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Polinômios. Profª .: Juliana Santos. Seja ℂ o conjunto dos números complexos (números da forma a + bi, onde a e b são números reais e  i é a unidade imaginária tal que i 2 = -1 ). Entende-se por polinômio em ℂ a função:

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polin mios

Polinômios

Profª.: Juliana Santos

defini o

Seja ℂ o conjunto dos números complexos (números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1).

  • Entende-se por polinômio em ℂ a função:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an

onde os números complexos a0, a1, ..., an são os coeficientes, n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Definição
exemplo

P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 3, a4 = -7 e a5 = 6)

O grau de P(x) é igual a 5.

  • Nota: Os polinômios recebem nomes particulares, a saber:
  • Binômio: possuem dois termos.

Exemplo: r(x) = 3x + 1 (grau 1).

  • Trinômio: possuem 3 termos.

Exemplo: q(x) = 4x2 + x - 1 (grau 2).

  • A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica:  polinômios.
Exemplo
valor num rico raiz do polin mio

Sendo m um número complexo (lembre-se que todo número real é também um número complexo), denominamos valor numéricode um polinômio P(x)  para  x = m ,  ao valor  P(m)  ou seja o valor que obtemos substituindo x por m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1? Teremos, substituindo a variável x por x = -1 que:

p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6. Logo, p(-1) = 6.

Valor numérico – Raiz do polinômio
slide5

Raiz (ou zero) de um polinômio

O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x)  quando  P(m) = 0 .Exemplo1: i é raiz do polinômio p(x) = x2 + 1 , pois p(i) = 0 .

Lembre-se que i2 = -1, ou seja, o quadrado da unidade imaginária é igual a  -1.

Exemplo2: O número natural 2 é raiz do polinômio p(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois p(2) = 0.

igualdade de polin mios

Vamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como se pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando apenas seus coeficientes.

  • Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x. Indicamos P º 0 (polinômio nulo). Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero).
  • Polinômios idênticos são polinômios iguais. Se P e Q são polinômios idênticos, escrevemos P º Q. É óbvio que se dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q é denominada identidade .
Igualdade de polinômios
grau do polin mio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por ∂(p).

  • Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
  • Um polinômio nulo não tem grau, uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.
Grau do polinômio
slide8

Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado polinômio unitário.

  • Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
  • Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
  • Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
  • Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
  • Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
  • É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
opera es adi o e subtra o

Dados dois polinômios

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + anxn

g(x) = b0 + b1x + b2x² + b3x³ + ... + bnxn

chama-se soma de f com g o polinômio

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x² + ... + (an+ bn)xn

  • Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos polinômios acima, definimos diferença entre f e g como o polinômio f - g = f + (- g), isto é:

(f - g)(x) = (a0 - b0) + (a1 - b1)x + (a2 - b2)x² + ... + (an- bn)xn

Operações – Adição e Subtração
exemplos

ExemploSOMA:Somar f(x) = 4 + 3x + x² e g(x) = 5 + 3x² + x4.

Temos:

f(x) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x4

g(x) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x4

então:

(f+g)(x) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x4 =

= 9 + 3x + 4x² + x4.

ExemploSUBTRAÇÃO: Subtrair p(x) = 3x² - 4x + 1 por q(x) = 5x² - 3x + 4.

Temos:

(p – q)(x) = 3x² - 4x + 1 + [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3.

Exemplos
propriedades da adi o

A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades:

  • ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

  • COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

  • ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p0(x)=0 tal que:

p0 + p = p , ¥ p € P

  • INVERSO ADITIVO. Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que:

p + q = 0

Propriedades da Adição
opera es multiplica o

Dados dois polinômios

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + amxm

g(x) = b0 + b1x + b2x² + b3x³ + ... + bnxn

chama-se produtofg o polinômio

(fg)(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x² + ... + ambnxm+n

  • Notemos que o produto fg é o polinômio

h(x)= c0 + c1x + c2x2 + ... + cm+nxm+n

Operações – Multiplicação
exemplo1

Multiplicar f(x) = x + 2x² +3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x².

Temos:

(fg) (x) = (x + 2x² + 3x³)(4 + 5x + 6x²) =

= x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²) + 3x³(4 + 5x + 6x²) =

= (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x4) +

+ (12x³ + 15x4 + 18x5) =

= 4x + 13x² + 28x³ + 27x4 + 18x5.

Exemplo
propriedades da multiplica o

A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:

  • ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p . q) . r = p . (q . r)

  • COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p . q = q . p

  • ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p0(x)=0 tal que:

p0 . p = p0 , ¥ p € P

  • DISTRIBUTIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Propriedades da Multiplicação
opera es divis o

Dados dois polinômios f (dividendo) e g ≠ 0 (divisor), dividir f por g é determinar dois outros polinômios q (quociente) e r (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:

  • q . g + r = f
  • ∂r < ∂g (ou r = 0, caso em que a divisão é chamada exata)

Exemplo: Quando dividimos f = 3x4 – 2x³ + 7x + 2 por g = 3x³ - 2x² + 4x – 1, obtemos q = x e r = -4x² + 8x + 2, que satisfazem as duas condições:

  • qg + r = x(3x³ - 2x² + 4x – 1) + (-4x² + 8x + 2) = = 3x4 – 2x³ + 7x + 2 = f
  • ∂r = 2 e ∂g = 3  ∂r < ∂g
Operações – Divisão
m todos algoritmos e teoremas para a divis o de polin mios

Método de Descartes*

Este método, também conhecido com o nome de método dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes fatos:

  • ∂q = ∂f – g, o que é conseqüência da definição, pois:

qg+ r = f  ∂(qg + r) = ∂f e então ∂q + ∂g = ∂f

  • ∂r < ∂g (ou r = 0)

O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:

  • calculam-se ∂q e ∂r;
  • constroem-se os polinômios q e r, deixando incógnitos os seus coeficientes;
  • determinam-se os coeficientes impondo a igualdade qg + r = f.

*René Descartes (1596-1650): filósofo, cientista e matemático francês, conhecido como “o pai da filosofia moderna”.

Métodos, Algoritmos e Teoremas para a divisão de polinômios
exemplo2

Dividir f = 5x³ + x² - 10x - 24 por g = x - 2.

Temos:

∂q = 3 – 1 = 2 q = ax² + bx + c

∂r < 1  ∂r = 0  r = d

qg + r = f (ax² + bx + c) (x - 2) + d = 5x³ + x² - 10x – 24

Desenvolvendo, temos para todo x:

ax³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x + (d - 2c) = 5x³ + x² - 10x – 24

Então, resulta:

a = 5

b – 2a = 1  b = 2a + 1  b = 11

c – 2b = -10  c = 2b – 10  c = 12

d – 2c = -24  d = 2c – 24  d = 0

Resposta: q = 5x² + 11x + 12 e r = 0

Exemplo
slide18

Método da Chave

Este método de divisão de polinômios é semelhante ao empregado para números inteiros.

Exemplo: 337 8

– 32 42

17

– 16

1

Vamos utilizar a mesma técnica para divisão de polinômios. Dividindof = 2x5 – 3x4 + 4x³ - 6x + 7 por g = x³ - x² + x – 1:

f2x5 - 3x4 + 4x³ + 0x² - 6x + 7 x³ - x² + x – 1  g

- 2x5 + 2x4 - 2x³ + 2x² 2x² - x + 1  q

- x4 + 2x³ + 2x² - 6x + 7

x4 - x³ + x² - x

x³ + 3x² - 7x + 7

- x³ + x² - x + 1

4x² - 6x + 8 r

divis o por bin mios do 1 grau x a

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao valor numérico de f em a.

r = f(a)

Exemplo1: O resto da divisão de f = 5x4 + 3x² + 11 por g = x – 3 é:

f(3) = 5 . 34 + 3. 3² + 11 = 405 + 27 + 11 = 443

Exemplo2: O resto da divisão de f = (x + 3)7 + (x – 2)² por g = x + 3 é:

f(-3) = (-3 + 3)7 + (-3 – 2)² = 07 + (-5)² = 25

Divisão por binômios do 1º grau (x – a)
divis o por bin mios do 1 grau x a1

Teorema de D’Alembert*

Um polinômio f é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de f.

De acordo com o teorema do resto, temos r = f(a). Então:

r = 0  f(a) = 0

(divisão exata) (a é raiz de f)

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x) = 2x3 + 5x2 – px + 2 seja divisível por x - 2.

Resolução:Se P(x) é divisível por x - 2, então P(2) = 0.

P(2) = 0  2 . 8 + 5 . 4 - 2p + 2 = 0  16 + 20 - 2p + 2 = 0  p = 19

Resposta: p = 19.

*Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783): filósofo, matemático e físico francês; abandonado quando criança nos degraus de uma Igreja em Paris.

Divisão por binômios do 1º grau (x – a)
slide21

Teorema do fator

Se c é uma raiz de um polinômio f(x), de grau ∂c > 0, então x – cé um fator de f(x).

Pelo teorema de D’Alembert, a divisão de f(x) por x – c resulta um quociente q(x) e um resto r(c) tal que:

f(x) = (x – c) . q(x) + r(c)

Se c é uma raiz de f(x), então f(c) = 0 e temos:

f(x) = (x – c) . q(x)

Portanto, x – cé um fator de f(x).

Como conseqüência, podemos dizer que f(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), com a ≠ b, se, e somente se, f(x) for divisível por (x – a)(x – b).

divis o por bin mios do 1 grau x a2

Algoritmo de Briot*-Ruffini**

Um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira mais simples e rápida é o chamado: dispositivo práticoou algoritmo de Briot-Ruffini.

termo constante termo constante

do divisor, com coeficientes de x do dividendo p(x) do dividendo

sinal trocado p(x)

coeficientes do quociente resto

*Charles Auguste Briot (1817-1882): matemático francês

**Paolo Ruffini (1765-1822): médico e matemático italiano

Divisão por binômios do 1º grau (x – a)
exemplo3

Dividir p = 2x4 + 7x³ - 4x + 5 por h = x + 3

Resolução:

+

- 3 2 7 0 - 4 5

- 6 +7 - 3 + 0 9 + (- 4) - 15 + 5

x 2 1 - 3 5 - 10

q r

Quociente: q = 2x³ + x² - 3x + 5

Resto: r = - 10

Exemplo
equa es alg bricas

Sendo f(x) um polinômio em ℂ, chama-se equação algébrica à igualdade f(x) = 0 . Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio f(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação.

Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau.

  • Propriedades:

P1. Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes.

Exemplo: A equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

Equações Algébricas
slide25

P2. Se b for raiz de f(x) = 0, então f(x) é divisível por x - b .

Esta propriedade é muito importante para diminuir o grau de uma equação, o que se consegue dividindo f(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini.

P3. Se o número complexo a + bi for raiz de f(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz.

Exemplo: Qual o grau mínimo da equação f(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.

Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de f(x) é igual a 5, ou seja, f(x) possui no mínimo 5 raízes.

P4. Se a equação f(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k.

Exemplo: A equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto, 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.

slide26

P5. Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica f(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).

Exemplo: 1 é raiz de 40x5 - 10x3 + 10x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero.

P6. Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável.

Exemplo: A equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas.

P7. Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada: ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0 .

Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever: (x + 1) . (x - 2) . (x - 53) = 0, que desenvolvida fica: x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 .

rela es entre coeficientes e ra zes rela es de girard

Equação do 2º grau

Consideremos a equação:

  • ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x1 e x2.

Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:

  • a(x – x1)(x – x2) = 0

Temos a identidade:

ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), ¥ x, portanto:

x1 + x2 = - b / a e x1x1 = c / a

*Albert Girard (1595-1632): matemático francês que possuía grande interesse pela música

Relações entre coeficientes e raízes (Relações de Girard*)
slide28

Equação do 3º grau

Consideremos a equação:

  • ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x1, x2 e x3.

Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:

  • a(x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0

Temos a identidade:

ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), ¥ x, portanto:

x1 + x2 + x3 = - b / a , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a e x1x2x3 = - d / a

slide29

Equações de grau n qualquer

Seguindo os mesmos passos anteriores, vamos agora descrever as relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial de grau n (∂n ≥ 1):

Soma das raízes= x1 + x2 + x3 + ... + xn = - an-1 / an

Soma dos produtos das raízes tomadas:

duas a duas = x1x2 + x1x3 + x1x4 + ... + xn-1xn = an-2 / an

três a três = x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn-2xn-1xn = - an-3 / an

h raízes da equação = (-1)h . an-h / an

Produto das raízes = x1x2x3 ... xn = (-1)n . a0 / an

exemplo4

Escrever as relações de Girard para a equação algébrica x³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação.

Resolução: Pela equação, temos:

an = 1 , an-1 = 7 , an-2 = -3 , a0 = 5

Assim, temos que:

x1 + x2 + x3 = - (7 / 1) = -7

x1x2 + x1x3 + x2x3 = (-3 / 1) = -3

x1x2x3 = - (5 / 1) = -5

Exemplo