המשך • הרעיון הוא לבדוק האם באופן כללי החלטות ההולדה קשורות לערך הטבות המס לאמהות. • נשתמש בפיגורים כי ברור שמתוך סיבות ביולוגיות והתנהגותיות החלטות ההולדה אינן יכולות להתקבל מייד לאחר השינויים בערך הטבות המס.

9. דוגמאות למודלים של סדרות עיתיות • מודל סטטי מציג קשר בין משתנים בו-זמניים: yt = b0 + b1zt + ut • מודל עם מספר פיגורים סופי(FDL) מאפשר למשתנה אחד או יותר להשפיע עלyבפיגור: yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut • באופן כללי יותר, מודל עם מספר פיגורים סופי מסדרqיכלולqפיגורים של משתנהz

10. מודלים עם מספר פיגורים סופי (FDL): פירוש המקדמים • לאחר שינוי זמני, במשך תקופה אחת (חד פעמי),yחוזר לערכו ההתחלתי בתקופהq+1 • נניח z = cבכל התקופות. לאחר מכן, לתקופה אחת בלבד ערך שלzקופץ ל-c + 1ולאחר מכן חוזר ל-cכבר בתקופה הבאה (נניח שהטעות שווה ל-0). • yt-1 = a0 + d0c+ d1c + d2c • yt = a0 + d0(c+1)+ d1c + d2c • yt+1 = a0 + d0c+ d1(c+1) + d2c • yt+2 = a0 + d0c+ d1c + d2(c+1) • yt+3 = a0 + d0c+ d1c + d2c

11. מודלים עם מספר פיגורים סופי (FDL) • נוכל לקרוא ל-d0נטייה להשפעה (impact propensity ) – היא משקפת שינוי מיידי ב-y • באופן דומה,d1הנו שינוי ב-yתקופה אחת לאחר השינוי הזמני:d1= yt+1 - yt-1וכד'. • בתקופהt+3משתנהyחזר לערכו ההתחלתי • זה קרה מכיוון שהחלטנו להוסיף למשוואה שני פיגורים שלzבלבד

12. מודלים עם מספר פיגורים סופי (FDL) • בנוסף, אנו מעוניינים לאמוד את השינוי ב-yכתוצאה משינוי קבוע ב-z. כרגע תניחו שבתקופהtערך של משתנהzעולה באופן קבוע ל-c + 1 לכל שאר התקופות (ונניח שהטעות שווה ל-0). • yt-1 = a0 + d0c+ d1c + d2c • yt = a0 + d0(c+1)+ d1c + d2c • yt+1 = a0 + d0(c+1)+ d1(c+1) + d2c • yt+2 = a0 + d0(c+1)+ d1(c+1) + d2(c+1)

13. מודלים עם מספר פיגורים סופי (FDL) • נוכל לקרוא ל-d0 + d1 +…+ dqנטייה של הטווח הארוך (long-run propensity, LRP) או מכפיל של הטווח הארוך (long-run multiplier ) – סכום זה משקף שינוי של הטווח הארוך ב-y, כתוצאה משינוי פרמננטי (קבוע) ב- z • ניתוח זה כמובן מניח שלא יתרחשו שינויים נוספים. הנחה כזאת היא סוגיה אמפירית וטוענת בדיקה • בגלל בעיית מולטיקוליניאריות הנובעת מקיום מתאם גבוה בין פיגורים שונים של z, לעיתים קרובות קשה לאמוד במדויק את כל אחת מה-d-ות. עם זאת, נוכל לקבל אומדן טוב לכל הסכום שלLRP.

14. הנחות של חוסר הטיה • (1) בדיוק כמו בניתוח של סדרות חתך נמשיך להניח שהמודל הנו ליניארי בפרמטרים: yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut • (2)עדיין נצטרך להניח הנחת תוחלת מותנית שווה לאפס: E(ut|X) = 0, t = 1, …, n • שימו לב שהנחה זאת פירושה כי הטעות בכל תקופה נתונה בלתי מתואמת עם כל המשתנים המסבירים בכל התקופות – התנאי נקרא אקסוגניות מוחלטת (strict exogeneity).

15. הנחות (המשך) • ההנחה הנ"ל של תוחלת מותנית שווה לאפס גורמת לכך שכל ה-x-ים אקסוגניים ממש (כלומר, בכל אחת מהתקופות) • הנחה חלופית, מקבילה יותר למקרה של סדרות חתך, ניתן לרשום כ-E(ut|xt) = 0 • הנחה כזאת תגרום לכך שה-x-ים יהיו אקסוגניים בו-זמנית (contemporaneously exogenous ), כלומר רק במשך תקופה אחת יהיו כל ה-x-ים בלתי מתואמים עם הטעות • אקסוגניות בו-זמנית תהיה מספקת במדגמים גדולים בלבד – אז נקבל אומדנים עקיבים • להוכחת חוסר הטיה של אומדני ה-OLSנצטרך אקסוגניות מלאה (בכל התקופות)

16. הנחות (המשך) • פירוש הדבר הוא שכל סיבה המביאה לכך שגורמים בלתי נצפים בתקופהtיהיו מתואמים עם משתנה מסביר כלשהו תגרום להפרת ההנחה של תוחלת מותנית שווה לאפס. • משתנים מושמטים • טעיות מדידה • ישנם, כמובן, מקרים פחות גלויים • תיקחו לדוגמא מודל סטטי פשוט • yt = b0 + b1zt + ut • בצורה שהמודל כתוב כרגע ערכים שלzבפיגור לא יכולים להשפיע עלy(ואם אנו חושבים אחרת, צריך להוסיף את הפיגורים למודל)

17. הנחות (המשך) • נקודה עוד יותר עדינה היא שאקסוגניות מלאה שוללת אפשרות שהטעות היום תוכל לגרום לשינויים עתידיים ב-z. הנחה כזאת פוסלת לגמרי השפעה שלyעל ערכים עתידיים שלz (feedback) • דוגמא:mrdrtet = b0 + b1polpct + ut • ניתן בהחלט להניח ש-utבלתי מתואם עםpolpctואפילו עם הערכים שלpolpcבעבר. אולם תחשבו שהעיר מתאימה את גודל הכוח המשטרתי שלה בהתבסס על נתוני שיעור הרצח בעבר. זה גורם לקורלציה אפשרית ביןpolpct+1לבין ut(מכיוון שערך גבוה יותר שלutגורם לערך גבוה יותר שלmrdrte).

18. הנחות (המשך) • משתנים מסבירים בהם הנחת אקסוגניות מלאה מתקיימת אינם יכולים להגיב למה שקרה ב-yבעבר. • הדוגמא הטובה היא כמות מיי הגשמים שירדו בשנהt. כמות הגשמים בשנה tלא מושפעת מהיבול החקלאי בשניםt – 1, t – 2וכו'. לעומת זאת, משתנה כגון תשומת עבודה יכול להיות מושפע מגודל היבול החקלאי בשנים קודמותt – 1, t – 2וכו'.

19. הנחות (המשך) • (3)אנו עדיין חייבים להניח שאף אחד מה-x-ים אינו קבוע וגם שאין לנו קוליניאריות מלאה • שימו לב שדילגנו על הנחת המדגם המקרי • ההשלכה העיקרית של הנחת המדגם המקרי היא שכל הטעויותuiבלתי תלויות • הנחת האקסוגניות המלאה מספיקה כדי להבטיח אי תלות בין הטעיות

20. חוסר הטיה שלOLS • בהתבסס על שלושת ההנחות האלה, אומדני ה-OLSבניתוח סדרות עיתיות יהיו בלתי מוטים • כלומר, בדיוק כמו במקרה של סדרות חתך, בתנאים מסוימים אומדני ה-OLSיהיו אומדנים חסרי הטיה • ההטיה הנובעת מהשמטת משתנה (omitted variable bias ) ניתן לנתח באופן דומה לזה שהשתמשנו בו בסדרות חתך • נוכל להשתמש בנימוק המקובל כדי לברר את כיוון ההטיה

21. הנחות (המשך): שונויות של אומדני ה-OLS • בדיוק כמו במקרה של סדרות חתך, אנו חייבים להוסיף הנחת הומוסקדסטיות כדי שנוכל לחשב שונויות • (4)כרגע נניח שמתקייםVar(ut|X) = Var(ut) = s2 • לפיכך, שונות הטעות אינה תלויה באף אחד מה-x-ים וקבועה על פני זמן • נעבור על בדיקות הטרוסקדסטיות בדיוק כמו שעשינו בניתוח נתוני חתך • (5)הנחה אחרונה (ההנחה הנ"ל היא חדשה): אנו נצטרך בנוסף הנחת חוסר קורלציה סדרתית: Corr(ut,us| X)=0 לכלt  s • כשהנחה זאת אינה מתקיימת, נגיד שישנה קורלציה סדרתית בטעויות או אוטוקורלציהמכיוון שהטעויות מתואמות ביניהן על פני זמן.

22. שונויות אומדני ה-OLS(המשך) • בהינתן כל חמשת ההנחות האלה, שונויות אומדני ה-OLSבסדרות עיתיות זהות לשונויותיהם בסדרות חתך. כמו כן, האומדן שלs2זהה • אומדני ה-OLSנשאריםBLUE • בהינתן הנחה נוספת של טעויות מפולגות נורמלית, הסקת מסקנות זהה גם כן

23. צורה פונקציונלית, משתני דמי ומדדים • כל הצורות הפונקציונליות שלמדנו קודם ניתן להפעיל גם כאשר מדובר על סדרות עיתיות • הצורה הפונקציונלית החשובה ביותר הוא לוגריתם טבעי, כיוון שרגרסיות על נתוני סדרות עיתיות עם שינויים באחוז קבוע (constant percentage effects ) מופיעות לעיתים קרובות במחקרים אמפיריים • Stata, דוגמא17-1

24. חקר אירוע • שימוש במשתנה בינארי למשתנים כגוןWWIIאוpillהנן דוגמאות לחקר אירוע. המטרה היא לראות האם אירוע מסוים משפיע על התוצאות הכלליות בצורה כלשהי • דוגמא:Rose (1985)חקר השפעת חקיקה חדשה בנושא הובלת סחורות במשאיות על מחירי המניות של חברות ההובלה • Rft = b0 + b1Rmt +b2dt + ut • כאשרRftהנה התשואה למניה של חברה fו-Rmtהיא תשואת השוק. dtהנו משתנה הדמי לאירוע. במידה ואנו מעוניינים לאמוד את השפעת החקיקה החדשה נכניס משתנה דמי אחד למספר שבועות לפני שהחקיקה הוכרזה בפני הציבור ומשתנה דמי אחר למספר שבועות לאחר ההודעה על החוק. • מדוע אנו צריכים משתנה דמי נפרד לתקופה לפני ההכרזה הציבורית על החקיקה?

25. מדדים • דבר שהופך להיות חשוב במיוחד בעבודה עם סדרות עיתיות היא הפרדה בין משתנים כלכליים ריאליים ונומינליים. • כשאנו מסתכלים על השינויים ב-GDPוכד', אנו חייבים לדעת איך להשתמש במדדים בצורה נכונה, מהי תקופת הבסיס ואיך ניתן לשנות את תקופת הבסיס. אני מניחה שאת הנושא הזה למדתם בקורס בסיסי מבוא לכלכלה מאקרו.

26. עוד על סוגיות הצורה הפונקציונלית • Stata, דוגמא17-2 • הדברים יכולים להסתבך כאשר אנו משתמשים במשתנים המבוטאים במונחי דולרים ריאליים עם לוגריתמים טבעיים. לדוגמא, תניחו שמספר שעות עבודה שבועיות ממוצע קשור לשכר הריאלי בצורה הבאה: • log(hours)t = b0 + b1log(w/p)t + ut • log(hours)t = b0 + b1log(w)t +b2log(p)t + ut • תיאוריה כלכלית קלאסית אומרת לנו שרק שכר ריאלי אמור להשפיע על שעות עבודה. אם הדבר נכון, איך תאמדו את המשוואה השנייה בהינתן ההנחה הקלאסית? • יותר מעניין לאמוד את המשוואה השנייה ולבדוק האם אנשים סובלים מ"אשליית הכסף" (“money illusion”).

27. סדרות עיתיות עם מגמה • סדרות עיתיות של משתנים כלכליים לעיתים קרובות מאופיינות בקיום מגמת הזמן • רק מכיוון שלשתי הסדרות ישנה מגמת זמן משותפת נוכל לחשוב שהיחס בין הסדרות הנו בעל משמעות סיבתית: הדבר נקרא רגרסיה מדומה (spurious regression) • לעיתים, לשתי הסדרות תהיה מגמה שנובעת מקיום גורמים בלתי נצפים • אפילו כשהגורמים האלה אינם נצפים נוכל לפקח עליהם באמצעות שליטה ישירה על המגמה. אם תשאירו את המגמה מחוץ למודל, תקבלו בעיית ההטיה הנובעת מהשמטת משתנה (המגמה)

28. מגמות (המשך) • אחת האפשרויות היא מגמה ליניארית • yt = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • אפשרות אחרת היא מגמה מעריכית (exponential ) • log(yt) = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • נפרש אתa1 כקצב הגידול שלy • אפשרות נוספת היא מגמה ריבועית • yt = a0 + a1t + a2t2 + et, t = 1, 2, …

29. הוצאת מגמה (detrending) • הוספת משתנה דמי למגמה ליניארית למשוואת הרגרסיה זהה למעשה להרצת הרגרסיה על כל אותן הסדרות לאחר "הוצאת המגמה" • תהליך הוצאת המגמה מהסדרות כרוך בהרצת כל אחת מהסדרות של המודל עלt(משתנה הזמן) • השאריות מההרצה הן הסדרות לאחר הוצאת המגמה (detrended series) • באופן כללי, הוצאת המגמה היאpartialling out

30. הוצאת מגמה (המשך) • יתרון בהוצאת המגמה מהנתונים (לעומת הוספת משתנה דמי למגמה) קשור לבדיקת טיב ההתאמה • ברגרסיות המבוססות על סדרות עיתיות בדרך כלל מתקבל מקדם ההסברR2גבוה מאוד, מכיוון שלמגמה כושר הסבר גבוה • מקדם ההסברR2ברגרסיה על סדרות לאחר הוצאת המגמה משקף הרבה יותר טוב את כושר ההסבר של ה-xt-ים בהשתנות שלyt

31. עונתיות • לעיתים, נתוני סדרות עיתיות מפגינים מחזוריות כלשהי, הנקראת עונתיות • דוגמא: נתונים רבעוניים של מכירות קמעונאיות נוטים לקפוץ ברבעון הרביעי • ניתן להתמודד עם עונתיות באמצעות הוספת מערכת משתני דמי עונתיים • כשיש לכם נתונים חודשיים, תוכלו להוסיף11משתני דמי שייצגו חודשים שונים • כשיש לכם נתונים רבעוניים, תוכלו להוסיף3משתני דמי שייצגו רבעונים • כמו במקרה של מגמה, ניתן להתאים את הסדרות לפני הרצת הרגרסיה (אז הסדרות שנשתמש בהן יהיוseasonally adjusted ) • Stata, דוגמא17-3