Открытая олимпиада

1. Открытая олимпиада Разбор задач

2. Перестроение Автор задачи:Михаил Густокашин, МГУ Разработчик: Антон Полднев, МГУ

3. Частичные решения • Только буквы a, b, c (30 баллов). • Перебор (30 баллов → 100 баллов). • Паросочетания (60 баллов).

4. Простое полное решение Предположим, что буквы в строке отсортированы. Тогда можно просто циклически сдвинуть строку на  Соответственно, получим решение для произвольной строки: отсортировать буквы, запомнив их первоначальное положение, сделать циклический сдвиг на затем восстановить испорченный сортировкой порядок символов.

5. Берляндолимпстрой Автор задачи: Михаил Пядёркин, МГУ Разработчик: Александр Тимин, МФТИ

6. Постановказадачи • Естьмассивчисел. Онраззаменяетсянамассивсвоихпрефиксныхсумм • В некоторый ненулевой моментмыможемдобавить к какому-нибудьэлементучисло • Необходимо сделать так, чтобы в результатеитоговаясуммаувеличиласьровнона

7. Решение на 30 баллов • Еслимызнаем,в какой момент и где мыдобавиливеличину, томызнаем, насколькоизмениласьитоговаясумма • Переберем элемент таблицы и значение после этого промоделируем процесс и получим 30 баллов

8. Решение на60 баллов • От исходных чисел в массиве ничего не зависит, а величина прямо пропорциональна • Переберем момент, в который мы изменим число. Пустьпридобавленииединицыитоговаясуммаизменяетсяна. Тогда, еслиделитсяна, то – кандидатнаответ. • Средивсехтакихкандидатоввыбратьминимальный.

9. Решениена 60 баллов • Как быстропосчитатьизменениеитоговойсуммыпридобавленииединицы? • В следующиймоментвремени у всехобъектов с не меньшимномеромстоимостьувеличитсяна 1 • Тогдаесли– изменениеитоговойсуммы, вызванноедобавлениемединицы в -тыйэлементмассива в моментвремени, то • Посчитатьэтоможнозаразмер таблицы – аналогично префикснымсуммам

10. Решениена 100 баллов • Заметим, чтобыстро (экспоненциально)растут, а длятого, чтобыполучитькандидатанаответ, тонадо, чтобыбылонебольшеизменениясуммы • Возможныхпозицийтаких, что, мало. • Таккак> , > , токартинкавыглядиттак • Этопозволяетнамбыстроперебирать: идемснизу-вверх, справа-налево, когдачисло в строкеслишкомбольшое, тозаканчиваемобработкустроки • на самом деле равно

11. Транспортные потоки Автор задачи: Ивлев Фёдор, МГУ Разработчики: Ахмедов Максим, МГУ Пядёркин Михаил, МГУ

12. Решение на 20 баллов • Разберёмся, как может происходить изменение порядка следования автобусов • Предположим, автобус, отправлявшийся -ым от первой остановки, приехал на вторую остановку позже, чем надо, например, -ым, где .

13. Решение на 20 баллов • Оставшиеся автобусы обязаны соблюсти расписание. • Первый из оставшихся автобусов приезжает как можно раньше, и ждёт первого времени, указанного на второй остановке. • Следующий прибывает тоже как можно раньше, и ждёт второго времени, указанного на остановке и так далее. • Необходимо, чтобы для всех от до было верно, что , условия для остальных автобусов выполняются гарантированно.

14. Решение на 20 баллов. • Тем самым, все автобусы от додолжны успевать приехать на одну позицию раньше своей. • Найдем для каждой позиции из расписания максимальное подходящее – это будет ответ для -ого автобуса, отходящего от первой остановки, который мы обозначим • Общая сложность решения – .

15. Решение на 40 баллов • Заметим, что массив можно строить за линейное время. • Назовём автобус «тормозящим», если он не успевает приехать на одну позицию раньше по расписанию, т. е. . • Заметим, что равняется такому минимальному , что автобус – «тормозящий», либо , если такого нет. • Находим все «тормозящие автобусы», за один проход строимзначения . • Общая сложность решения – .

16. Решение на 60 баллов • Назовём для двух соседних остановок массив , построенный в предыдущих решениях, отображением. • Заметим, что выполняется . • Также для верно, что . • Обозначим за []отображение между и остановкой.

17. Решение на 60 баллов • Для того, чтобы приехать как можно позже -ому автобусу с -ой остановки на -ую, ему нужно между каждой парой соседних остановок опаздывать по максимуму. • Иными словами, его позиция на-ой остановке определяется как • Иными словами, на-ю остановку он может приехать самое позднее -ым. • Картинка на следующем слайде.

18. Решение на 60 баллов • Верхний путь между соседними остановками каждый раз переходит жадно, по максимальному опозданию. • В силу того, чтодля пары остановок отображение – возрастающеелюбой нижний путь ни на каком отрезке не может стать выше верхнего.

19. Решение на 60 баллов • Построим все отображения за время , как описано в решении на 40 баллов. • Ответ на один запрос можно найти за , проходя от -ой остановки до -ой,и считая текущую позицию по правилу . • Общая сложность решения – .

20. Первое решение на 80 баллов • Задача свелась к тому, чтобы научиться быстро считать значение , где это композиция отображений на полуинтервалеот до . • Воспользуемся методом двоичных подъёмов. Посчитаем вспомогательные отображения –то есть, для каждой остановки посчитаем отображение из неё в остановку на расстоянии . • Это можно сделать по формуле

21. Первое решение на 80 баллов • Теперь стало возможным отвечать на запрос за время методом двоичных подъёмов: будем перебирать длину очередного прыжка сверху вниз. Если на очередном шаге имеется возможность сделать прыжок, и не выйти при этом за , делаем его. • Время построениявспомогательных отображений – • Ответ на один запрос за время . • Общая сложность –

22. Второе решение на 80 баллов • Воспользуемся идеей дерева отрезков отображений. • Построим на остановках дерево отрезков. • Для вершины , отвечающей за полуинтервал построим отображение, т. е. отображение из левой границы её поддерева в правую границу её поддерева.

23. Второе решение на 80 баллов • Дерево отрезков позволяет разбить отрезок на не более отрезков, на каждом из которых мы знаем отображение. Пройдём по ним и возьмём результат композиции этих отображений. • Построение дерева отрезков происходит за . • Ответ на один вопрос за . • Общая сложность решения –

24. Полное решение • Ответим на все запросыoffline, т. е. разом. • Рассмотрим граф, где вершинами являются записи в расписании, т. е. пары , где – остановка, а – номер автобуса. Проведём ребро из вершины в вершину . • Заметим, что полученный граф выглядит как лес, где рёбра направлены от потомка к предку.

25. Полное решение • Запрос можно переформулировать как «найти для вершины в лесу её -ого предка». • Структура запросов в пятой группе такова, что мы сразу знаем, какие запросы будут связаны с каждой вершиной. • Обойдём граф в глубину, поддерживая стек вершин. Тогда предок глубины для текущей вершины – это -ая сверху вершина в стеке. • Общая сложность решения – .

26. Силовое поле Автор: Шестимеров Андрей, МГУ Разработчик: Ахмедов Максим, МГУ

27. Решение на 30 баллов • Треугольник определяется тремя прямыми, на которых лежат его стороны. • Если на прямой лежат две точки, то на ней лежит сторона треугольника.Найдём эти прямые. • Мы можем посчитать количество точек, лежащих на прямой, как , где и – количество точек слева и справа от прямой. • Переберём все возможные пары точек, в пределах от до . Их, сделаем запрос про каждую прямую и найдем три нужные

28. Решение на 60 баллов • Научимся проверять за один запрос, расположена ли в точке станция-ретранслятор. С помощью этого проверим все допустимые точки. • Проверить, есть ли в точке станция можно, проведя через точку “косую” прямую, на которой не лежат никакие другие целочисленные точки в квадрате с координатами от до . • Например, такой прямой для точки является прямая через точки и .

29. Важное соображение • Можно найти -координаты всех точек. • Обозначим заколичество точек справа от вертикальной прямой . • Упорядочим точки по -координате. Обозначим -координату -ой (в нумерации с единицы) точки за . • Очевидно, функция – неубывающая. • Мы можем найти с помощью бинарного поиска по функцииравняется минимальному , удовлетворяющему условию • Тем самым, мы можем найти-координаты всех точек за запросов.

30. Полное решение №1 • Найдём-координаты и -координаты всех точек. Тем самым по определим точек, среди которых находятся станции-ретрансляторы. Они образуют «сетку» на плоскости. • Станции-ретрансляторы на этой сетке образуют выпуклый многоугольник. Можно попытаться его «обойти» за , найдя при этом все вершины.

31. Полное решение №1 • Будем обходить точки многоугольника против часовой стрелки. • Найдём с помощью косой прямой самую верхнюю, самую нижнюю, самую левую и самую правую вершину многоугольника. Они разбивают его на четыре дуги. • Стартуем из самой верхней вершины. Вплоть до самой левой вершины многоугольника -координата каждой очередной вершины будет всё меньше и меньше

32. Полное решение №1 • Понимаем, есть ли на текущей горизонтальной прямой ещё точки слева с помощью косой прямой: пока над косой прямой больше точек, чем над текущей горизонталью, сдвигаемся вправо, иначе – вниз. • Аналогично обойдём оставшиеся три дуги. • Итоговое количество запросов – (в решении жюри ), что не превосходит запросов.

33. Полное решение №2 • Мы умеем находить -координаты точек, или, что то же самое, проводить через каждую точку вертикальную прямую. • Заметим, что то же самое можно сделать и с косыми прямыми, параллельными вектору • По направлению перпендикулярно вертикальной прямой точки идут в таком же порядке, как и по направлению перпендикулярно косойпрямой. • Значит можно найти -ую точку многоугольника как пересечение -ой найденной вертикальной прямой с -ой найденной косой прямой.

34. Полное решение №2 • Для бинарного поиска необходимо уметь брать – количество точек справа от -ой по порядку прямой. • Заметим, что раз уравнение такой прямой имеет вид , прямая однозначно задаётся значением , то есть точкой пересечения с координатной осью • Бинпоиск по косым прямым фактически будет бинпоиском по свободному коэффициенту уравнения косой прямой. Зафиксировав очередную прямую надо не забыть выбрать на ней две точки, с координатами от до , для этого нужно положить . Тогда .

35. Полное решение №2 • Оценим количество запросов. • Количество косых прямых, пересекающих квадрат допустимых точек – , так как каждая прямая задаётся своим свободным коэффициентом в уравнении , а крайние положения прямой – при , где принимает значение порядка . • Тем самым общая сложность решения –.

36. Небольшое улучшение решения №2 • Можно заметить, что на -ом шаге нас интересуют только косые прямые, пересекающие -ую вертикальную прямую, а их – штук.Бинпоиск по косым прямым можно пускать только среди них. • Получилось решение за , которое при данных ограничениях на и делает запросов.

37. Соревнованиепораспилу Автор задачи: Глеб Евстропов, МГУ Разработчик: Александр Тимин, МФТИ

38. Постановказадачи • Пусть обозначает общее число участников в -ом туре, задано • Нужно выбрать такие,что – максимальнои длякаждойпарысоседнихчисел, можновыбрать такиечто, ,

39. Некотороенаблюдение • , • – делитель • Тоестьколичествоучастниковуменьшаетсякакминимумнаминимальныйделитель • Мы хотим, чтобыбылопроведенокакможнобольшетуров • То естьнамнадопостараться, чтобыучастникивыбываликакможномедленней

40. Алгоритм • Если то мы можем провести один тур • Пустьу насестьучастников и этоминимальныйнетривиальный делитель • Тогдапроведемтурследующимобразом: подгрупппочеловек, в каждой подгруппе в следующийтур проходят • Выбыло, меньше человек в первом туре выбыть не может

41. Доказательствокорректностив случае, если – четное • Пустьчетное. Тогдаегоминимальныйделитель – . • Тоесть в следующийтурпроходят человека – четноеколичество. • Общим числом туров (ответом задачи) в этом случае будет являться число. Большебытьнеможет, таккак в каждомтуревыбываеткакминимумдвачеловека.

42. Доказательствокорректностив случае, если – нечетное • Пустьнечетное. Тогдаегоминимальныйделитель – нечетноечисло. • Тогда в следующийтурпройдетчеловек – четноеколичество • Дальшеколичествоучастниковвсегдачетное • Ответ: • На 100 баллов поискминимальногоделителятребуется производить за корень из

43. Несостоявшийся программист Автор задачи: Александр Тимин, МФТИ Разработчик: Роман Андреев, СПбГУ

44. Каждому набору соответствует подпоследовательность цифр числа , обладающая определёнными свойствами. Назовём такую подпоследовательность хорошей. Состоит только из цифр от 1 до 8. Возрастает. Заканчивается в последнем символе. Начинается не в первом символе. Между любыми соседними элементами есть хотя бы одна цифра. После каждого элемента стоит не 0. Число не начинается с нуля.

45. Пример из условия

46. — 60 баллов Если равно нулю, то ответ – ноль. Иначе, пусть— количество хороших последовательностей, заканчивающихся в -м элементе. если от 1 до 8, и 0 иначе. Найдём остальные , зная предыдущие. for i = 1..L: x = s[i] if x ≠ 0 and x ≠ 9 and (i = L or s[i + 1] ≠ 0): cnt[i] = (i > 0 and s[1] ≠ 0)? 1 : 0 for j = 1..i-2: if s[j] < x: cnt[i] = (cnt[i] + cnt[j]) modM

47. — 100 баллов Пусть — общее количество хороших последовательностей, заканчивающихся на позиции или раньше, причём на цифру или меньшую и таких, после которых идёт не 0. Тогда при иот 1 до 8имеем: И, возможно, +1, если и В конце каждого шага насчитываемдля всех от 1 до 8

48. Две башни Автор задачи: Андрей Шестимеров, МГУ Разработчик: Антон Полднев, МГУ

49. Насколько большим может быть ответ? Каждая башня отнимает у каждого монстра хотя бы одну жизнь. Следовательно, все монстры с 1 и 2 жизнями умрут, зато каждый монстр с хотя бы 3 жизнями продвинется дальше предыдущего. Значит, оценка сверху на номер первого прорвавшегося монстра — . Тогда оценка на ответ — Например, на тесте 1000 0 500 501 1000 ответ — 3501.

50. K, D ≤1 000 — 30 баллов Самое простое моделирование. Заведём массив от 0 до , в каждой ячейке которого будем хранить количество жизней монстра. На -м шаге за сдвинем всю армию вправо, в нулевую ячейку пишем . Если в -й ячейке >0, то — это ответ. Иначе для каждой башни за ищем самого правого живого монстра и убавляем ему жизнь. Время работы — .