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4-4 矩阵的逆

4-4 矩阵的逆. 一、 问题的提出. 二、逆矩阵的概念和性质. 三、逆矩阵的求法. 四、小结. 一 . 问题的提出 已知矩阵的运算 : 1. 矩阵的加法 2. 矩阵的乘法 3. 数乘矩阵 4. 矩阵的减法 问题：能否定义矩阵的除法运算？. 当数 时，. 单位阵 相当于数的乘法运算中. （或称 的逆）；. 其中 为 的倒数，. 如果存在一个矩阵 ,. 那么，对于矩阵 ，. 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 把除法运算理解成乘法运算的逆运算. 有.

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Presentation Transcript

  1. 4-4 矩阵的逆 一、问题的提出 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结

  2. 一.问题的提出 已知矩阵的运算: 1.矩阵的加法 2.矩阵的乘法 3.数乘矩阵 4.矩阵的减法 问题：能否定义矩阵的除法运算？

  3. 当数 时， 单位阵 相当于数的乘法运算中 （或称 的逆）； 其中 为 的倒数， 如果存在一个矩阵 , 那么，对于矩阵 ， 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 把除法运算理解成乘法运算的逆运算 有 在数的运算中， 在矩阵的运算中， 的1， 使得

  4. 引例 已知线性变换 用 把 表示出来，若记 则线性变换可表示为

  5. 解出 ，则得线性变换 若记 由矩阵相乘可知：

  6. 一般的，设给定一个线性变换 ，若记 它的系数矩阵是一个 阶矩阵

  7. 则上述线性变换可表示为 ，则由上述线性变换可解出 按克拉姆法则，若 即 线性表示为 可用

  8. 其中 ，并且这个表达式是唯一的。 这是从 的线性变换，称为原线性变换的 到 逆变换。 ，则此逆变换也可以记作 若把此逆变换的系数记作 由此，可得 为恒等变换所对应的矩阵，故 可见， 又 ，于是有 因此

  9. 定义7对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，. 例 设 二、逆矩阵的概念和性质 ,使得 定义8并把矩阵B称为A的逆矩阵

  10. 所以 的逆矩阵是唯一的,即 说明若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵， 则有 可得

  11. Def 9. 设矩阵A是n阶方阵 A=

  12. 由其元素的代数余子式Aij组成的矩阵 称为A的伴随矩阵

  13. 若 可逆， 定理3矩阵 可逆的充要条件是 ，且 证明

  14. 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

  15. 推论 证明 逆矩阵的运算性质

  16. 证明

  17. 证明

  18. Theorem4 A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么 • 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) • 证明:由定理2有 • 秩(A)=秩(P-1PA)≤秩(PA)≤秩(A) • 即 秩(A)≤秩(PA) • 同理可证 • 秩(A)=秩(AQQ-1≤秩(AQ)≤秩(A) • 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)

  19. 可逆矩阵的作用 对照着方程 ax＝b, a≠0 时, 有解 x＝a-1 b, 得矩阵方程ＡＸ＝Ｂ, 其中Ａ为可逆矩阵, 有解Ｘ＝Ａ-1Ｂ. 特别, 当Ｂ为ｎ×1 矩阵时, 这正是线性方 程组解的公式的矩阵表示式. 由于矩阵的乘法不满足交换律, 相应地, 对于矩阵方程ＸＡ＝Ｂ, 当Ａ可逆时, 有解Ｘ＝ＢＡ-1,对于矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ,当Ａ,Ｂ可逆时,有解Ｘ＝Ａ-1ＣＢ-1.

  20. 三、逆矩阵的方法 待定系数法 伴随矩阵法 构造法(定义) 初等变换法(以后再讨论)

  21. 例1 设 解 设 是 的逆矩阵, 则 1. 利用待定系数法

  22. 又因为 所以

  23. 例2 求方阵 的逆矩阵. 2、利用伴随矩阵求逆矩阵 解

  24. 同理可得 故

  25. 例3 解

  26. 例4 3.构造(用定义)

  27. 例5 解

  28. 例6 特殊矩阵的逆矩阵 解

  29. 例7 设 用逆矩阵求解矩阵方程 解

  30. 于是

  31. EX1 练习

  32. 解 给方程两端左乘矩阵

  33. 给方程两端右乘矩阵 得

  34. 给方程两端左乘矩阵

  35. 给方程两端右乘矩阵 得

  36. Ex2 解

  37. Ex3

  38. Ex4.若A3=2E,则A2-2A+4E可逆,并求其逆矩阵. 解:由于A3=2E,有A3+8E=10E

  39. Ex5：设A，B为n×n矩阵，证明：如果 AB=0，那么 秩（A）+秩（B）≤n 证明：若|A|≠0,存在A-1,左乘得到 B=0,则 秩（A）+秩（B）=n+0=n 等式成立. 若|A|=0, 秩(A)= r < n, 此时B的每一列向量是Ax=0的解向量, 所以 R(B)≤n-r, 从而 秩（A）+秩（B）≤n 等式成立.

  40. 逆矩阵 存在 四、小结 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的计算方法: (3) 初等变换法 矩阵的乘法不满足消去律, 但是,我们有 若ＡＢ＝ＡＣ, Ａ可逆, 则Ｂ＝Ｃ 注意:不要把Ａ≠Ｏ与│Ａ│≠0 (即Ａ可逆) 混同

  41. 思考题

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