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Matrice ABCD. I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza. Definibile solo per un numero pari di porte. Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1. Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità. Per un circuito simmetrico vale anche A=D.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
matrice abcd
Matrice ABCD
  • I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza
  • Definibile solo per un numero pari di porte
  • Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1
  • Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità
  • Per un circuito simmetrico vale anche A=D
  • Assenza di perdite: A e D reali, B e C immaginari puri
matrice abcd normalizzata
Matrice ABCD Normalizzata
  • In tal caso tutti i coefficienti sono adimensionali
matrice di diffusione s di un 2 porte
Matrice di diffusione (S) di un 2 porte
  • Definiamo quantità legate alle ampiezze delle onde incidenti e riflesse
  • In tal caso vale (se consideriamo le tensione e le correnti normalizzate alle due porte)
  • La matrice S è quella che lega le ampiezze delle onde riflesse a quelle delle onde incidenti
matrice di diffusione s di un 2 porte1
Matrice di diffusione (S) di un 2 porte
  • Cioè, s11 è legato al coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la due è chiusa su carico adattato (non c’è onda riflessa a2);
  • Cioè, s21 è legato al coefficiente di trasmissione dalla porta 1 alla porta 2 quando la due è chiusa su carico adattato
  • La matrice S è definita quindi solo quando si specifichino le impedenze caratteristiche delle linee che portano l’onda ai terminali dell’oggetto da caratterizzare, ovvero le impedenze di normalizzazione
  • La matrice S si definisce perché misurabile anche (e soprattutto) a frequenze di microonde
matrice di diffusione s di un n porte
Matrice di diffusione (S) di un n porte
  • definiamo
  • con
  • Oppure (il che è lo stesso)
  • La matrice S è
  • I cui elementi
  • Notate che, nel caso molto comune di normalizzazione di tutte le porte ad una sola impedenza caratteristica (tipicamente 50 W) questa diventa
  • Cioè proprio i coefficienti di riflessione e trasmissione quando le porte sono chiuse sull’impedenza di normalizzazione
matrice di diffusione s di un n porte1
Matrice di diffusione (S) di un n porte
  • Ma perché usare tale normalizzazione? Se calcoliamo la potenza media che incide alle porte
  • E la potenza riflessa
  • Quindi con tale definizione le quantità sono legate all’energia trasportata dal campo elettromagnetico
  • La potenza netta entrante nel circuito sarà pari alla differenza tra potenza incidente e riflessa, sommata su ciascuna porta
  • Ma sappiamo che
  • quindi
matrice di diffusione s di un n porte2
Matrice di diffusione (S) di un n porte
  • In assenza di perdite, tale potenza deve essere nulla per qualunque insieme di eccitazioni a per cui
  • Condizione di assenza di perdite (Unitarietà di S)
  • La reciprocità invece implica che S sia simmetrica
  • Consideriamo un due porte simmetrico e senza perdite: vediamo qual è il numero minimo di parametri necessari a caratterizzarlo; la matrice S è 2x2
  • Nel definire la matrice S, dobbiamo specificare il piano di riferimento di fase si ciascuna porta: in pratica dobbiamo per esempio specificare in un dispositivo ad una porta, in quale sezione della linea di alimentazione il coefficiente di riflessione è misurato. Se la linea è senza perdite, il cambiamento della sezione comporterà solo un cambiamento della fase del coefficiente di riflessione
  • Possiamo quindi sempre scegliere un piano di riferimento per cui la fase di s11 sia zero, cioè s11 sia reale
propriet di un 2 porte simmetrico senza perdite
Proprietà di un 2 porte simmetrico senza perdite
  • La condizione di assenza di perdite porta a
  • Possiamo porre, parametrizzando
  • con
  • Quindi abbiamo un solo parametro indipendente
propriet di un 3 porte simmetrico reciproco senza perdite
Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite
  • Immaginiamo di avere un 3 porte con simmetria rotazionale, così che s11=s22=s33
  • Anche in questo caso scegliamo il piano di riferimento per ottenere s11 reale; la matrice diventa
  • Imponendo l’assenza di perdite otteniamo
  • Che NON AMMETTE SOLUZIONI PER a=0
propriet di un 3 porte simmetrico reciproco senza perdite1
Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite
  • Quindi un tre porte simmetrico, reciproco e senza perdite non può essere adattato simultaneamente a tutte le porte
  • Può esserlo, invece, un 3 porte non reciproco, o uno con perdite
  • Un particolare 3 porte non reciproco estremamente importante nella pratica è il circolatore
  • Di fatti possiamo dimostrare che 3 porte adattato, senza perdite non reciproco è necessariamente un circolatore
  • Infatti la matrice S di un 3 porte adattato è
  • Imponendo l’assenza di perdite otteniamo le equazioni
  • Che sono soddisfatte se
  • Chiaramente non reciproco
  • Oppure se
circolatore

1

2

1

2

1

2

TX

3

3

3

RX

Circolatore
  • Le due possibili soluzioni corrispondono a due possibili circolatori, uno che consente flusso di potenza in senso orario e l’altro in senso antiorario
  • La prima soluzione quindi descrive un circuito che trasmette potenza dalla porta 1 alla 2, o dalla 2 alla 3 o dalla 3 alla 1, ma non in direzione opposta o tra porte non contigue
  • Esempio possibile utilizzo: radar in cui la stessa antenna è usata sia in trasmissione che in ricezione
propriet di un 4 porte reciproco senza perdite adattato alle porte
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
  • In tal caso la matrice è
  • Imponiamo l’assenza di perdite
  • E sottraendo
  • E sottraendo
  • Le due possono essere soddisfatte se S14=S23=0: ACCOPPIATORE DIREZIONALE
  • I prodotti per gli elementi diagonali danno poi
propriet di un 4 porte reciproco senza perdite adattato alle porte1
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
  • Che implica
  • Possiamo scegliere il piano di riferimento in modo che S12 sia reale
  • Inoltre, considerando che S13 ed S24 hanno stesso modulo, in forma polare scriviamo
  • Ora valutiamo l’equazione che viene dal moltiplicare riga 2 e colonna 3
  • Cioè, sostituendo
  • Due scelte particolari si incontrano nella pratica
  • Accoppiatore simmetrico o a quadratura di fase, la cui matrice S è quindi
  • Notate che, in questo caso, oltre alla simmetria della matrice imposta dalla reciprocità, essa è simmetrica anche rispetto alla diagonale secondaria, indicando un circuito con un piano di simmetria
propriet di un 4 porte reciproco senza perdite adattato alle porte2
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
  • Accoppiatore antisimmetrico, la cui matrice S è quindi
  • Notate infine che a e b non sono indipendenti, infatti
  • Ora, analizzando in dettaglio le altre possibili soluzioni, si perviene o a riconsiderare lo stesso caso sin qui analizzato, o ad ottenere il caso S12=S13=S24=S34=0, cioè 2 due porte disaccoppiati ed indipendenti
  • Quindi, escludendo quest’ultimo caso - di nessun interesse- ogni 4-porte reciproco e senza perdite adattato si comporta come un accoppiatore direzionale.
  • e l’accoppiatore direzionale in quadratura di fase deve per forza essere simmetrico.
propriet di un 4 porte reciproco senza perdite adattato alle porte3

1

2

4

3

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
  • quindi, schematicamente, un accoppiatore ideale cede potenza alla porta accoppiata in ragione del fattore di accoppiamento (coupling factor)
  • mentre cede tutta la potenza rimanente alla porta diretta
  • La porta rimanente è disaccoppiata o isolata

accoppiata

isolata

accoppiatori

Nella pratica caratterizzano un accoppiatore:

Accoppiatori
  • Accoppiamento
  • Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta accoppiata
  • Isolamento
  • Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta isolata
  • Direttività
  • Cioè, capacità dell’accoppiatore di isolare onde che vanno in una direzione e nella direzione opposta
  • Se la potenza in ingresso si divide tra porta diretta ed accoppiata in parti uguali (1/2 della potenza va sulla 2 ed 1/2 sulla 3), ovvero se il fattore di accoppiamento è 3dB, si parla di ibridi. In tal caso
  • In tal caso, la matrice S per un ibrido ideale a 90° è
  • mentre, la matrice S per un ibrido ideale a 180° è
divisore di potenza a t

E’ un semplice 3 porte per divisione o combinazione potenza

Divisore di potenza a “T”
  • Essendo reciproco e senza perdite, non può essere adattato a tutte le porte
  • B è una suscettanza che tiene conto dei campi dovuti alla discontinuità
  • Volendo adattare alla porta di ingresso, la condizione è che
  • I valori di Z1 e Z2 possono poi essere scelti per avere diversi rapporti di divisione. Chiaramente le 2 porte rimanenti non possono essere adattate
  • Trascuriamo inizialmente B, e consideriamo a la frazione trasmessa alla porta 1 ed 1- a quella alla 2; essendo la porta di ingresso adattata otteniamo
  • Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2
slide18

Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2

  • Ed il coefficiente di riflessione diviene
divisore resistivo

Si può adattare alle porte, anche se le porte di uscita non sono isolate

Divisore resistivo
  • Analizziamo il caso di divisore con fattore 1/2
  • L’impedenza vista in uno dei rami di uscita
  • Quindi, considerando i due rami di uscita in parallelo, deve essere
  • Essendo il 3 porte simmetrico, lo stesso avviene guardando nella porta 2 o nella porta 3: S11=S22=S33=0
  • Se la tensione alla porta 1 è V1, la tensione al centro (V) è
  • E le tensioni di uscita
  • Per cui S21=S31=S23=1/2, ovvero -6dB
  • Appare chiaro che metà della potenza è dissipata nei resistori
divisore wilkinson

E’ un divisore che utilizza resistori, ma

Divisore Wilkinson
  • Se le porte sono adattate, nessuna potenza viene dissipata: solo la potenza riflessa è dissipata
  • Consente di ottenere isolamento tra le porte di uscita; studiamo quello a 3dB
  • Per studiarlo, normalizziamo tutto a Zo e ridisegniamo evidenziando le simmetrie
divisore wilkinson1

Possiamo studiarlo sfruttando la sovrapposizione degli effetti

Divisore Wilkinson
  • Se volessimo infatti sapere la risposta del circuito quando alla porta 2 applichiamo un generatore Vg2=4V mentre la porta 3 (Vg3) è lasciata a 0
  • potremmo prima studiare il caso in cui applichiamo Vg2=Vg3=2V e poi il caso Vg2=-Vg3=2V: la somma dei due casi produce il risultato desiderato
  • Calcolare la risposta a tali eccitazioni particolari (simmetrica ed antisimmetrica, ovvero pari e dispari) è più semplice, poiché la simmetria del problema consente di ridurre, come vedremo il 2-porte a 2 singole porte indipendenti
  • Questa è una proprietà del tutto generale dei circuiti con simmetrie, per cui si possono trovare insiemi di eccitazioni, o autoeccitazioni, che decompongono il problema a N porte in N problemi ad una porta
  • Consideriamo i due problemi indipendentemente, a partire dall’eccitazione pari
divisore wilkinson2

1

1

  • Se Vg2 e Vg3 sono uguali, le tensioni V2 e V3 sono uguali

2V

Divisore Wilkinson
  • Quindi non fluisce corrente nel resistore, che possiamo togliere

2V

  • Anche nel nodo di ingresso non fluisce corrente: è di fatto un circuito aperto
  • In pratica c’è uno zero di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria: si parla di muro magnetico
  • Il circuito risulta quindi un semplice tratto di linea in quarto d’onda chiuso su resistenza 2, per cui guardano nella porta 2 si vede un’impedenza
  • E chiaramente scegliendo Z pari alla radice di 2, si vede in ingresso 1, cioè adattamento; quindi
  • Ora ci occorrono V1 e V2: sappiamo che l’impedenza che vediamo nel nodo di V2 è 1: quindi abbiamo un partitore resistivo, e V2 risulta
  • Per conoscere V1, ricordiamo che si tratta di un tratto di linea in quarto d’onda, in cui V(0)=V=V++V-
divisore wilkinson4

Trattiamo il caso dispari: Vg2 e Vg3 sono uguali e opposte

2V

Divisore Wilkinson
  • In pratica c’è un massimo di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria, ovvero uno zero di tensione sul piano di simmetria: si parla di muro elettrico

-2V

  • Il circuito risulta quindi quello di partenza in cui tutti i nodi centrali sono stati rimpiazzati da un corto a massa
  • Ora, il corto della porta 1, dopo un quarto d’onda diventa un aperto, e “vediamo” solo r
  • E vediamo che quindi se r=2, il coefficiente di riflessione è nullo, cioè
  • Chiaramente ora risulta
divisore wilkinson5

Per vedere cosa succede alla porta 1, ci comportiamo in modo simile al caso pari, infatti il circuito appare così

Divisore Wilkinson
  • il resistore non è attraversato da corrente (quindi lo possiamo togliere) e si tratta di due tratti in quarto d’onda, ciascuno che vede un’impedenza di ingresso normalizzata pari a
  • che posti in parallelo danno di nuovo impedenza 1, cioè adattamento (S11=0)
  • Ora, per riottenere la matrice S complessiva, bisogna ricombinare i risultati ottenuti, “pesandoli” con le eccitazioni ipotizzate
  • in particolare, sappiamo che S22 ed S33 saranno 0, visto che lo sono sia nel caso pari che nel caso dispari, così come 0 sarà S23=S32, visto che sia nel caso pari che dispari le porte 2 e 3 sono disaccoppiate
divisore wilkinson6

grazie al fatto che, in questo caso, tutte le porte sono adattate se chiuse sull’impedenza di normalizzazione

  • Per S12 avremmo
Divisore Wilkinson
  • e, per simmetria (porte 2 e 3 interscambiabili)