第 3 课时算术平均数与几何平均数

第3课时算术平均数与几何平均数 • 要点·疑点·考点 • 课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析

1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) (a，b∈R+)； (3) (ab＞0)； (4) (a，b∈R). 以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则．其中当且仅当a＝b时取等号. 要点·疑点·考点

4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件. 返回

课前热身 1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( ) (A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( ) (A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定 A A

3．下列函数中，最小值为4的是( ) (A) (B) (C) (D) 4.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______. C 2 16

5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) 的地方。 (A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里 A C

1.设a，b，c都是正数，求证： 能力·思维·方法【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立.

2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求的最小值； (2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0. 求x+y的最小值. 【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y). 求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围.

3.已知正数a、b,满足a+b＝1. 求证： 【解题回顾】”平均不等式“的变式有着广泛的应用，此外函数f(x)＝x+a/x(a＞0)的性质应熟记. f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数.在研究此函数的值域时，应先确定它的定义域，若x＝a/x成立，则可由极值定理求极值；若x＝a/x不成立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.

4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计). a+2b+ab=30得到 a=6，b=3 【解题回顾】本题是有关不等式实际应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值.

延伸·拓展 5、某种汽车，购买费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车维修费用第一年为2千元，第二年为4千元，第三年为6千元…….，依等差数列逐年递增，问：这种汽车多少年后报废最合算（即使用多少年时年平均费用最少）？

延伸·拓展 6、试确定实数a的取值范围，使对一切实数x, 不等式x4+(a-1)x2+1≥0恒成立。 [-1，+∞）【解题回顾】法一用换元法转化为二次方程实根分布；法二将字母与实数分离，然后再将原问题转化为求函数式的最值.

误解分析 (1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错. (2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错. 返回

第 3 课时 算术平均数与几何平均数