Extraction de points de contours
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Extraction de points de contours. Plan. Principe Filtres simples basés sur le calcul du gradient Calcul du laplacien Filtre optimum. y. y’. x’. a. x. Principe. Arête = rupture d’intensité. D’où l’utilisation de la dérivée première. Principe.

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Extraction de points de contours
Plan

  • Principe

  • Filtres simples basés sur le calcul du gradient

  • Calcul du laplacien

  • Filtre optimum

Extraction de points de contour


Principe

y

y’

x’

a

x

Principe

Arête = rupture d’intensité

D’où l’utilisation de la dérivée première

Extraction de points de contour


Principe1
Principe

  • Recherche de la directiona0 dans laquellela dérivée de f atteint son maximum

Extraction de points de contour


Principe2
Principe

D’où la direction optimale

Direction du gradient

Extraction de points de contour


Principe3
Principe

La valeur du maximum est donnée par :

Module du gradient

Extraction de points de contour



Principe4
Principe

Sur la base de la détection par la dérivée première :

  • Calcul de gradient

  • Gradient boussole

Toujours le résultat de l’application d’un masque :

Extraction de points de contour


Principe5
Principe

Utilisation possible de la dérivée seconde

Recours au laplacien

Avec

Extraction de points de contour


Principe6

Orientation du gradient

n

a

Principe

Dérivée directionnelle

Extraction de points de contour


Principe7
Principe

  • A un extremum de la dérivée directionnelle première correspond un passage par zéro de la dérivée directionnelle seconde

  • Le laplacien n’est qu’une approximation

Extraction de points de contour


Filtres simples bas s sur le calcul du gradient
Filtres simples basés sur le calcul du gradient

  • Deux approches :

    • Calcul du gradient et de la direction

    • Calcul du gradient dans différentes directions (gradient directionnel)

Extraction de points de contour


Calcul du gradient et de la direction

Définition de deux masques

et

Calcul du gradient et de la direction

Extraction de points de contour


Extraction de points de contours

Pixel où le module du gradient est grand = arête de forte intensité

Extraction de points de contour


Calcul du gradient et de la direction1
Calcul du gradient et de la direction

  • Filtre de Sobel

  • Filtre de Prewitt

  • Exemples

  • Remarque

  • Autres filtres

  • Extraction des points de contour par seuillage

  • Récapitulatif

Extraction de points de contour


Filtre de sobel
Filtre de Sobel

Deux masques

Extraction de points de contour


Filtre de prewitt
Filtre de Prewitt

Deux masques

Extraction de points de contour


Remarque
Remarque

Une remarque : ces filtres peuvent être vus comme une convolution

Extraction de points de contour


Autres filtres

dérivateurs

Autres filtres

Filtre MDIF : convolution d’un filtre moyenne et d’un filtre de Prewitt

moyenneur

Extraction de points de contour


Autres filtres1
Autres filtres

Filtre NAGDIF : combinaison d’un filtre de Nagao et d’un filtre de dérivation

D9

Masques D2 à D4 déduits par rotation dep/2

Masques D6 à D8 déduits par rotation dep/2

D1

D5

Extraction de points de contour


Autres filtres2

valeurs entières de [–1,+1]

Autres filtres

  • Pour chaque masque, on calcule moyenne et écart type. L’intensité du pixel courant est remplacée par la moyenne du domaine ayant le plus faible écart type.

  • B : image lissée

  • Opérateur de dérivation contour

Extraction de points de contour


Extraction des points ce contour par seuillage
Extraction des points ce contour par seuillage

  • Seuillage arbitraire : difficile

  • Seuillage en utilisant l’histogramme de la norme du gradient

  • Extraction des maxima locaux

  • Seuillage par hystérésis

Extraction de points de contour


Extraction des maxima locaux

Norme du gradient en M(i,j)

u

M1

Normes du gradient en M1 et M2

M(i,j

Contour

M2

Extraction des maxima locaux

Le point est un maximum local si :

Extraction de points de contour


Extraction des maxima locaux1

u

M1

M(i,j

Contour

M2

Extraction des maxima locaux

On peut utiliser l’interpolation linéaire pour le calcul

Extraction de points de contour


Seuillage par hyst r sis
Seuillage par hystérésis

  • On se donne deux seuils sh et sb

  • Les maxima locaux dont la valeur est supérieure à sh sont conservés ainsi que tous ceux dont la valeur est supérieure à sb et qui appartiennent à une composante connexe comprenant au moins une valeur supérieure sh.

  • Risques de coupure du contour moins grand

Extraction de points de contour


R capitulatif
Récapitulatif

  • Calcul du gradient en chaque point de l’image

  • Création de l’image de la norme du gradient

  • Extraction des maxima locaux

  • Seuillage par hystérésis de l’image des maxima locaux

Extraction de points de contour


Gradient directionnel
Gradient directionnel

  • Calcul du gradient dans différentes directions

  • Recherche de la direction dans laquelle le gradient est maximum

  • Exemples :

    • Gradient boussole

    • Masque de Kirsh

    • Masque adapté à des directions connues

Extraction de points de contour


Gradient boussole
Gradient boussole

Nord

Nord Ouest

Ouest

….

Sud

Sud Est

Sud Ouest

Extraction de points de contour


Masque de kirsh
Masque de Kirsh

Extraction de points de contour


Approche laplacien
Approche laplacien

  • Laplacien classique

  • Approche DOG

  • Récapitulatif

Extraction de points de contour


Laplacien classique
Laplacien classique

  • Passage d’un masque

  • Recherche des passages par zéro

  • Attention à l’amplification du bruit

Extraction de points de contour


Approche dog
Approche DOG

  • Approximation par la différence de deux gaussiennes

  • Basé approximativement sur la vision humaine

Extraction de points de contour


Approche dog1
Approche DOG

On va raisonner sur une seule variable

On réalise le filtrage du bruit au préalable par un filtre gaussien g(x)

Extraction de points de contour


Approche dog2
Approche DOG

Considérons la différence DOG de deux gaussiennes de variance proche

Extraction de points de contour


Approche dog3
Approche DOG

Extraction de points de contour


Approche dog4
Approche DOG

Expression générale du laplacien d’une gaussienne à deux variables

Extraction de points de contour


Cas particulier de dog
Cas particulier de DOG

  • Soustraction d’une version lissée (passage d ’un masque gaussien) de l ’image

  • Cela revient à un DOG avec une des gaussiennes d ’écart type nul

Extraction de points de contour


Probl me des images couleur
Problème des images couleur

  • Si l ’opérateur est appliqué dans les plans RGB séparément, il peut se produire de nouvelles couleurs en recombinant, d ’où un bruit visuel

  • Il vaut mieux alors travailler dans le plan TSL, ce qui laisse les couleurs inchangées

Extraction de points de contour


R capitulatif pour le laplacien
Récapitulatif pour le laplacien

  • Calcul du laplacien

  • Recherche des passages par zéro du laplacien

  • Création de l’image des passages pâr zéro affectés de la norme du gradient

  • Seuillage par hystérésis

Extraction de points de contour


Filtres stochastiques
Filtres stochastiques

  • Poids liés à la distance au centre du masque

Extraction de points de contour


Filtre optimum
Filtre optimum

  • Principe du filtrage

  • Modéliser le signal à extraire et le bruit de l’image

  • Transformer le problème d’extraction de points de contour en un problème d’optimisation

  • Résoudre et éventuellement trouver une solution approchée

Extraction de points de contour


Principe du filtrage
Principe du filtrage

  • Trouver la réponse impulsionnelle d’un filtre susceptible d’extraire les points de contour tout en réduisant le bruit

  • En dimension deux, pour une image N x M et un masque de dimension p2, une convolution de l’image coûte p2NM (2p2NM si on a un masque pour chaque dérivée)

Extraction de points de contour


Principe du filtrage1
Principe du filtrage

  • Introduire un filtre à réponse impulsionnelle séparable

  • Avantages :

  • Réduction du temps de calcul

  • Possibilité de prendre en compte des caractéristiques différentes suivant les directions

  • Généralisation à un nombre de dimension quelconque

Extraction de points de contour


Principe du filtrage2
Principe du filtrage

Soit un filtre séparable

Pour le calcul de la dérivée première

Extraction de points de contour


Principe du filtrage3
Principe du filtrage

Pour le calcul du laplacien

Rechercher la réponse impulsionnelle d’un filtre séparable susceptible de diminuer le bruit et appliquer les opérateurs dérivée

Raisonner sur une seule dimension

Extraction de points de contour


Mod liser le signal et le bruit
Modéliser le signal et le bruit

Modèle additif

L’arête est modélisée comme un échelon

Le bruit est un bruit blanc additif

Extraction de points de contour


Mod liser le signal et le bruit1

I(x)

O(x)

h(x)

Modéliser le signal et le bruit

Extraction de points de contour


Mod liser le signal et le bruit2
Modéliser le signal et le bruit

Supposons l’arête placée en x=0

La sortie du filtre en 0 s’écrit

On souhaite que la sortie présente un maximum lorsqu’il y a arête

Extraction de points de contour


Crit res d optimisation
Critères d’optimisation

Canny a proposé trois critères

  • Critère de détection

  • Critère de localisation

  • Critère d’unicité de la réponse

Extraction de points de contour


Crit re de d tection
Critère de détection

Maximiser le rapport signal sur bruit

Retour calcul

Extraction de points de contour


Crit re de localisation
Critère de localisation

Rechercher l’écart entre le maximum de la sortie en x0 et 0

Contribution du signal

Contribution du bruit

Extraction de points de contour


Crit re de localisation1
Critère de localisation

Supposons x0 proche de 0

h impaire

Extraction de points de contour


Crit re de localisation2
Critère de localisation

D’où

Extraction de points de contour


Crit re de localisation3
Critère de localisation

Extraction de points de contour


Unicit de la r ponse
Unicité de la réponse

  • Réduire les réponses multiples

  • Rice a montré que la distance moyenne entre deux passages par zéro d’un processus gaussien obtenu par filtrage d’un bruit blanc par g(x) est donné par :

Extraction de points de contour


Unicit de la r ponse1
Unicité de la réponse

Extraction de points de contour


R soudre
Résoudre

  • Principe

  • Approche de Canny

  • Approche par Gauss

  • Approche de Deriche

  • Approche de Shen-Castan

Extraction de points de contour


Principe de r solution

Rechercher S rendant f maximum

Principe de résolution

Utilisation du calcul des variations

CNS

Extraction de points de contour


Principe de r solution1
Principe de résolution

S’il y a aussi des contraintes du genre :

On prend pour critère :

Extraction de points de contour


Principe de r solution2

Majorer

est équivalent à minimiser

Principe de résolution

h doit être impaire et supposons la limitée à [-W,W]

Prenons simplement le premier critère

avec la contrainte

Extraction de points de contour


Principe de r solution3
Principe de résolution

On construit la fonction

D’où la solution

Détecteur de Herkowitz-Binford

Extraction de points de contour


Approche de canny

Canny a proposé de majorerSL avec

Minimiser

Avec trois contraintes

Approche de Canny

h est de support fini

Extraction de points de contour


Approche de canny1
Approche de Canny

D’où la fonction critère

Ce qui conduit à l’équation

Extraction de points de contour


Approche de canny2

avec

et les conditions aux limites

Approche de Canny

La solution générale s’écrit :

Extraction de points de contour


Approche de canny3
Approche de Canny

En utilisant une technique d’optimisation numérique sous contrainte, Canny a trouve les valeurs optima suivantes

Extraction de points de contour


Approche par gauss
Approche par Gauss

L’idée est de prendre un filtre de lissage gaussien

C’est le filtre de Marr

Extraction de points de contour


Approche de deriche
Approche de Deriche

Utilisation d’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)

Il est facile de calculer les différentes expressions

Extraction de points de contour


Approche de deriche1

Posons

Approche de Deriche

Extraction de points de contour


Filtre bidimensionnel de deriche
Filtre bidimensionnel de Deriche

  • Lissage

  • Calcul du gradient

  • Calcul du laplacien

  • Implémentation récursive

Extraction de points de contour


Lissage
Lissage

Intégration

Filtre bidimensionnel

Extraction de points de contour


Extraction de points de contours

Deriche

Canny

Extraction de points de contour


Calcul du gradient
Calcul du gradient

Deux opérateurs de dérivation

Extraction de points de contour


Calcul du laplacien
Calcul du laplacien

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive
Implémentation récursive

  • Discrétiser H sur N points : N multiplications et (N-1) additions pour obtenir une sortie

  • Réaliser un filtre récursif

h3(i) séquence échantillonnée et T3(z) sa transformée en z

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive1
Implémentation récursive

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive2
Implémentation récursive

Opère de gauche à droite

Deux fonctions de transfert de filtres récursifs stables

Opère de droite à gauche

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive3
Implémentation récursive

c est choisi de manière à obtenir un maximum d’amplitude de 1 en réponse à un échelon unitaire

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive4
Implémentation récursive

D’où les équations aux différences

5 multiplications

5 additions !!

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive5
Implémentation récursive

Le filtre de lissage a aussi une implémentation récursive

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive6
Implémentation récursive

En combinant les deux, on obtient l’implémentation du gradient bidimensionnel de Deriche

  • Soit pour une dérivée directionnelle :

  • 13 multiplications

  • 12 additions

Extraction de points de contour


Approche de shen castan
Approche de Shen Castan

  • Opérateur de lissage

  • Opérateur de dérivation

  • Opérateurs bidimensionnels

  • Implémentation récursive

Extraction de points de contour


Op rateur de lissage
Opérateur de lissage

Les auteurs partent de la définition d’un filtre de lissage optimal

Extraction de points de contour


Op rateur de lissage1

Puissance moyenne du signal du au bruit seul avant dérivation

Contribution due au signal après dérivation

Contribution due au bruit après dérivation

Opérateur de lissage

Extraction de points de contour


Op rateur de lissage2
Opérateur de lissage dérivation

Minimiser

Après un certain nombre de considérations, on cherche une fonction paire et on analyse sur une fenêtre de largeur 2M

Extraction de points de contour


Op rateur de lissage3
Opérateur de lissage dérivation

D’où l’équation différentielle :

Extraction de points de contour


Op rateur de d rivation
Opérateur de dérivation dérivation

Extraction de points de contour


Op rateur de d rivation1
Opérateur de dérivation dérivation

Lissage

Dérivation première

Dérivation seconde

Extraction de points de contour


Op rateurs bidimensionnels
Opérateurs bidimensionnels dérivation

Gradient

Laplacien

Extraction de points de contour


Impl mentation r cursive7
Implémentation récursive dérivation

Lissage

Gradient (mêmes équations)

En exploitant ces résultats, on constitue le filtre bidimensionnel

4 multiplications

10 additions

Extraction de points de contour