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4-4 矩阵的逆

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4-4 矩阵的逆. 一、 问题的提出. 二、逆矩阵的概念和性质. 三、逆矩阵的求法. 四、小结. 一 . 问题的提出 已知矩阵的运算 : 1. 矩阵的加法 2. 矩阵的乘法 3. 数乘矩阵 4. 矩阵的减法 问题:能否定义矩阵的除法运算?. 当数 时,. 单位阵 相当于数的乘法运算中. (或称 的逆);. 其中 为 的倒数,. 如果存在一个矩阵 ,. 那么,对于矩阵 ,. 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 把除法运算理解成乘法运算的逆运算. 有.

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Presentation Transcript
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4-4 矩阵的逆

一、问题的提出

二、逆矩阵的概念和性质

三、逆矩阵的求法

四、小结

1 2 3 4
一.问题的提出

已知矩阵的运算:

1.矩阵的加法

2.矩阵的乘法

3.数乘矩阵

4.矩阵的减法

问题:能否定义矩阵的除法运算?

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当数 时,

单位阵 相当于数的乘法运算中

(或称 的逆);

其中 为 的倒数,

如果存在一个矩阵 ,

那么,对于矩阵 ,

则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.

把除法运算理解成乘法运算的逆运算

在数的运算中,

在矩阵的运算中,

的1,

使得

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引例 已知线性变换

表示出来,若记

则线性变换可表示为

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解出

,则得线性变换

若记

由矩阵相乘可知:

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一般的,设给定一个线性变换

,若记

它的系数矩阵是一个 阶矩阵

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则上述线性变换可表示为

,则由上述线性变换可解出

按克拉姆法则,若

线性表示为

可用

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其中

,并且这个表达式是唯一的。

这是从

的线性变换,称为原线性变换的

逆变换。

,则此逆变换也可以记作

若把此逆变换的系数记作

由此,可得

为恒等变换所对应的矩阵,故

可见,

,于是有

因此

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定义7对于 阶矩阵 ,如果有一个 阶矩阵

则说矩阵 是可逆的,.

例 设

二、逆矩阵的概念和性质

,使得

定义8并把矩阵B称为A的逆矩阵

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所以 的逆矩阵是唯一的,即

说明若 是可逆矩阵,则 的逆矩阵是唯一的.

若设 和 是 的可逆矩阵,

则有

可得

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若 可逆,

定理3矩阵 可逆的充要条件是 ,且

证明

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按逆矩阵的定义得

证毕

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

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推论

证明

逆矩阵的运算性质

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Theorem4 A是一个s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么
  • 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
  • 证明:由定理2有
  • 秩(A)=秩(P-1PA)≤秩(PA)≤秩(A)
  • 即 秩(A)≤秩(PA)
  • 同理可证
  • 秩(A)=秩(AQQ-1≤秩(AQ)≤秩(A)
  • 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
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可逆矩阵的作用

对照着方程 ax=b, a≠0 时, 有解 x=a-1 b, 得矩阵方程AX=B, 其中A为可逆矩阵, 有解X=A-1B. 特别, 当B为n×1 矩阵时, 这正是线性方 程组解的公式的矩阵表示式. 由于矩阵的乘法不满足交换律, 相应地, 对于矩阵方程XA=B, 当A可逆时, 有解X=BA-1,对于矩阵方程AXB=C,当A,B可逆时,有解X=A-1CB-1.

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三、逆矩阵的方法

待定系数法

伴随矩阵法

构造法(定义)

初等变换法(以后再讨论)

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例1 设

设 是 的逆矩阵,

1. 利用待定系数法

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又因为

所以

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例3

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例4

3.构造(用定义)

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例5

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例6

特殊矩阵的逆矩阵

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例7 设

用逆矩阵求解矩阵方程

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EX1

练习

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给方程两端左乘矩阵

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Ex2

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Ex5:设A,B为n×n矩阵,证明:如果

AB=0,那么 秩(A)+秩(B)≤n

证明:若|A|≠0,存在A-1,左乘得到 B=0,则

秩(A)+秩(B)=n+0=n 等式成立.

若|A|=0, 秩(A)= r < n,

此时B的每一列向量是Ax=0的解向量,

所以 R(B)≤n-r, 从而

秩(A)+秩(B)≤n 等式成立.

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逆矩阵 存在四、小结

逆矩阵的概念及运算性质.

逆矩阵的计算方法:

(3) 初等变换法

矩阵的乘法不满足消去律, 但是,我们有

若AB=AC, A可逆, 则B=C

注意:不要把A≠O与│A│≠0 (即A可逆) 混同

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思考题解答

  • 作业:P205-19、20
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