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拉普拉斯变换

第九章. 拉普拉斯变换. 定义 9.1 设函数 f ( t ) 当 时有定义，而且积分 在复数 s 的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为 F ( s )=L[ f ]( s )= . 称为函数的 f ( t ) 的 拉普拉斯变换式 ， F ( s ) 称为 f ( t ) 的 拉普拉斯变换 ( 或称为 象函数 ). §9.1 拉普拉斯变换定义. 若 F ( s ) 是 f ( t ) 的拉普拉斯变换，则称 f ( t ) 为 F ( s ) 的 拉普拉斯逆变换 ( 或称为 原象函数 ) ，记作

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拉普拉斯变换

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  1. 第九章 拉普拉斯变换

  2. 定义9.1设函数f(t)当 时有定义，而且积分 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为 F(s)=L[f](s)= . 称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为象函数). §9.1 拉普拉斯变换定义 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作 f(t)= L-1 [F](t).

  3. 例9.1求阶跃函数u(t)= 的拉普拉斯变换. L[u](s)= L[f](s)= 即 L[eatu(t)](s)= , Re(s)>Re(a) 解： 例9.2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数. 解： 当Re(s)>Re(a)时，

  4. 解：L[tn](s)= 当n=1时 L[t](s)= 当n=2时，有 L[t2](s)= L[tn](s)= 例9.3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中n是正整数. 用分部积分法，得 所以有 L[tn]= L[tn-1].

  5. 定理9.1若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任意有限区间上分段连续； (2) 存在常数M>0与00，使得 即当t时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉斯变换 在半平面Re(s)> 0上存在，右端的积分在闭区域Re (s) > 0上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re (s) > 0内，F(s)为解析函数.

  6. 证明： 设=Re(s), ，则由条件(2)有 所以 在Re(s) 上存在. 右端积分在Re(s) 上也是绝对且一致收敛.

  7. 所以， 在 上可导. 由的任意性知, 在 上存在，且为解析函数. 定理得证. 积分与微分的次序可以交换，于是有 由拉普拉斯变换的定义，得

  8. 解：当 时，有 例9.4求正弦函数sinkt的拉普拉斯变换，其中k为实数. 余弦函数coskt的拉普拉斯变换

  9. 例9.5 求周期为2a的函数 • 的拉普拉斯变换. 令 ，则有 解：由拉普拉斯变换的定义，有

  10. 所以， 记 . 当 时，有 因此有 根据函数的定义，有

  11. 故有

  12. 单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换 例9.6 求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换. 解：

  13. 定理9.2对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立.定理9.2对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立. (1)（线性性质）设，为常数，记 ， ，则有 或有 (2)（延迟性质）若 ，则对 ，有 或有 (3)（位移性质）记 .对常数s0，若 ，则有 §9.2 拉普拉斯变换的性质

  14. 当t<0时，有 ，所以当 时， 因此有 证明： 性质1说明函数的线性组合的拉普拉斯变换等于各函数的拉普拉斯变换的线性组合. 证明性质2

  15. 例9.7 求函数的拉普sint拉斯变换，其中为实数. 解：

  16. 例9.8 求 的拉普拉斯变换. 例9.9 求 . 解： 解：

  17. 例9.10求函数 的拉普拉斯变换. 解：阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换为 根据延迟性质，有

  18. *例9.11 设 是周期为T的函数，其中 ，即是指 ， ， ， .求 的拉普拉斯变换. 解：定义函数 记 由延迟性质，有

  19. 当 时，有 ，所以上式括号内是一个公比的模小于1的等比级数，从而有

  20. 定理9.3 (微分性质）记 ，则有 其中 . 同时我们还有 证明：由拉普拉斯变换的定义，有 由分部积分公式，得

  21. 推论9.1记 ，则有 例9.12 求函数 的拉普拉斯变换， 其中为常数. 解：由于 故有 再由线性性质，有

  22. 定理9.4（积分性质） ，则有 若积分 收敛，则 的拉普拉斯变换存在，且有 证明：记 ，则有 ，且 .

  23. 例9.13 求函数 的拉普拉斯变换. 解：

  24. 定理9.5 *（初值定理）记 . 如果极限 存在，则有 其中 . 根据假设， 存在，所以 也存在， 而且两者相等. 证明：根据拉普拉斯变换的微分性质定理9.3，有

  25. 又因为拉普拉斯变换存在定理所述的关于积分的一致收敛性，从而容许交换积分与极限的次序，所以有又因为拉普拉斯变换存在定理所述的关于积分的一致收敛性，从而容许交换积分与极限的次序，所以有

  26. 定理9.6 *（终值定理）记 .如果 存在，且 的所有奇点在左半平面 ， 其中0是函数f的增长指数，则有 证明：由定理的条件以及微分性质定理9.3，有 两边关于s取极限，得 又因为

  27. 故有 即是

  28. 当f和g满足条件： 时， ，则上式可表示为 卷积定理

  29. 定义9.2设函数f和g满足条件： 时， ，定义f和g的卷积为 例9.14 计算函数 和 的卷积. 解：

  30. 定理9.7（卷积定理）设函数f(t)和g(t)满足拉普拉斯变换存在定理的条件，记 ， ，则 的拉普拉斯变换一定存在，且有 或是 证明：容易得到 满足拉普拉斯变换存在定理的条件，其变换式为

  31. 作变量替换 ，则有 故有

  32. 函数 的拉普拉斯变换实际上就是函数 的傅里叶变换，其中 是阶跃函数. 当函数 满足傅里叶变换定理的条件时，对于 而函数 在该点连续，有 §9.3 拉普拉斯逆变换

  33. 两边同时乘以 ，则对 ，有 令 ，则有 从象函数F(s)出发求原象函数f(t)的一般公式. 右边的积分称为拉普拉斯变换的反演积分.

  34. 定理9.8 记 .如果函数的全部奇点s1，s2，…，sn都位于半平面 ，其中σ为一个适当的常数，且当 的极限为零，则对 ，有 证明： 作如图所示的闭曲线 ，其中 是半圆周，位于区域 内，L为直线 当R充分大时，闭曲线所围的区域包含F(s)的所有奇点.因为函数 在整个复平面上解析，所以函数 的奇点就是F(s)的全部奇点.

  35. 令R+，当t>0时，上式左端第二个积分的极限为零，即令R+，当t>0时，上式左端第二个积分的极限为零，即 根据留数定理，有 即 故有

  36. 例9.15 求函数 的拉普拉斯逆变换. 解：函数F(s)有两个单极点 和 所以，当t>0时，有

  37. 例9.16 求函数 的拉普拉斯逆变换. 解：由拉普拉斯逆变换公式，有 由拉普拉斯变换的位移性质，有 所以 因此

  38. 例9.17 求初值问题 • 在区间 上的解. 解：记 .在第一式两边取拉普拉斯变换，得 *§9.4 拉普拉斯变换的应用 解代数方程，有

  39. 其中 求拉普拉斯逆变换，得 应用拉普拉斯变换求常系数线性微分方程问题的主要步骤有： 1.对方程两边取拉普拉斯变换，利用初值条件得到关于像函数F(s)的代数方程； 2.求解关于F(s)的代数方程，得到F(s)的表达式； 3.对F(s)的表达式取拉普拉斯逆变换，求出f(t) ，得微分方程的解.

  40. 例9.18 求方程组 • 满足初始条件 的解. 解：记 .对方程组两边取拉普拉斯变换，并考虑初始条件，则有

  41. 将方程组整理化简得 解代数方程组，得 Y(s)的原像函数

  42. 具有两个二阶极点： ， 所以，方程组的解为

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